第1章 用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算问题专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理从基础应用到综合模型的递进训练，通过地域化典例构建“定理应用-面积拓展-弦图综合”的逻辑链条 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用勾股定理解三角形|4例+4变式|含分类讨论、实际应用（如《九章算术》问题）、高的计算|从直角三角形边长计算到非直角三角形转化，培养几何直观与推理能力| |以直角三角形三边为边长的图形面积|4例+3变式|正方形面积关系、面积和规律探究、阴影面积计算|勾股定理数量关系向空间形式转化，发展空间观念与模型意识| |以弦图为背景的计算问题|2例+2变式|赵爽弦图边长与面积关系、代数推导（a+b、ab计算）|经典几何模型的综合应用，提升运算能力与创新意识|

用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算问题专项训练 用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算问题专项训练 考点目录 用勾股定理解三角形 以直角三角形三边为边长的图形面积 以弦图为背景的计算问题 考点一 用勾股定理解三角形 例1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，然后利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：设，则， ∵于点， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴． 例2．（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，已知直角三角形的两条直角边长，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：在中，，为斜边， 根据勾股定理得， ∵，， ∴， ∵边长为正数， ∴． 例3．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 【答案】13 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ，， ． 例4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在中，，，，． (1)若，，求b； (2)若，，求b． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理得，； （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理得，． 变式1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 变式2．（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，是长方形广场示意图，则A处到C处的距离是（     ） A．90米 B．100米 C．120米 D．140米 【答案】B 【详解】在中，米 变式3．（26-27九年级上·北京·开学考试）在中，，，则的长为__________． 【答案】或 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 变式4．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 【答案】(1)21 (2)9 【分析】（1）利用勾股定理求出，再由求解； （2）利用勾股定理求出，再由求解． 【详解】（1）解：如图1，当在三角形的内部时， 在中,      在中,      ∴； （2）如图2，当在三角形的外部时， 在 中,      在 中,      ∴． 考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积 例1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 例2．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 例3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 例4．（25-26八年级下·云南德宏·期末）如图，D，E，F均为正方形，为直角三角形，D的面积为25，E的面积为16，则F的面积为________． 【答案】41 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可求解． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴， 又∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积为． 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是即可． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． ∴“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积为； ∵，， 所以“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 同理：“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是4． 变式2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 【答案】C 【详解】解：正方形A的边是直角边，它的面积等于边长的平方，根据勾股定理，可知． 变式3．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 考点三 以弦图为背景的计算问题 例1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用勾股定理求解，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正方形，， ∴， ， 小正方形的面积是． 例2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级下·福建南平·期中）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与赵爽弦图的应用，核心是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的边长关系，逐一验证三个推断的正确性． 【详解】解： 由勾股定理可知，①正确； ， ，②正确； ，， ，③正确． 变式2．（2026·河南周口·一模）三国时期数学家赵爽创制“赵爽弦图”，由四个全等直角三角形与小正方形拼成大正方形，若直角三角形短直角边为2，长直角边为4，则空白部分的小正方形的面积为_____． 【答案】4 【分析】理解“赵爽弦图”，结合小正方形的面积等于边长乘边长进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，， 则 ∴空白部分的小正方形的面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算问题专项训练 用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算问题专项训练 考点目录 用勾股定理解三角形 以直角三角形三边为边长的图形面积 以弦图为背景的计算问题 考点一 用勾股定理解三角形 例1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 例3．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 例4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在中，，，，． (1)若，，求b； (2)若，，求b． 变式1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，是长方形广场示意图，则A处到C处的距离是（     ） A．90米 B．100米 C．120米 D．140米 变式3．（26-27九年级上·北京·开学考试）在中，，，则的长为__________． 变式4．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积 例1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 例3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 例4．（25-26八年级下·云南德宏·期末）如图，D，E，F均为正方形，为直角三角形，D的面积为25，E的面积为16，则F的面积为________． 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 变式3．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 考点三 以弦图为背景的计算问题 例1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 例2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 变式1．（25-26八年级下·福建南平·期中）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 变式2．（2026·河南周口·一模）三国时期数学家赵爽创制“赵爽弦图”，由四个全等直角三角形与小正方形拼成大正方形，若直角三角形短直角边为2，长直角边为4，则空白部分的小正方形的面积为_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $