精品解析：陕西省洛南中学2026-2027学年高三第一学期第一次模拟考试数学试题

洛南中学2026-2027学年度第一学期第一次模考 高三数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以, 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以，. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求出分式不等式的解集即可. 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以该不等式的解集为. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 6. 已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（ ） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 7. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 8. 已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究函数的周期性，再根据函数的周期性和奇偶性求的值，进而可得的值. 【详解】因为，所以， 用代替可得：， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 所以. 令，由得，； 又因为函数为偶函数，所以， 所以. 因为，所以，解得. 所以. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过为奇函数可得，那么函数图象关于点对称；对于B，若为偶函数，则，结合选项A可以推导出周期，从而；对于C，由题可得在上单调递减，从而判断；对于D，因为，，可得. 【详解】对于A，若为奇函数，则，那么函数图象关于点对称，A正确； 对于B，若为偶函数，则，那么， 由选项A可知，那么 ， 所以，，那么， 所以，，所以函数的周期，，B正确； 对于C，对任意的，，，都有，则函数在上单调递减，，C错误； 对于D，由选项AB可知，函数的周期，所以， 又函数图象关于点对称，所以， 所以，故为奇函数，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 13. 已知函数，则____________． 【答案】2 【解析】 【详解】，. 14. 函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则， 故a的取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知合，或． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入化简集合，再利用集合的交集运算，结合数轴法可得结果； （2）利用集合与充要条件的关系得到是的真子集，结合数轴法即可求得m的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以或或， 又因为， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 又因为，或， 所以或，故或， 故实数m的取值范围为. 16. 设函数. （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集得是方程的两根，再由根与系数的关系可得答案； （2）由得到，再利用基本不等式求最小值即可． 【小问1详解】 若不等式的解集为， 则是方程的两个根，且， 可得，解得； 【小问2详解】 若，则，可得， 又，， 所以 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为16. 17. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1）3 （2）时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质求解即可； （2）先因式分解，再对分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为，在上单调递增， 所以的最大值为 【小问2详解】 由得， 若，则； 若，则； 若，则； 综上：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为． 18. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. （2）是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 19. 已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时；③，均有，且. （1）求，并用表示； （2）证明是增函数； （3）对，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2），且，则， 因为，所以，所以， 因为当时，，则，所以，所以 又因为时，，所以，所以， 所以，即， 所以是上的单调递增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，对③式，令，即可求出；对③式，令即可得到关于的表达式； （2）根据题意，利用函数单调性的定义，对于任意，当时，证明即可； （3）根据题意，得到恒成立，令，由单调递增即可求解. 【小问1详解】 对③式，令，，则，由于，解得， 对③式，令，则， 又因为，即，所以. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由（2）知，是单调递增函数，所以最大值为， 所以对任意，恒成立，即， 令，由于在上单调递增，故需满足最小值， 设，其在上单调递增且，故由，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛南中学2026-2027学年度第一学期第一次模考 高三数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（ ） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 7. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 是奇函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，若幂函数是偶函数，则______________． 13. 已知函数，则____________． 14. 函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知合，或． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. 设函数. （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，，，求的最小值. 17. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）若，解关于的不等式． 18. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时；③，均有，且. （1）求，并用表示； （2）证明是增函数； （3）对，，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $