15.2 画轴对称的图形（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦“画轴对称的图形”核心知识点，系统梳理轴对称变换的性质、作轴对称图形的步骤，以及平面直角坐标系中对称点的坐标规律，形成从定义理解到作图实践再到坐标应用的递进式学习支架。 资料通过分层设计（基础通关、素养提升、迁移创新）和多样题型（作图、图案设计、坐标综合题），结合生活实例（如镜子中的号码、灯笼坐标变换），培养学生的几何直观与空间观念，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第十五章 轴对称 15.2 画轴对称的图形 课标要点 1.理解轴对称变换的含义，掌握轴对称变换的三条性质，能辨别变换前后图形的对应关系。 2.掌握作轴对称图形的基本步骤，会画出已知图形关于给定直线的轴对称图形。 3.熟记坐标轴对称点的坐标规律，能求出点关于x轴、y轴对称之后的对应点坐标。 4.能够在平面直角坐标系中，完成简单几何图形的轴对称作图，提升数形结合能力。 学习重难点 重点： 1.轴对称变换的核心性质，明确对应点连线被对称轴垂直平分，变换前后图形全等。 2.作轴对称图形的作图步骤，会找关键点，作对称点，再依次连接得到对称图形。 3.点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，会利用规律求解、描点画图。 难点： 1.作图时准确作出关键点的对称点，保证对应点到对称轴距离相等，避免作图出现偏差。 2.灵活运用坐标对称规律，结合图形，完成坐标系内几何图形的轴对称综合作图。 知识点一 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质 ①经过轴对称变换得到的新图形与原图形全等。 ②新图形上的每一个点，都是原图形上某一点关于对称轴的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段被对称轴垂直平分。 即学即练 1．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 知识点二 作轴对称图形 几何图形可以看作由点组成。画轴对称图形，只需画出图形中特殊点（如线段端点、顶点）的对称点，再依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 作图步骤 ①找关键点：找出原图形的顶点、端点等关键的点； ②作对称点：过每个关键点作对称轴的垂线并延长，使延长段长度等于关键点到垂足的距离，得到该点的对称点； ③连点成形：按照原图形的顺序依次连接各对称点，得到轴对称后的图形。 示例：已知和直线，画关于直线对称的图形 ①过点作直线的垂线，垂足为，在垂线上截取，得到点的对称点； ②用同样方法画出点、的对称点、； ③顺次连接，，，就是所求作的图形。 易错提醒 作对称点时，必须保证：对应点的连线垂直于对称轴，并且关键点到对称轴的距离与对称点到对称轴的距离相等，只画垂线不截取等长线段会导致作图错误。 即学即练 2．如图，在的正方形网格中，请在图中画出所给图形关于直线l对称的图形． 知识点三 平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点 1.坐标变化规律 点关于轴对称的点的坐标：（横坐标不变，纵坐标互为相反数） 点关于轴对称的点的坐标：（纵坐标不变，横坐标互为相反数） 2.坐标系中画轴对称图形步骤 ①写坐标：求出图形各个关键点关于坐标轴的对称点坐标； ②描点：根据得到的对称点坐标，在坐标系中描出各点； ③连线：参照原图顺序连接各描出的点，得到轴对称图形。 即学即练 3．点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．春节是中华民族流传千年的传统佳节，民间向来有贴福字、贴春联、挂灯笼等习俗，以此来抒发对新年的衷心祝福．如图，在平面直角坐标系中，，是两处灯笼的位置，若点的坐标为，将图形整体向左平移1个单位长度，再关于轴对称得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型01 画轴对称图形 解题贴士 画轴对称图形核心是找准图形关键点，无需描摹全部线条。先找出图形顶点、端点等特殊点，过点作对称轴的垂线，截取等长线段确定对称点。 最后严格按照原图形的点位顺序，依次连接所有对称点即可。作图务必保证对应点连线被对称轴垂直平分，避免位置、距离出错。 典｜例｜精｜析 【例1】在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)作出的边上的高； (2)作出关于直线m对称的． 【例2】如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知， (1)作关于直线的轴对称图形； (2)作出中边上的高． 【变式1-2】请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 【变式1-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），利用网格画图． (1)在图中作出关于直线对称的； (2)连接，则与的位置关系是 ，线段与的数量关系是 ． 题型02 设计轴对称图案 典｜例｜精｜析 【例3】如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个轴对称图形．图中有四条线段标示上号码，判断擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是轴对称图形？（     ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【例4】如图的方格中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成轴对称图形，则该小正方形的序号是___________，该轴对称图形有___________条对称轴． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在正方形网格中已有个小方格涂成了阴影，请从其余的小方格中选一个涂成阴影，使整个阴影图形成为轴对称图形，用种不同的方法在图中补全图形，并画出相应的对称轴． 【变式2-2】如图，每个小三角形都是等边三角形，请你分别在下面四个图中再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形． 【变式2-3】在如图所示的方格图中，有个小方格被涂黑成“形”． (1)在图①中画出将原来的“形”绕点旋转后的图形； (2)在图②空白方格中涂黑格，使新涂黑的图形与原来的“形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 题型03 关于x轴、y轴对称的点的坐标特征 解题贴士 牢记坐标对称核心规律，避免混淆出错。点关于x轴对称，横坐标保持不变，纵坐标取相反数；点关于y轴对称，纵坐标保持不变，横坐标取相反数。 解题可直接套用规律快速写坐标，无需画图推导。遇到判断坐标正误题型，只需对照变号规则核对，重点区分横、纵坐标的变化差异。 典｜例｜精｜析 【例5】现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【例6】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 【变式3-3】在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 题型04 坐标系中轴对称变换 解题贴士 坐标系内图形轴对称变换，依托关键点坐标变换求解。先找出图形所有顶点坐标，根据对称轴规则求出对应对称点坐标，精准完成描点。 最后依照原图顶点顺序顺次连线，得到轴对称图形。全程无需改动图形形状大小，仅变更点位位置，变换前后图形始终全等。 典｜例｜精｜析 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 【例8】平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，原点恰为线段的中点，将点向右移动4个单位长度得到点，点沿轴翻折后得到点． (1)求a，b的值； (2)在图中标出点A，D，B，C的位置，顺次连接点A，D，B，C形成一个封闭图形，并直接写出所得图形的面积． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴的对称图形，并分别写出，，的坐标． (2)请画出关于轴的对称图形，的面积为______． (3)在轴上画出点使最小． 【变式4-2】如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． (1)画出与关于轴对称的； (2)画出与关于直线对称的图形； (3)线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； (4)点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 【变式4-3】如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴对称的． (2)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． (3)若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 题型05 点的坐标轴对称变换规律 典｜例｜精｜析 【例9】在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（  ） A． B． C． D． 【例10】如图，在平面直角坐标系中，点，，，分别是正方形的顶点．规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，例如，正方形经过次变换后得到正方形，顶点的坐标为，则连续经过次变换后的顶点的坐标为(   ) A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【变式5-2】已知．规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2024次变换后，点M的坐标变为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，等边三角形的顶点，规定把等边三角形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换．如果这样连续经过2021次变换后，等边三角形的顶点A的坐标为 _____．    题型06 轴对称综合题（几何变换） 解题贴士 轴对称几何综合题以性质为核心解题，利用对称点连线被对称轴垂直平分、变换前后图形全等的特点，推导边长、角度关系。 解题时常结合线段最值、图形面积、几何证明等考点，先通过对称转化线段、角度，再结合几何公式推导，规避忽略全等性质的解题漏洞。 典｜例｜精｜析 【例11】某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【例12】在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线上取一点C，连接，点D是线段的延长线上一点，且，点P是直线上一动点，连接，若，则的最小值为________ 【变式6-2】如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【变式6-3】如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 基础通关 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 2．已知点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平行于轴 B．直线平行于轴 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 3．在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点是点B，下列关于点B的描述正确的是（     ） A．点B坐标是且到x轴距离是2 B．点B坐标是且到x轴距离是3 C．点B坐标是且到x轴距离是2 D．点B坐标是且到x轴距离是3 4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图是某城市的街道规划图的一部分，以市中心为原点，东西方向为轴，南北方向为轴，已知城市中的少年宫位于点处，若豆豆家与少年宫关于穿过市中心的南北向主干道（即轴）对称，则豆豆家用坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 6．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （    ）种． A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 7．若点关于轴的对称点是，则______________． 8．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 9．如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值______．    三、解答题 10．在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)写出图中标出的各点的坐标． (2)画出所给图形关于y轴对称的图形，并写出图中各点关于y轴的对称点的坐标． 11．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 12．如图，的顶点均在格点上： (1)直接写出的顶点坐标； (2)顶点关于轴对称的点的坐标为__________； (3)求的面积． 素养提升 1．若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． 2．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)分别画出点A关于轴、轴和原点的对称点B，C，D，并分别写出点B，C，D的坐标． (2)四边形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出它的对称轴． 4．一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 5．在平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)描出下列各点，并把各点依次连接构成一个封闭图形． ，，，，，，． (2)对图形上所有顶点的坐标分别进行下列变化，请指出相应图形的位置和形状的变化． 坐标变化 图形的位置和形状的变化 图形向右和向下分别平移2个单位长度和3个单位长度，形状不变 6．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 迁移创新 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且．点是轴上的动点，当的值最小时，则点的坐标为______．（用含的式子表示）． 2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点平移至点，点、的对应点分别是点、． (1)在图中请画出平移后得到的； (2)若连接、， ①、间的关系是________； ②的大小是________°； (3)四边形的面积是________； (4)在图中画出点关于直线的对称点． 3．如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 15.2 画轴对称的图形 课标要点 1.理解轴对称变换的含义，掌握轴对称变换的三条性质，能辨别变换前后图形的对应关系。 2.掌握作轴对称图形的基本步骤，会画出已知图形关于给定直线的轴对称图形。 3.熟记坐标轴对称点的坐标规律，能求出点关于x轴、y轴对称之后的对应点坐标。 4.能够在平面直角坐标系中，完成简单几何图形的轴对称作图，提升数形结合能力。 学习重难点 重点： 1.轴对称变换的核心性质，明确对应点连线被对称轴垂直平分，变换前后图形全等。 2.作轴对称图形的作图步骤，会找关键点，作对称点，再依次连接得到对称图形。 3.点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，会利用规律求解、描点画图。 难点： 1.作图时准确作出关键点的对称点，保证对应点到对称轴距离相等，避免作图出现偏差。 2.灵活运用坐标对称规律，结合图形，完成坐标系内几何图形的轴对称综合作图。 知识点一 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质 ①经过轴对称变换得到的新图形与原图形全等。 ②新图形上的每一个点，都是原图形上某一点关于对称轴的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段被对称轴垂直平分。 即学即练 1．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 知识点二 作轴对称图形 几何图形可以看作由点组成。画轴对称图形，只需画出图形中特殊点（如线段端点、顶点）的对称点，再依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 作图步骤 ①找关键点：找出原图形的顶点、端点等关键的点； ②作对称点：过每个关键点作对称轴的垂线并延长，使延长段长度等于关键点到垂足的距离，得到该点的对称点； ③连点成形：按照原图形的顺序依次连接各对称点，得到轴对称后的图形。 示例：已知和直线，画关于直线对称的图形 ①过点作直线的垂线，垂足为，在垂线上截取，得到点的对称点； ②用同样方法画出点、的对称点、； ③顺次连接，，，就是所求作的图形。 易错提醒 作对称点时，必须保证：对应点的连线垂直于对称轴，并且关键点到对称轴的距离与对称点到对称轴的距离相等，只画垂线不截取等长线段会导致作图错误。 即学即练 2．如图，在的正方形网格中，请在图中画出所给图形关于直线l对称的图形． 【答案】 【详解】略 知识点三 平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点 1.坐标变化规律 点关于轴对称的点的坐标：（横坐标不变，纵坐标互为相反数） 点关于轴对称的点的坐标：（纵坐标不变，横坐标互为相反数） 2.坐标系中画轴对称图形步骤 ①写坐标：求出图形各个关键点关于坐标轴的对称点坐标； ②描点：根据得到的对称点坐标，在坐标系中描出各点； ③连线：参照原图顺序连接各描出的点，得到轴对称图形。 即学即练 3．点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 4．春节是中华民族流传千年的传统佳节，民间向来有贴福字、贴春联、挂灯笼等习俗，以此来抒发对新年的衷心祝福．如图，在平面直角坐标系中，，是两处灯笼的位置，若点的坐标为，将图形整体向左平移1个单位长度，再关于轴对称得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点的坐标为， ∴将图形整体向左平移1个单位长度，点的坐标变为，即， ∴再关于轴对称得到点，则点的坐标为． 题型01 画轴对称图形 解题贴士 画轴对称图形核心是找准图形关键点，无需描摹全部线条。先找出图形顶点、端点等特殊点，过点作对称轴的垂线，截取等长线段确定对称点。 最后严格按照原图形的点位顺序，依次连接所有对称点即可。作图务必保证对应点连线被对称轴垂直平分，避免位置、距离出错。 典｜例｜精｜析 【例1】在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)作出的边上的高； (2)作出关于直线m对称的． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2)解：如图所示即为所作， 【分析】 【详解】（1）略； （2）略． 【例2】如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【详解】略 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知， (1)作关于直线的轴对称图形； (2)作出中边上的高． 【答案】(1)如图，即为所作： (2)如图，高即为所作． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 【答案】如图： 【详解】略． 【变式1-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），利用网格画图． (1)在图中作出关于直线对称的； (2)连接，则与的位置关系是 ，线段与的数量关系是 ． 【答案】(1) (2)互相垂直，相等 【分析】 【详解】（1）解：分别过格点、、作直线的垂线，延长垂线，在另一侧截取和原始顶点到距离相等的线段，得到对称点、、（三点均落在网格格点上），按顺序依次连接、、，即为所求的轴对称图形； （2）如图： 依据轴对称性质：对应点的连线被对称轴垂直平分， ∴对称轴， ​∴与的位置关系：互相垂直； 依据轴对称性质：轴对称变换前后对应线段长度相等， ∴线段与的数量关系：． 题型02 设计轴对称图案 典｜例｜精｜析 【例3】如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个轴对称图形．