25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“几何图形问题与一元二次方程”，通过生活情境导入，如字画装裱、封面设计等实例，引导学生从实际问题中抽象出数量关系，建立几何图形与方程的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“边框与甬道”“围墙篱笆”等探究点为主线，结合图形平移转化等方法，培养学生的几何直观和模型意识。通过变式训练和实际问题分析，让学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维解决问题，提升应用能力，也为教师提供了丰富的教学实例和方法指导。

25.3 实际问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 第1课时 几何图形问题 人教版九年级上册 生活中，我们经常给字画进行装裱，你能想想为什么要这么做吗？ 情境导入 (60+2x)(40+2x)=3500 假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它总面积达到3500cm2 ，设木框宽度xcm，你能列出等式吗？ 情境导入 引例：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何 设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm) 27cm 21cm 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 分析：这本书的长宽之比 ： ，正中央的矩形长宽之比 ： . 9 7 9 7 27cm 21cm 设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为： 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 27cm 21cm 设上下边衬的宽为9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中央的矩形的长为(27−18x)cm，宽为(21−14x)cm. 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 27cm 21cm 解方程得 故上下边衬的宽度为: 故左右边衬的宽度为: 方程的哪个根合乎实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 于是可列出方程 整理，得 16x2−48x+9=0 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 解：设正中央的矩形两边别为9x cm，7x cm.依题意得 27cm 21cm 解得 故上下边衬的宽度为: 故左右边衬的宽度为: 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 方法指导：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 20 32 x x 解：设道路的宽为x米. 例1 如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？ 还有其他解法吗？ 方法一： 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米. 20−x 32−x (32−x)(20−x)=540 整理，得x2−52x+100=0 解得 x1=2，x2=50 当x=50时，32−x=−18，不合题意，舍去. ∴取x=2. 答：道路的宽为2米. 方法二： 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米. (32−x)(20−x)=540 可列方程为 变式一 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 20 32 x x x 20-x 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米. (32−2x)(20−x)=540 可列方程为 32-2x 变式二 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 20 32 x x x x 20 32 2x 2x 32−2x 20−2x 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米. (32−2x)(20−2x)=540 可列方程为 变式三 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？ 32cm 20cm 2x 3x 变式四 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解：设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程 (32−4x)(20−6x)= —×20×32 20㎝ 32㎝ 3x 2x 32−4x 20−6x 4 3 3x 2x 6x 4x 32−4x 20−6x 新知探究 方法指导：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 探究点1：几何图形的边框与甬道问题 新知探究 解：设AB长是x m. (58−2x)x=200 x2−29x+100=0 x1=25，x2=4 x=25时，58−2x=8；x=4时，58−2x=50 答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m. 引例： 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58 m的围栏围成面积为200 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？ D C B A 探究点2：围墙篱笆问题 新知探究 解：设AB长是x m. (80−2x)x=600 x2−40x+300=0 x1=10，x2=30 x=10时，80−2x=60>25，(舍去) x=30时，80−2x=20<25， 答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m. 变式一 如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用80 m的围栏围成面积为600 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？ D C B A 25 m 探究点2：围墙篱笆问题 新知探究 变式二 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？ 住房墙 1m 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 由题意得 x(25−2x+1)=80 化简，得 x2−13x+40=0 解得 x1=5，x2=8 当x=5时，26−2x=16>12 (舍去） 当x=8时，26−2x=10<12 故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m. 则平行于住房墙的一边长(25−2x+1)m. 探究点2：围墙篱笆问题 新知探究 方法指导：围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用含x的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解. 探究点2：围墙篱笆问题 新知探究 1. [2025福建]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为（　C　） A. 5x2＝6 B. 5（1＋x2）＝6 C. x（5－x）＝6 D. 5（1＋x）2＝6 C 随堂练习 2. 新情境 生活实际 如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为 　5　m. 5　 3. 如图，在宽为20m、长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺设草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽.设道路的宽为xm.根据题意，所列方程正确的是（　A　） A. （20－x）（38－x）＝540 B. （20－x）（38－x）＝38×20－540 C. （20－2x）（38－2x）＝540 D. （20－2x）（38－2x）＝38×20－540 A 4. [2024青岛]如图，某小区要在长为16m、宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽为 　2　m. （第4题） 2　 5. [2025威海]如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请求出小路的宽度. （第5题） 解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20－4x）m，宽为（14－4x）m的矩形.根据题意，得（20－4x）（14－4x）＝24×9.整理，得2x2－17x＋8＝0，解得x1＝ ，x2＝8（不合题意，舍去）.∴ 小路的宽度为 m 6. 如图，矩形草坪（涂色部分）的长和宽分别为30m和20m.若将该草坪的长和宽各增加xm，则扩建后的矩形草坪面积为800m2.根据题意，下列方程正确的是（　C　） A. x2＝800 B. （20－x）（30－x）＝800 C. （20＋x）（30＋x）＝800 D. （20＋x）（30－x）＝800 （第6题） C 7. 教材变式题 一个直角三角形的两条直角边的长相差3cm，面积是9cm2，则较长的直角边的长为 　6　cm. 6　 8. 新情境 生活实际 如图，某农家乐老板计划在一块长130m、宽60m的空地挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750m2，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　B　） A. 4.5m B. 5m C. 5.5m D. 6m B 9. 在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户，现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框.当矩形窗户的宽AB为 　1.5　m时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）. 1.5　 10. 如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝10cm，∠ABC＝90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么出发后 　2　s时，线段PQ的长为5cm. 2　 11. 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长为50米，宽为40米，要求扩建后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩建区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖，铺设地砖的费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元，求扩建后广场的长和宽. （第11题） 解：设扩建后广场的长为3x米，宽为2x米.依题意，得3x·2x·100＋30（3x·2x－50×40）＝642000，解得x1＝30，x2＝－30（不合题意，舍去）.∴ 3x＝90，2x＝60.∴ 扩建后广场的长为90米，宽为60米 12. 教材变式题 如图所示为一块长5米、宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分）.已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整块地毯面积的 . （1） 求配色条纹的宽度； 解：（1） 设配色条纹的宽度为x米.依题意，得2x·5＋2x·4－4x2＝ ×5×4，解得x1＝ （不合题意，舍去），x2＝ .∴ 配色条纹的宽度为 米 （第12题） （2） 如果地毯的配色条纹部分每平方米的造价为200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价. 解：（2） 配色条纹部分的造价： ×5×4×200＝850（元），其余部分的造价： ×5× 4×100＝1575（元）.∴ 总造价＝850＋1575＝ 2425（元）.∴ 地毯的总造价是2425元 （第12题） 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 动点面积问题 课堂小结 $