图中有四条线段标示上号码，判断擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是轴对称图形？（     ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】C 【详解】解：A、擦去①和②，是轴对称图形，故不符合题意； B、擦去①和③，是轴对称图形，故不符合题意； C、擦去②和③，剩余部分没有一条直线可以将其分为完全相同的两部分，故不是轴对称图形，符合题意； D、擦去②和④，是轴对称图形，故不符合题意； 【例4】如图的方格中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成轴对称图形，则该小正方形的序号是___________，该轴对称图形有___________条对称轴． 【答案】 ② 1 【详解】解：涂黑①、③、④时，都无法找到一条直线让新图形对折后完全重合； 涂黑序号②的小正方形，如图：阴影组成的图形满足轴对称的要求． 涂黑②后得到的轴对称图形，只存在1条直线，沿这条直线对折，图形两侧都能完全重合，因此只有1条对称轴． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在正方形网格中已有个小方格涂成了阴影，请从其余的小方格中选一个涂成阴影，使整个阴影图形成为轴对称图形，用种不同的方法在图中补全图形，并画出相应的对称轴． 【答案】 【详解】略 【变式2-2】如图，每个小三角形都是等边三角形，请你分别在下面四个图中再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形． 【答案】 【详解】略 【变式2-3】在如图所示的方格图中，有个小方格被涂黑成“形”． (1)在图①中画出将原来的“形”绕点旋转后的图形； (2)在图②空白方格中涂黑格，使新涂黑的图形与原来的“形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)解：将原来的“形”绕点旋转后的图形，如图所示： (2)解：如图所示，补全后的图形既是轴对称图形又是中心对称图形： 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型03 关于x轴、y轴对称的点的坐标特征 解题贴士 牢记坐标对称核心规律，避免混淆出错。点关于x轴对称，横坐标保持不变，纵坐标取相反数；点关于y轴对称，纵坐标保持不变，横坐标取相反数。 解题可直接套用规律快速写坐标，无需画图推导。遇到判断坐标正误题型，只需对照变号规则核对，重点区分横、纵坐标的变化差异。 典｜例｜精｜析 【例5】现有点，点，点，点．则下列说法正确的是（     ） A．点、关于轴对称 B．点、关于轴对称 C．点、关于轴对称 D．点、关于轴对称 【答案】B 【详解】解：点与点的横纵坐标均互为相反数，关于原点对称，故A错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故B正确； 点与点纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于轴对称，故C错误； 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称，故D错误. 【例6】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数， 已知点， ∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 【变式3-2】已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 【答案】B 【详解】∵点，点是平面内不同的两点， ∴两点横坐标相等，纵坐标不相等， 可得直线上所有点的横坐标都为， ∴直线一定垂直于轴， 当时，直线与轴重合，不满足平行于轴，因此C不一定正确， 综上，一定正确的是B选项． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【答案】 【详解】解：点与点关于轴对称，已知点， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 题型04 坐标系中轴对称变换 解题贴士 坐标系内图形轴对称变换，依托关键点坐标变换求解。先找出图形所有顶点坐标，根据对称轴规则求出对应对称点坐标，精准完成描点。 最后依照原图顶点顺序顺次连线，得到轴对称图形。全程无需改动图形形状大小，仅变更点位位置，变换前后图形始终全等。 典｜例｜精｜析 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，见解析 (2)x (3)或 【分析】 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为，由题可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 【例8】平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，原点恰为线段的中点，将点向右移动4个单位长度得到点，点沿轴翻折后得到点． (1)求a，b的值； (2)在图中标出点A，D，B，C的位置，顺次连接点A，D，B，C形成一个封闭图形，并直接写出所得图形的面积． 【答案】(1) (2)30 【分析】 【详解】（1）解：根据中点坐标公式，得， 整理，得， 解得； （2）解：根据，， 故，， 又点向右移动4个单位长度得到点， 故， 又点沿轴翻折后得到点， 故，描点如下： 故，且，平行线间的距离为， 故图形的面积为． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴的对称图形，并分别写出，，的坐标． (2)请画出关于轴的对称图形，的面积为______． (3)在轴上画出点使最小． 【答案】(1) 如图，即为所求，，，； (2) 如图，即为所求， (3) 如图，连接交轴于点，点即为所求． 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：的面积为：， 故答案为：； （3）略 【变式4-2】如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． (1)画出与关于轴对称的； (2)画出与关于直线对称的图形； (3)线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； (4)点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 【答案】(1) 如图，即为所求作； (2) 如图，即为所求作； (3)或 (4) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点， ∵线段轴，且线段的长度为4， ∴，， ∴点或； （4）解：∵点关于直线的对称点为， ∴，解得：， ∴点的坐标是． 【变式4-3】如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴对称的． (2)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． (3)若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 【答案】(1) 如图：即为所求； (2)，，； (3)或 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； （3）解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 即 ∴或， ∴点P的坐标或． 故答案为：或． 题型05 点的坐标轴对称变换规律 典｜例｜精｜析 【例9】在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 归纳类推得：轴对称变换后所得的点的对应点坐标按，，，循环，以4次为一个周期， ∵， ∴第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标与第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标相同，即为， 故选：D． 【例10】如图，在平面直角坐标系中，点，，，分别是正方形的顶点．规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位长度”为一次变换，例如，正方形经过次变换后得到正方形，顶点的坐标为，则连续经过次变换后的顶点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正方形，点、的坐标分别是，， 第次变换后的点的对应点的坐标为：，即的坐标是， 第次变换后的点的对应点的坐标为：，，即 ， 第次变换后的点的对应点的坐标为：，即， 第次变换后的点的对应点的坐标为：，即， 第次变换后的点的对应点的为：当为奇数时为，当为偶数时为， 把正方形经过连续次变换后的顶点的坐标为 故选：D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图，经过4次操作后与重合，即4次一个循环， ∵， 故与重合，坐标为． 【变式5-2】已知．规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2024次变换后，点M的坐标变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点， 第一次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； 第二次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； 第三次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； 第四次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； … ∴第n次变换后，若n为奇数，则点M坐标为； 若n为偶数，则点M坐标为， ∵2024为偶数， ∴点M坐标为即． 故选：A． 【变式5-3】如图，等边三角形的顶点，规定把等边三角形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换．如果这样连续经过2021次变换后，等边三角形的顶点A的坐标为 _____．    【答案】 【详解】解：根据题意得：经过1次变换后，顶点A的坐标为， 经过2次变换后，顶点A的坐标为， 经过3次变换后，顶点A的坐标为， 经过4次变换后，顶点A的坐标为， …… 由此发现，第2021次变换后的三角形在x轴下方，点A的纵坐标为， 横坐标为， 所以，连续经过2021次变换后，等边三角形的顶点A的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化，平移和轴对称变换，以及等边三角形的性质的运用，确定出连续2021次这样的变换得到三角形在x轴下方是解题的关键． 题型06 轴对称综合题（几何变换） 解题贴士 轴对称几何综合题以性质为核心解题，利用对称点连线被对称轴垂直平分、变换前后图形全等的特点，推导边长、角度关系。 解题时常结合线段最值、图形面积、几何证明等考点，先通过对称转化线段、角度，再结合几何公式推导，规避忽略全等性质的解题漏洞。 典｜例｜精｜析 【例11】某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，所需步道最短，应过点或点作对称点，再连接另一点，与直线的交点即为休息站，故选项A、B、D均错误，选项C正确， 故选：C． 【例12】在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【答案】(1) 由题意作图可得： (2)； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）解：根据题意连接可得： ∴． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线上取一点C，连接，点D是线段的延长线上一点，且，点P是直线上一动点，连接，若，则的最小值为________ 【答案】9 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵（点A、P、D共线时取等号）， ∴的最小值为9， ∴的最小值为9． 【变式6-2】如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：与关于直线成轴对称， ， ，， ， ， ，与关于直线成轴对称， ， ， ． 故选：C． 【变式6-3】如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：与关于直线成轴对称， ， ， ; （2）与关于直线成轴对称， ，，即， ， ， 故答案为：． 基础通关 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的的坐标为． 2．已知点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平行于轴 B．直线平行于轴 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 【答案】A 【详解】解：已知点，， ∵点和点的纵坐标相等，横坐标不相等， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A符合题意，B不符合题意； 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，两点横坐标不相等，故C不符合题意； 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，与不互为相反数，故D不符合题意． 3．在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点是点B，下列关于点B的描述正确的是（     ） A．点B坐标是且到x轴距离是2 B．点B坐标是且到x轴距离是3 C．点B坐标是且到x轴距离是2 D．点B坐标是且到x轴距离是3 【答案】B 【详解】解：∵点关于x轴的对称点是点B， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为． 4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的坐标和点的坐标关于轴对称， ∴，， ∴． 5．如图是某城市的街道规划图的一部分，以市中心为原点，东西方向为轴，南北方向为轴，已知城市中的少年宫位于点处，若豆豆家与少年宫关于穿过市中心的南北向主干道（即轴）对称，则豆豆家用坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得豆豆家用坐标可以表示为． 6．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （    ）种． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有4种． 二、填空题 7．若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【详解】解：点与点关于轴对称， . 8．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【分析】 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 9．如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值______．    【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：    则， ∴， ∵点E别是上的动点， ∴时，有最小值 ∵， ∴ 故答案为： 三、解答题 10．在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)写出图中标出的各点的坐标． (2)画出所给图形关于y轴对称的图形，并写出图中各点关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1) 解：，，， (2) 解：如图， 对称点坐标为，，，. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 【答案】(1) 如下图所示，即为所求，     ； (2)12 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：． 12．如图，的顶点均在格点上： (1)直接写出的顶点坐标； (2)顶点关于轴对称的点的坐标为__________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵点A的坐标为， ∴顶点关于轴对称的点的坐标为； （3）解：由题意得 素养提升 1．若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：∵点关于轴对称的点B坐标为，且点B在第二象限，第二象限点横坐标小于，纵坐标大于， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， ∵为整数， ∴， 将代入点的坐标，得横坐标，纵坐标， 因此点的坐标为． 2．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1) (2)， 平移，向右，10个单位长度 (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；图略． （2）解：如图所示，、即为所求；图略． 观察和发现，可以由经过平移变换得到，平移的方向是向右，平移的距离是10个单位长度； （3）解：如图所示，点P即为所求；图略． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)分别画出点A关于轴、轴和原点的对称点B，C，D，并分别写出点B，C，D的坐标． (2)四边形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出它的对称轴． 【答案】(1)所求图形，如图所示； 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)四边形是轴对称图形，对称轴为轴和轴 如图， 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 4．一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 【答案】小兰利用镜面对称（轴对称），将镜子放在如图位置，镜子中就会得到正确的等式，如图所示， 【详解】略 5．在平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)描出下列各点，并把各点依次连接构成一个封闭图形． ，，，，，，． (2)对图形上所有顶点的坐标分别进行下列变化，请指出相应图形的位置和形状的变化． 坐标变化 图形的位置和形状的变化 图形向右和向下分别平移2个单位长度和3个单位长度，形状不变 【答案】(1) (2)图形与原图形关于轴对称，形状不变；图形与原图形关于原点中心对称，形状不变；图形形状不变，以原点为中心放大为原来的2倍；图形形状不变，以原点为中心缩小为原来的 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 6．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中图可得点的坐标为； （3）解：∵点关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 迁移创新 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且．点是轴上的动点，当的值最小时，则点的坐标为______．（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵， ∴点关于轴的对称点的坐标为， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 设直线的方程为， ∵直线经过点和， 代入直线方程可得， ∵， ∴解得， ∴直线的方程为， ∵点在轴上， ∴点的横坐标为， 将代入直线的方程，得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点平移至点，点、的对应点分别是点、． (1)在图中请画出平移后得到的； (2)若连接、， ①、间的关系是________； ②的大小是________°； (3)四边形的面积是________； (4)在图中画出点关于直线的对称点． 【答案】(1) (2)①平行且相等；②90 (3)25 (4) 【分析】 【详解】（1）略 （2）①根据平移的性质，平移后所有对应点的连线平行且相等，、都是平移的对应点连线， 因此，线段与之间的关系是平行且相等． ②如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）． （4）略 3．如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】解；如图，符合题意的线段有，共4条． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $