15.3.1 等腰三角形（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形核心知识点，系统梳理概念（腰、底边、顶角、底角）、性质（等边对等角、三线合一）及判定（定义判定、等角对等边），构建从概念认知到性质推导，再到判定应用的完整学习支架，辅以求边长、角度等题型强化知识落地。 资料以“典例精析+变式巩固”分层设计，突出分类讨论（如边长计算需检验三边关系）和“两圆一线”找点法，培养几何直观（数学眼光）与推理能力（数学思维），结合实际应用题（如方位、折叠问题）渗透应用意识（数学语言）。课中助力教师精准教学，课后学生可通过即学即练与题型归纳查漏补缺，强化知识掌握。

第十五章 轴对称 15.3.1 等腰三角形 课标要点 1.了解等腰三角形腰、底边、顶角、底角等相关概念，能准确识别三角形各组成部分。 2.理解等腰三角形 “等边对等角” 与 “三线合一” 的性质，能完成简单的推理应用。 3.掌握等腰三角形两种判定方法，会运用 “等角对等边” 判定一个三角形为等腰三角形。 4.能够结合性质、判定解决边角计算问题，提升几何逻辑推理与书写表达能力。 学习重难点 重点： 1.掌握等腰三角形相关概念，熟记 “等边对等角” 的性质，用于计算三角形内角。 2.理解等腰三角形 “三线合一” 的含义，会利用该性质进行边角的推理与计算。 3.掌握等腰三角形的两种判定，能够运用等角对等边完成三角形的判定证明。 难点： 1.准确理解 “三线合一”，分清三线的适用条件，避免把腰上线段误用三线合一性质。 2.区分等腰三角形的性质与判定，理清因果关系，规范完成几何证明的逻辑书写。 知识点一 等腰三角形的相关概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰；第三条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角；腰与底边的夹角叫做底角。 知识点二 等腰三角形的性质 性质1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在中，若，则。 性质2：三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 推导说明： 在中，，是底边的中线，则。 在和中， ∵， 。 由全等可得，证明“等边对等角”； 同时得到，，即平分顶角且。 同理可证：顶角平分线、底边上的高，也具备另外两条线段的功能，即“三线合一”。 特别提醒 三线合一仅针对等腰三角形的顶角、底边对应的中线和高。 即学即练 1．如图，在中，，，若，则的长为________． 2．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点三 等腰三角形的判定 1.定义判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。 2.等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：在中，，（等角对等边）。 即学即练 3．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 题型01 根据等腰三角形的性质求有关的边长 解题贴士 等腰三角形求边长，要分清腰和底边，题目没有明确说明时，必须进行分类讨论。算出边长之后，一定要利用三角形三边关系检验，舍去不能构成三角形的情况。 做题优先利用两腰相等的性质列式计算，注意区分腰与底，避免直接默认某条边为腰，出现漏解或者错解。 典｜例｜精｜析 【例1】将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【例2】中，，，的平分线交于D，，则_______． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．不确定 【变式1-2】如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【变式1-3】如图，在中，，，将沿折叠，使点与上的点重合，若，则的长为________． 题型02 根据等腰三角形的性质求角度 典｜例｜精｜析 【例3】如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【例4】如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 【变式2-2】填空： （1）如果等腰三角形的一个底角为，那么其余两个角的度数分别为______和______； （2）如果等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为______． 【变式2-3】如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 题型03 判断等腰三角形的个数 解题贴士 判断等腰三角形个数，核心是寻找图中相等的边或者相等的角，可借助 “等边对等角、等角对等边” 判定。 读图时不要遗漏隐藏的等腰三角形，可以标记图中相等角，再转化为边相等。数三角形要按照一定顺序，防止重复计数或者漏掉部分三角形。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例6】如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，中，，分别平分和，经过点，与，相交于点，，且． (1)求证：； (2)当时，直接写出图中的所有等腰三角形．（除外） 【变式3-2】如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 题型04 根据等腰三角形的存在性找点的个数 解题贴士 等腰三角形存在性找点，分三类情况讨论：分别让已知的每条线段充当等腰三角形的腰或者底边。 可以采用 “两圆一线” 方法画图分析：以已知线段两端点为圆心画圆，再作线段的垂直平分线，数交点即为符合条件的点，注意排除三点共线的无效点。 典｜例｜精｜析 【例7】如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【例8】如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______． 【变式4-2】如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 题型05 等腰三角形的判定 解题贴士 判定等腰三角形有两种思路：一是利用定义，证明三角形有两条边相等；二是利用 “等角对等边”，证明三角形存在一组相等的角。 做题要注意，等角对等边只能应用在同一个三角形中，不可跨三角形使用。推理时写清几何条件，再推出两边相等，完成判定。 典｜例｜精｜析 【例9】如图，平分．试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由． 【例10】如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 【变式5-2】中，D 是中点，，垂足 E、F．判断 形状并证明． 【变式5-3】如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 题型06 等腰三角形的判定与性质 典｜例｜精｜析 【例11】如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【例12】如图，在等腰中，，点D是的中点，且，试判断的形状． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，在的格子图里，在格点上有、、、、五个点，联结，，，，则________（填“”、“”、“”中的一个） 【变式6-2】如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 【变式6-3】如图，已知中，，，在的延长线上取一点，使得，在的延长线上取一点，使得，试判断是什么三角形，并说明理由． 题型07 等腰三角形的实际应用 解题贴士 判定等腰三角形有两种思路：一是利用定义，证明三角形有两条边相等；二是利用 “等角对等边”，证明三角形存在一组相等的角。 做题要注意，等角对等边只能应用在同一个三角形中，不可跨三角形使用。推理时写清几何条件，再推出两边相等，完成判定。 典｜例｜精｜析 【例13】甲乙两人接到电脑发的指令，同时从基地出发去完成各自的任务，甲沿北偏东方向，乙沿正东方向，二人行驶速度都是公里/时，则分钟后甲在乙的方位是（     ） A．北偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【例14】《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，若，则 __________． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是( )平方厘米． 【变式7-2】如图1，是一组太阳能光伏发电系统，图2是该系统支架的示意图，支杆分别垂直于地面，，经测量，则图中光伏板与支杆的夹角的度数为______． 【变式7-3】如图，在池塘两岸有四个点、、、，且它们在同一直线上（、之间不能直接测量），点、在直线异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若连接、，则与的数量关系是； (3)现测得，，求池塘两岸的宽度． 基础通关 一、单选题 1．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 2．以下条件中，能判定三角形是等腰三角形的是（     ） A．三角形中有两个角分别是 B．三角形中有两个角分别是 C．三角形中有两个角分别是 D．三角形中有两个角分别是锐角 3．在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线．如图，已知，求证．小明对辅助线的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线；②作底边上的高；③作底边上的中线．能够判定的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如图，点A，B分别是 边上的点，且 ，点P在 的内部，要使 ，则满足条件的P的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 5．如图，在锐角三角形中，，点、分别在边、上，连接、．下列命题中，假命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 8．如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则_________（用含α的式子表示）． 9．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 三、解答题 10．如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 11．如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 12．如图，在中，，，，试求的度数． 素养提升 1．如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 2．如图，在一单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为____________ 3．如图，在中，，D是射线上一点，以A为圆心，为半径画弧交射线于E，若，则___________°． 4．如图，等腰的底边长为4，是边的中点，点M在线段的垂直平分线上，若周长的最小值为10，则的面积是________． 5．如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 6．如图，在等腰三角形中，，点D为边的中点，为边的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，点M为上任意一点．若等腰三角形的面积为40，，则的最小值为_______． 迁移创新 1．如图，四边形中，，，，于，点为边中点，，，则_________ 2．如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当为等腰三角形时，______． 3．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章 轴对称 15.3.1等腰三角形 课时目标 1.了解等腰三角形腰、底边、顶角、底角等相关概念，能准确识别三角形各组成部分。 2理解等腰三角形“等边对等角”与“三线合一”的性质，能完成简单的推理应 用。 课标要点 3.掌握等腰三角形两种判定方法，会运用“等角对等边”判定一个三角形为等腰三角 形。 4能够结合性质、判定解决边角计算问题，提升几何逻辑推理与书写表达能力。 重点： 1.掌握等腰三角形相关概念，熟记“等边对等角”的性质，用于计算三角形内角。 2理解等腰三角形“三线合一”的含义，会利用该性质进行边角的推理与计算。 学习重难点 3.掌握等腰三角形的两种判定，能够运用等角对等边完成三角形的判定证明。 难点： 1.准确理解“三线合一”，分清三线的适用条件，避免把腰上线段误用三线合一性质。 2区分等腰三角形的性质与判定，理清因果关系，规范完成几何证明的逻辑书写。 清主线 课时内容导图 1/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形 等腰三角形概念 腰：相等的两条边 底边：不相等的第三条边 各部分名称 顶角：两腰的央角 底角：腰与底边的夹角 性质1：等边对等角，两底角相等 几何语言：AB=AC→∠B=∠C 等腰三角形的性质 顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合 性质2：三线合一 等腰 通过△ABD≥△ACD(SSS)完成证明 三角形 判定1【定义】：有两边相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形的判定 条件：∠B=∠C 判定2【等角对等边】 结论：AB=AC 题型01根据等腰三角形的性质求有关的边长 题型02根据等腰三角形的性质求角度 题型03判断等腰三角形的个数 常见题型 题型04根据等腰三角形的存在性找点的个数 题型05等腰三角形的判定 题型06等腰三角形的判定与性质 题型07等腰三角形的实际应用 理新知 教材全盘梳理 ◇知识点 :等腰三角形的相关概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰；第三条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角；腰与底边的夹角叫做底角。 腰 角 腰 底角底角入 底边 今知识点二 等腰三角形的性质 性质1：等边对等角 2/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC中，若AB=AC,则∠B=∠C。 性质2：三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 推导说明： 在△ABC中，AB=AC,AD是底边BC的中线，则BD=CD。 在△ABD和△ACD中， 「AB=AC BD=CD AD=AD .∴.△ABD=△ACD(SSS)。 D 由全等可得∠B=∠C,证明“等边对等角”； 同时得到∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA=90°，即AD平分顶角且AD⊥BC。 同理可证：顶角平分线、底边上的高，也具备另外两条线段的功能，即“三线合一”。 特别提醒 三线合一仅针对等腰三角形的顶角、底边对应的中线和高。 。即学即练 1.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD⊥BC,若BD=3,则BC的长为 B D 【答案】6 【详解】解：，∠B=∠C, 3/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC, :AD⊥BC, .BD=CD=3. .BC=6 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P,EP交AB于点F,若 AB=5,AE=2,则BF的长为() B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：，AB=AC, ∴.∠B=∠C, .EP⊥BC, ∴.∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°. ∴.∠E=∠BFP, 又，∠BFP=∠AFE, ∴.LE=∠AFE, .AF=AE=2, .BF=AB-AF=5-2=3 ◇知识点三 等腰三角形的判定 1.定义判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。 2.等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：在△ABC中，：∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边)。 ◇即学即练 3.如图，在△ABC中，AB=BC=CA,点O在△ABC内，OA=OB=OC,图中一共有()个等腰三角 4/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形. B A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【详解】解：，OA=OB=OC, :.△AOB,△BOC,△AOC是等腰三角形： AB=BC=CA, :.△ABC是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：△AOB,△BOC,△AOC,△ABC, 故选：A 4.如图，在6×6的正方形网格中，A,B两点都是网格的格点，若△ABC是等腰三角形，且点C也是该网 格的格点，则点C的个数是 A B 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点C: ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点C?: ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点C,C4,C,C6,C,C8: 5/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 综上所述，点C的个数是8 通题型 解题能力构建 ◆题型01根据等腰三角形的性质求有关的边长 解题贴士 等腰三角形求边长，要分清腰和底边，题目没有明确说明时，必须进行分类讨论。算出边长之后， 定要利用三角形三边关系检验，舍去不能构成三角形的情况。 做题优先利用两腰相等的性质列式计算，注意区分腰与底，避免直接默认某条边为腰，出现漏解或者 错解。 典例精析 【例1】将含30°角的直角三角尺ACD和直尺按如图所示的方式放置，若∠α=30°，点A,B表示的刻度分 别为0cm,2.9cm,则CD的长为() C A B mupiyum 0 1cm2 3 .4 D A.1.45cm B.2.9cm C.4.35cm D.5.8cm 【答案】C 【详解】解：如图， 6/50 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A B 四mi平叫 0 a D ,AB∥DE,∠a=30°， ∠BAD=La=30°， :∠ADC=30°， .∠BAD=∠ADB, .BD AB =2.9cm, :∠CAD=60° .∠CAB=∠CAD-∠BAD=30° .∠C=90°， .BC=4B=1.45cm .CD=CB+BD=1.45+2.9=4.35(cm) 【例2】△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠B的平分线交AC于D,BD=10,则AD= 【答案】10 【详解】解：如图， A :∠ABC=60°，BD平分∠ABC, .∠ABD= 1∠4BC=30°， :∠C=90°，∠ABC=60°， .∠A=90°-∠ABC=30°， .∠A=∠ABD, ..AD=BD=10 变式|巩1固 7/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB=6,AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作 MN∥BC分别交AB、AC于M、N,则△AMN的周长为() B A.12 B.10 C.8 D.不确定 【答案】B 【详解】解：，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E, .∠MBE=∠CBE,又MN∥BC, LMEB=∠CBE, ∴.∠MBE=∠MEB, .MB=ME, 同理可得：NE=NC, △AMN的周长=AM+MN+AN=AM+ME+NE+AW =AM+MB+AN+NC =6+4 =10. 【变式1-2】如图，在△ABC中，BI,CI分别平分∠ABC,∠ACF交于点I,过点I作DI∥BC交AB于 点D,交AC于点E.若BD=8cm,DE=3cm,则CE等于 D 【答案】5 【详解】解：：BI平分∠ABC, ,∠CBI=∠ABI, ,DE∥BC, .∠DIB=∠CBI, ∠ABI=∠DIB, 8/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DB=DI=8cm, :CI平分∠ACF, ∴.∠ACI=∠FCI, ,DE∥BC, ∴.∠EIC=∠FCI, ∴∠ACI=∠EIC, .CE EI=DI-DE=8-3=5cm 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=80°，将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重 合，若CD=4,则BE的长为 B D 【答案】4 【详解】解：∠BAC=60°，∠C=80°， .∠B=180°-∠BAC-∠C=40°， 由折叠得DE=CD=4,∠AED=∠C=80°， :∠EDB+∠B=∠AED, :∠EDB=∠AED-∠B=40°， ,∠EDB=∠B, .BE=DE=4 ◆题型02根据等腰三角形的性质求角度 典1例精」析 【例3】如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，下列结论不正确的是() B D A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BC 【答案】D 9/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，AB=AC, .∠B=∠C,故A正确： ,AB=AC,D是BC的中点， ∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,故B、C正确： AB与BC的数量关系不确定，故D不正确，符合题意， 【例4】如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是3cm,8cm,那么这个三角形的周长是cm；如 果一个等腰三角形中，有一个角是80°，那么这个三角形的顶角是°。 【答案】 19 20或80 【详解】解：，等腰三角形中，有两条边的长度分别是3cm,8cm, .这个等腰三角形的三边分别为：8cm,8cm,3cm或3cm,3cm,8cm, 8+3>8,3+3<8 ∴.这个等腰三角形的三边长只能为8cm,8cm,3cm, ·这个等腰三角形的周长为8+8+3=19(cm): ·如果一个等腰三角形中，有一个角是80°， 当80°角为底角时，则顶角为180°-80°-80°=20°； 当80°角为顶角时，则底角为(180°-80)÷2=50° ∴这个三角形的顶角度数为20°或80° 变式巩固 【变式2-1】如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则∠1+∠2+∠3=一 【答案】 135°/135度 【详解】解：设小正方形的边长为1如图， 10/50 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A F 2 E 3 B C D 在RtAFDB中，FD=BD=2,∠D=90°， ∴△FDB是等腰直角三角形. ∠2=45°. 在RIAABC和Rta△BED中， AC=BD=2 ∠ACB=∠BDE, BC=DE ∴△ABC≌△BED(SAS) ∴.∠1=∠EBD :在RtABDE中，∠EBD+∠3=90°， ∴.∠1+∠3=90° ∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135° 【变式2-2】填空： (1)如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的度数分别为 和 (2)如果等腰三角形的顶角为70°，那么它的一个底角的度数为一 【答案】 50°/50度 80°/80度 55155度 【详解】解：(1)另一个底角的度数也为50°，顶角度数为180°-2×50°=80°； (2)一个底角的度数为2180°-70)=550 【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，与AC交于点D, 以C为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点E,连结BD,BE,则∠DBE的度数为() A.30° B.45° C.60° D,与∠A的大小有关 11/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：设LA=a,∠C=B,则在Rt△ABC中，∠A+∠C=a+B=90°， 由题意可知AB=AD,CB=CE, ∴△ABD和△CBE是等腰三角形， 则2408-080-A)=90-。 ,2cEB=080-2C)=90-A, 2 在△BDE中，由∠DBE+∠BDE+∠BED=180°可得 DE=18o-o-0o-9e+a)=45 ◆题型03判断等腰三角形的个数 解题贴士 判断等腰三角形个数，核心是寻找图中相等的边或者相等的角，可借助“等边对等角、等角对等边” 判定。 读图时不要遗漏隐藏的等腰三角形，可以标记图中相等角，再转化为边相等。数三角形要按照一定顺 序，防止重复计数或者漏掉部分三角形。 典1例1精1析 【例5】如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB,ED平分∠CDA,则图中的等腰三角形有() B E A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】A 【分析】 【详解】解：，在△ABC中，∠A=72°，∠B=36°， .∠ACB=180°-∠A-∠B=72°， .∠ACB=∠A, ∴.△ABC是等腰三角形： ,CD平分∠ACB, 12/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACD=∠BCD=)∠ACB=36, .∠B=∠BCD,则△BCD是等腰三角形： :∠CDA=180°-∠A-∠ACD=72°， .∠CDA=∠A,则△ADC是等腰三角形： :ED平分∠CDA, ∠ADE=∠CD6=CD1=36, :.∠CDE=∠ACD=36°，则△CDE是等腰三角形； .∠AED=180°-∠A-∠ADE=72°， :,∠A=∠AED,则△ADE是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A. 【例6】如图，在△ABC中，点D,E在边AB和边AC上，且AD=BD=DE. D ()图中共有_个三角形，写出以点C为顶点的三角形： (2)找出图中所有的等腰三角形 【答案】(I)5,△ABC,△BCE (②)△ADE,△BDE 【分析】 【详解】(I)解：图中三角形有△ADE,△BDE,△ABE,△ABC,△BCE,共5个， 以点C为顶点的三角形是△ABC,△BCE, (2)解：，AD=BD=DE, .△ADE,△BDE是等腰三角形. 变式巩固 【变式3-1】如图，△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于点 M,N,且MN∥BC. 13/50 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (I)求证：MW=MB+NC: (2)当OB=OC时，直接写出图中的所有等腰三角形.（△BCO除外） 【答案】() 证明：：MN∥BC, ∠BOM=∠OBC,∠CON=∠OCB, BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, .∠OBM=∠OBC,∠OCN=∠OCB」 .∠BOM=∠OBM,∠CON=∠OCN. ..BM =OM,CN=ON. MN =OM+ON. .MN =MB+NC (②)△BMO,CNO,△ABC,△AMN 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可得BM=OM,CN=ON, ∴.△BMO,CNO是等腰三角形， .OB=OC .∴.∠OBC=∠OCB MN∥BC, .∠BOM=∠OBC,∠CON=∠OCB. BO平分∠ABC，,CO平分∠ACB ∴.∠OBM=∠OBC,∠OCN=∠OCB, .:∠OBM=∠OBC=∠OCN=∠OCB .∠MBO+∠OBC=∠OCB+∠NCO, 即∠ABC=∠ACB 14/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC ∴.△ABC是等腰三角形， 又：MN∥BC ∴.∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠ACB '∠ABC=∠ACB ∴.∠AMW=∠ANM ∴.AM=AN ∴.△AMN是等腰三角形， ∴图中的除△BCO外所有的等腰三角形有：△BM0,CNO,△ABC,△AMN. 【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E, 连接BE,交AD于点F,则图中的等腰三角形有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【分析】 【详解】解：在RIAABC中，∠ABC=90,∠C=30°，∴.∠BAC=180°-90°-30°=60° :AD是∠BAC的平分线，∠BAD=∠CAD-∠BAC=30 AD是角平分线，DE⊥AC,∠ABC=9O°，∴，点D到AB和AC的距离相等，即DB=DE,,△BDE是等 腰三角形： 在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EAD,∠ABD=∠AED=90°，AD=AD,△ABD≌△AED(AAS) ∴，AB=AE,△ABE是等腰三角形： 在△ACD中，：∠CAD=30°，∠C=30°，∴∠CAD=∠C,AD=CD,∴△ACD是等腰三角形： 在△ABE中，AB=AE且∠BAE=60°，∴△ABE是等边三角形， ∴.∠ABE=60°，∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-60°=30°， 在△BEC中，：∠EBC=30,∠C=30°，∴.LEBC=LC,·BE=CE,aBEC是等腰三角形： 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC,共4个. 15/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(4,0),B(-1,4),C(-3,1) 2 、43-2-1 012345x 2 -3 4 5 (I)画出与△ABC关于x轴对称的△AB'C': (2)点C关于y轴对称的点的坐标为一； (3)P是x轴上的一个动点，若以点P,B,A为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点P的个数 为 一个 【答案】(1) △AB'C'如图所示： 2 A (2(3,) (3)4 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：点C(-3,)关于y轴的对称点的坐标为(3，). 故答案为：(3,1)： (3)解：如图， 16/50 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B PP P-5-4-3-2-11O12345 5 当以AB为等腰三角形的腰时，可得△ABP,△ABP,△ABP, 当以AB为等腰三角形的底时，可得△ABP, 所以，以点P,B,A为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点P有4个 故答案为：4. 。题型04根据等腰三角形的存在性找点的个数 解题贴士 等腰三角形存在性找点，分三类情况讨论：分别让已知的每条线段充当等腰三角形的腰或者底边。 可以采用“两圆一线”方法画图分析：以已知线段两端点为圆心画圆，再作线段的垂直平分线，数交 点即为符合条件的点，注意排除三点共线的无效点。 典1例1精1析 【例7】如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点 C,连接AC和BC,使得△ABC是等腰三角形.则满足条件的格点C的个数有()个. B A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【详解】解：如图所示， 17/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 当点C在C1或C2或C3或C4的位置上时，AC=BC, 当点C在C或C6位置上时，AB=BC, .满足条件的格点C的个数有6个. 【例8】如图，在3×3的正方形网格中，点A,B均在格点处，若点C也在格点处，且△ABC是等腰三角形， 则满足条件的点C的位置有」 处. B ● 【答案】8 【详解】解：如图，点C,C,C,C4,C,C6,C,Cs即为所求. C B 3 C C6 C C ∴.满足条件的点C的位置有8处 变|式|巩1固 【变式4-1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图在5×5的网格中，点A的坐 标为(1,2)，点B的坐标为(2,5)，P为第一象限内的整点，若连接不共线的4，B,P三点构成轴对称图形， 则点P的坐标为 18/50 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 2 A 1- -10 12345 【答案】(4,3)，(3,2)，(5,4)，(3,3)，(4,1) 【分析】 【详解】解：依题意，由不共线的A,B,P三点构成轴对称图形， ∴.△ABP是等腰三角形， 则以A为圆心，以AB为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点： 或以B为圆心，以AB为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点： 或以AB为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的P点： y 如图，共有符合要求的点P坐标为：(4,3)，(3,2)，(5,4)，(3,3)，(4,1)， 故答案为：(4,3)，(3,2)，（5,4)，(3,3)，(4,1) 【变式42】如图，A,B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上， 且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有()个. A.7 B.8 C.9 D.10 19/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：如图所示： ①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C有5个： ②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有3个： 故符合条件的点C共有8个. 【变式4-3】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，若存在 格点P,使得△ABP是等腰三角形，则符合条件的格点P共有() A B A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】D 【详解】解：如图， P B 20/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,当△ABP是等腰三角形，则符合条件的格点P共有8个 ◆题型05等腰三角形的判定 解题贴士 判定等腰三角形有两种思路：一是利用定义，证明三角形有两条边相等；二是利用“等角对等边” 证明三角形存在一组相等的角。 做题要注意，等角对等边只能应用在同一个三角形中，不可跨三角形使用。推理时写清几何条件，再 推出两边相等，完成判定。 典1例精析 【例9】如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由. 【答案】解：图中的等腰三角形是△ABC、△ACD、△BCD,共3个： 理由：在△ABC中，∠A=72°，∠B=36°， ∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-72°-36°=72°， 、∠ACB=∠A=72°， .AB=BC, :.△ABC是等腰三角形： CD平分∠ACB, 、∠ACD=7∠ACB=2×72°=36。 在△ACD中：∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-72°-36°=72°， ∴.∠ADC=∠A=72 .AC=CD ∴.△ACD是等腰三角形； :CD平分∠ACB :.∠BCD=∠ACD=36°， 21/50 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠B=36°， .∠BCD=∠B=36°， .BD=CD, :.△BCD是等腰三角形. 【详解】略 【例10】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，边BC的垂直平分线与边AB交于点M,点B在 线段AM上，连接CE,CM,且∠ACE=30°」 (I)求∠ECM的度数； (2)求证：△ECM是等腰三角形. 【答案】(1)20° (2)证明：∠A=50°，∠ACE=30°， ∴.∠CEM=∠A+∠ACE=80°， ∠MCB=∠B=40°， ∴.∠CME=∠MCB+∠B=80°， ∴.∠CEM=∠CME, ..CE=CM, .△ECM是等腰三角形. 【分析】 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， ∴.∠B=90°-∠A=90°-50°=40°， :点M在边BC的垂直平分线上， ∴.MB=MC .∠MCB=∠B=40°， .∠ACM=90°-∠MCB=50° ·∠ACE=30°， .∠ECM=∠ACM-∠ACE=50°-30°=20°， 22/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠ECM的度数为20°， (2)略 变|式巩固 【变式5-1】如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M.求证： △ABC是等腰三角形， B 【答案】证明：：BD与CE是△ABC的高， ·.∠BEC=∠BDC=90°， 在△OBE和△OCD中， ∠BOE=∠COD ∠BEC=∠BDC=90°， OE=OD .AOBE≌aOCD(AAS), .BE CD. 在Rt△BCE和Rt△CBD中， (BE =CD BC=BC' .RtABCES≌RtACBD(HL), .∠ABC=∠ACB. .AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形 【详解】略 【变式5-2】△ABC中，D是BC中点，BE=CF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足E、F.判断△ABC形状并证 明. 23/50 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D 【答案】△ABC是等腰三角形，见解析 【详解】解：△ABC是等腰三角形，证明如下： ,DE⊥AB,DF⊥AC. .∠DEB=∠DFC=90° 在RtADEB和RtADFC中： ..BD=CD,BE =CF, ..RtADEBRtADFC(HL), .∠B=∠C, .AB=AC, ∴.△ABC是等腰三角形 【变式5-3】如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M. D (I)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明. (2)求证：△ABC是等腰三角形. 【答案】(I)RtAOBES≌RiAOCD,Rt△BCE≌RiACBD,R1△OAE≌Rt△OAD,Rt△ABM≌Rt△ACM, RtAOBM≌Rt△OCM, 证明：BD与CE是△ABC的高， ∴.∠BEC=∠BDC=90°， 在RIAOBE和RtAOCD中， 24/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BOE=∠COD ∠BEC=∠BDC=90°， OE=OD ∴.RtAOBES≌RIAOCD(AAS), ∴BE=CD 在Rt△BCE和RtACBD中， BE =CD BC=BC' .RtABCES≌RtACBD(HL), ∴∠ABC=∠ACB, .AB=AC, 在RIAOAE和Rt△OAD中， OE =OD OA=OA' .RIAOAES≌RIAOAD(HL), .∠BAM=∠CAM, 又，AB=AC, ∴.AM⊥BC,BM=CM, .∠AMB=∠AMC=90° 在Rt△ABM和Rt△ACM中， AB=AC AM=AM' .Rt△ABM≌Rt△ACM(HL), 在RtAOBM和RtAOCM中， BM=CM ∠AMB=∠AMC=90°， OM-OM .RiAOBMRIAOCM (SAS) (②)证明：由(I)可知，RtABCE≌Rt△CBD, .∠ABC=∠ACB, 25/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC, “△ABC是等腰三角形 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 >题型06等腰三角形的判定与性质 典例1精析 【例11】如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，BD=4CD=4,以AB为腰在AB的左侧作等腰 Rt△ABE,∠ABE=90°，连接EC,则△EBC的面积为() D A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥BC,交CD的延长线于点F, B ∴.∠EFB=90°， 又，∠ABE=90° ∴.∠FEB+∠EBF=∠EBF+∠ABD=9O°， .∠FEB=∠ABD :AD为BC边上的高，Rt△ABE是等腰三角形， ∠ADB=90°，BE=AB, ∠FEB=∠ABD 在 和 中， ∠EFB=∠ADB=90° △BEF△ABD BE=AB 26/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BEF≌aABD(AAS), ∴.EF=BD, .BD=4CD=4. .EF =4,CD=1,BC=BD+CD=5. :S.E=)BC-EF=x5x4=10. 2 【例12】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，且AE=BF,试判断△DEF的形状. 【答案】解：△DEF是等腰直角三角形，理由如下： ,等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， .∠B=ZC=2(180°-∠BAC)=45°， ,AB=AC,点D是BC的中点， ÷AD1BC,∠BD=∠CMD=BMC=x90r=45, 2 ∴∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠CAD. :∠BAD=∠B=45°， ∴BD=AD 在△BDF和△ADE中， BD=AD ∠B=∠DAE, BF=AE .△BDF≌aADE(SAS), .DF=DE,∠1=∠2， ,∠1+∠3=∠ADB=90°， .∠2+∠3=90°， 即∠FDE=90°， ∴.△DEF是等腰直角三角形. 27/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】略 变式巩固 【变式6-1】如图，在5x5的格子图里，在格点上有A、B、C、D、E五个点，联结AB,AC,AD, AE,则∠BAC ∠DAE(填“>”、“=”、“<”中的一个) B 【答案】= 【详解】解：如图，取格点M,N,连接DE, 由网格可知，∠ABC=∠AME=∠END=9O°，AB=BC,AM=EN,EM=DN, ∴.∠BAC=∠ACB=45°， 在△AEM和△EDN中， AM=EN ∠AME=∠END EM=DN :.△AEM≌aEDN(SAS). ∴.AE=DE,∠AEM=∠EDN, 又，∠EWD=90° ,∠EDN+∠DEN=90° ∴.∠AEM+∠DEN=90°， :.∠AED=180°-（∠AEM+∠DEN)=90°. .△ADE是等腰直角三角形， ∴∠DAE=45°， .∠BAC=∠DAE 28/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式6-2】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6,现将△ABC沿着CB的方向平移到△AB'C 的位置.若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为 BB 【答案】 10 【详解】解：“∠C=90°，AC=BC=6, ∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45° 由平移的性质可知，CC'=2,A'C'=AC=6,B'C'=BC=6,∠CB=∠C=90°， ∴.CB=BC-CC=6-2=4, 在RtADC'B中，∠DCB=90°，∠DBC'=45°， ∴△DCB是等腰直角三角形， ∴CD=CB=4, 5=8am-5n号C-8c-号CD-CR-6x6x44-1g-810 2 2 2 【变式6-3】如图，己知△ABC中，BA=BC=a,∠B=60°，在BC的延长线上取一点D,使得CD=b, 在BA的延长线上取一点E,使得AE=a+b,试判断△ECD是什么三角形，并说明理由. C O 【答案】△ECD是等腰三角形，理由如下： 如图，过点E作EF⊥CD,垂足为点F, 29/50 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠EFB=90°， :∠B=60° .∠BEF=90°-∠B=30°」 Br-8E-(4B+4)-+a+0)=a+, 1 1 ..CF=BF-BC=a+- b-a= b :.DF-CD-CF-b-1b-1b. 1 2 2 .CF=DF, 又：∠EFC=∠EFD=90°，EF-EF, ∴.△EFC≌aEFD, ∴EC=ED, ∴.△ECD是等腰三角形. 【详解】略 。题型07等腰三角形的实际应用 解题贴士 判定等腰三角形有两种思路：一是利用定义，证明三角形有两条边相等；二是利用“等角对等边”， 证明三角形存在一组相等的角。 做题要注意，等角对等边只能应用在同一个三角形中，不可跨三角形使用。推理时写清几何条件，再 推出两边相等，完成判定。 典例精1析 【例13】甲乙两人接到电脑发的指令，同时从基地O出发去完成各自的任务，甲沿北偏东40°方向，乙沿 正东方向，二人行驶速度都是100公里/时，则40分钟后甲在乙的方位是() 30/50 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 甲 →东 1409 乙 A.北偏东25 B.南偏东25 C.北偏西65 D.北偏西25 【答案】D 【详解】解：如下图所示，过点B作BD⊥OB, 由题意可知OA=OB= 40 60 100=200 3 .∠OAB=∠OBA :∠AOC=40°，∠BOC=90°， .∠AOB=50° ∴.∠OAB=∠OBA=65°， ∴∠ABD=25°， ∴.40分钟后甲在乙的方位是北偏西25°. D 北 甲A →东 409 B 【例14】《蝶（同“睫”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为某蝶几设计图，其中 △ADC和△ABC为两个全等的等腰直角三角形，且点F与点B关于直线CE对称，分别连接CF、DF,若 ∠CFD=25°，则∠BCE= 控 睫 古 几 原 固 【答案】 20° 31/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：△ADC和△ABC为两个全等的等腰直角三角形， ∴.CD=BC,∠DCA=∠BCA=45°， .∠BCD=90°， :点F与点B关于直线CE对称， .BC=CF,∠BCE=∠FCE, ..CD=CF, ∴.∠CDF=∠CFD=25° ∴∠DCF=180°-∠CDF-∠CFD=180°-25°-25°=130°， ∠BCF=∠DCF-∠BCD=130°-90°=40°， 1 8∠BCE∠BCF=x40°=209 2 变式巩1固 【变式7-1】如下图，有一个长方形纸片ABCD,AB=20厘米，AD=12厘米，将纸片折叠，使AD边落 在AB边上，折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F,ACEF的面积是( )平方厘米。 D D B 【答案】32 【详解】解：由折叠的性质知，第二个图中CE=BD=AB-AD=8,AD=DE=12, ∠A=∠AED=45°， 第三个图中∠CEF=90°-∠AED=45°， ∴.∠CFE=90°-∠CEF=45°，则∠CEF=∠CFE=45°， .'.CE=CF=8, eGEF的面积=CFxCE=2(平方厘)米，。 【变式7-2】如图1，是一组太阳能光伏发电系统，图2是该系统支架的示意图，支杆AB,CD分别垂直于 地面，EF=CF,经测量∠EFD=130°，则图中光伏板AC与支杆AB的夹角∠I的度数为 32/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 【答案】65°/65度 【详解】解：：EF=CF, ∠CEF=∠ACF ·∠EFD=∠CEF+∠ACF=130°， :.2∠ACF=130°， LACF=65°， :支杆AB,CD分别垂直于地面， .ABI‖CD .∠1=∠ACF=65° 【变式7-3】如图，在池塘两岸有四个点B、F、C、E,且它们在同一直线1上(F、C之间不能直接测 量)，点A、D在直线I异侧，测得AC=DF,AB∥DE,∠BAC=∠EDF=90°. E D (I)求证：△ABC≌△DEF: (②)若连接AE、BD,则AE与BD的数量关系是； (3)现测得∠ABC=30°，BF=DF=30m,求池塘两岸FC的宽度. 【答案】(I)证明：AB∥DE, ∴.∠ABC=∠DEF, ∠ABC=∠DEF 在 和 中， ∠BAC=∠EDF=90° △ABC ADEF AC=DF ,AABC≌△DEF(AAS)； (2AE=BD: 33/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)30m. 【分析】 【详解】(1)略： (2)解：如图， A E D .△ABC≌△DEF, .BC=EF,AC=DF,∠ACB=∠DFE, ∴BF=EC,∠ACE=∠DFB, .△ACE≌△DFB(SAS) .AE=BD (3)解：：aABC≌△DEF, .AC=DF =30m, :∠BAC=90°，∠ABC=30° ..BC=2AC=60m, ..BF=30m. ∴.FC=30m. 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 一、单选题 1.等腰三角形的一个外角是80°，则它的顶角的度数为() A.80° B.80°或50° C.100° D.100°或50 【答案】C 【详解】解：若80°是等腰三角形顶角的外角，则项角的度数为180°-80°=100° 若80°是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为180°-80°=100°，两底角和为2×100°=200°>180°，不 符合三角形内角和，舍去. 34/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，顶角的度数为100° 2.以下条件中，能判定三角形是等腰三角形的是() A.三角形中有两个角分别是30°，60° B.三角形中有两个角分别是40°，80° C.三角形中有两个角分别是50°，80° D.三角形中有两个角分别是锐角 【答案】C 【详解】解：三角形内角和为180°， ∴.选项A、B的第三个内角分别为90°、60°，均无相等内角，不是等腰三角形： 选项C的第三个内角为180°-50°-80°=50°，有两个相等内角，则这两个相等的角的对边相等，故是等腰 三角形： 选项D中，两个锐角无法确定是否相等，如两角为30°和60°时不是等腰三角形，不能判定. 3.在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”时，需添加辅助线.如图，已知∠B=∠C，求证 AB=AC,小明对辅助线AD的描述采取了三种不同方法：①作顶角平分线AD;②作底边BC上的高AD: ③作底边BC上的中线AD.能够判定△ABD≌△ACD的是() 6 D A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】A 【详解】解：①作项角平分线AD, .∠BAD=∠CAD 又：∠B=∠C,AD=AD, 、.△ABD≌△ACD(AAS): ②作底边BC上的高AD, .AD⊥BC,即∠ADB=∠ADC=90°， 又∠B=∠C,AD=AD, .△ABD≌aACD(AAS): ③作底边BC上的中线AD, 35/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'BD=CD, 结合∠B=∠C,AD=AD,构成SSA,不能证明△ABD≌△ACD 综上所述，能够判定△ABD≌△ACD的是①② 4.如图，点A,B分别是∠MON边上的点，且OA=OB,点P在∠MON的内部，要使PA=PB,则 满足条件的P的个数有() M A A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 【答案】D 【详解】解：PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 .OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∴线段AB的垂直平分线经过点O，且平分∠AOB(等腰三角形三线合一) ∴·点P在∠MON的角平分线上 :点P在∠MON的内部，且角平分线在角内部的部分是一条射线 ·满足条件的点P有无数个 5.如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD.下列命题 中，假命题是() A.如果∠DCB=∠EBC,那么CD=BE B.如果CD=BE,那么∠DCB=∠EBC C.如果∠DCB=∠EBC,那么BD=CE D.如果BD=CE,那么∠DCB=∠EBC 36/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：如果∠DCB=∠EBC, .AB=AC, .∠DBC=∠ECB, .CB=BC. :.△DCB≌aEBC(ASA). :.CD=BE,BD=CE,故选项A、C都是真命题； 如果CD=BE,无法证明△DCB≌aEBC, 继而得不到∠DCB=∠EBC,故选项B是假命题： 如果BD=CE, ∠DBC=∠ECB,CB=BC, .aDCB≌aEBC(SAS)」 .∠DCB=∠EBC,故选项D是真命题. 6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点C, 点D为焦点.若C0=CD,∠ABD=153°，则∠COD的度数为() B A A.27° B.30° C.37 D.40° 【答案】A 【详解】解：，AB∥OD,∠ABD=153° .∠BD0=180°-∠ABD=180°-153°=27°， .CO=CD. .∠COD=∠BD0=27° 二、填空题 7.如图，在△ABC中，AB=AC，,∠BAC=130°，DA⊥AC交BC于点D,则∠ADC的度数为°. A D 【答案】65 37/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：AB=AC,∠BAC=130°， ∠C=∠B-180°-，B1C=25. :DA⊥AC,即∠DAC=90°， .∠ADC=90°-∠C=650 8.如图，直线a‖b,直线l与直线a,b分别交于点A,B,点C在直线b上，且CA=CB.若∠I=a,则 ∠2= (用含a的式子表示). A 2 b 【答案】180°-2a 【详解】解：aWb, .∠2=∠ACB,∠I=∠CBA=a, .CA=CB. ∴∠CAB=∠CBA, 在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA=180°， .∠2=180°-∠CAB-∠1=180°-2a, 9.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F,当 EF=7,BE=3时，CF的长为— B 【答案】 4 【详解】解：，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点， .∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO. :EF过点O,EF∥BC交AB、AC于点E、F, .∠EOB=LOBC,∠FOC=∠BCO, 38/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EOB=∠EBO,∠FOC=∠FCO, ..EB=EO,FC=FO. EF=7,BE=3, .FC=FO=EF-EO=EF-EB=7-3=4 三、解答题 10.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,E为AC上一点，且AD=AE,连接DE,若 ∠BAC=80°，求∠CDE的度数. D 【答案】20° 【详解】解：：AD⊥BC,AB=AC,∠BAC=80° ∠BAD=∠CAD=3∠BAC=40°，∠ADC=90 .AD=AE. 六∠ADE=∠ABD=180-,DAE=70° 2 :∠EDC=∠ADC-∠ADE=20° 11.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，E是AC上一点且DEI‖AB (I)求证：DE=AE」 (2)若∠EDA=24°，求∠C的度数. 【答案】(1) 证明：：AB=AC,AD是BC边上的中线， .∠BAD=∠CAD. 又DEIAB, 39/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADE=∠BAD, ∴.∠ADE=∠CAD, ..DE=AE: (2)66° 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：∠EDA=24°， ∴.∠CAD=∠EDA=24° ,AB=AC,AD是BC边上的中线， .∠ADC=909 .∠C=90°-∠CAD=66° 12.如图，在△ABC中，AB=AC,AD=DE=EB,BD=BC,试求∠A的度数. B D 【答案】∠A=45 【详解】解：设∠EBD=a, .AD=DE=BE,BD=BC,AC'=AB. :∠A=∠AED,∠EBD=∠EDB=a,∠C=∠BDC=∠ABC ∴.∠AED=∠EBD+∠EDB=2a, .∠A=2a ∴.∠BDC=∠A+∠EBD=3a, .∠C=∠ABC=3a :在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， .2a+3a+3a=180°，解得a=22.5°， .∠A=2a=45°. ®素养提升 40/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=BC,∠ABC=90°，连接BD,若∠BDC=90°，CD=2,则四 边形ABCD的面积为 B 【答案】12 【详解】解：作AH⊥BD于点H, A 1 D H ⊙ AB=AD. ∴.BH=DH, :∠AHB=∠BDC=∠ABC=90°， ∴.∠ABH=90°-∠CBD=∠BCD, AB=BC. ·.△ABH≌△BCD(AAS). ∴.AH=BD,BH=CD=2, .DH=BH =CD=2, .AH=BD=2+2=4, :S四边形HBCD=S△MBH+S△MDH+S△BCD, .5四边形MBcD=3×亏×2×4=12 2 2.如图，在一单位为1的方格纸上，△44,4，△4A4,△4A,4,,都是斜边在x轴上、斜边长分 别为2,4,6，…的等腰直角三角形.若△444的顶点坐标分别为4(2,0)，4，(1，-)，4，(0,0)，则依图 41/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中所示规律，A018的横坐标为. 1> 【答案】1 【详解】解：，各三角形都是等腰直角三角形， ∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半， A(2,0),4(1-1),A(0,0),A(2,2),4(4,0),A,1,-3),A4,(-2,0),4(2,4),A(6,-1),A0(1,-5) A1（-4,0),A2(2,6),…, 由上可知：当脚码是1、5、9.时，横坐标是脚码加3的和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、10时， 横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、11.时，横坐标是脚码减3的差的一半的相 反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、12.时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半. .2018÷4=504…2, 018=-1009 ∴点40的横坐标的横坐标为1，纵坐标是-2 ∴.即点A2018的横坐标为1. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D是射线BC上一点，以A为圆心，AD为半径画弧交射线AC于E,若 ∠BAD=100°，则∠BDE= 【答案】50 【详解】解：设∠ABC=x, AB=AC. ∴.∠ACB=∠B=x, 42/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC=180°-2x, :∠BAD=100°， .∠CAD=∠BAD-∠BAC=100°-(180°-2x)=2x-80°， 由题意知AD=AE, ∠ADE=∠AED=2080°-∠CAD)=2080°-(2x-80]=130°-x, .∠ADC=∠ACB-∠CAD=x-(2x-80)=80°-x ∴.∠BDE=∠ADE-∠ADC=130°-x-(80°-x)=50° 4.如图，等腰△ABC的底边AC长为4，D是边AC的中点，点M在线段BC的垂直平分线EF上，若 △CDM周长的最小值为10，则△ABC的面积是 B F 【答案】16 【详解】解：如图，连接BM,BD, D :等腰△ABC的底边AC长为4，D是边AC的中点， :CD=)4C=2,BD⊥AC ,点M在线段BC的垂直平分线EF上， .BM=CM, ∴.aCDM的周长为CD+CM+DM=2+BM+DM 由两点之间线段最短可知，当B,M,D三点共线时，BM+DM的值最小，最小值为BD的长， ∴△CDM周长的最小值为2+BD, 又：aCDM周长的最小值为10， .2+BD=10 BD=8, 43/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △4BC的面积是24C·BD=)×4x8=16 1 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E、F分别是BC边、AB边、AC边上的动点， 连接DE、EF、DF,使△BDE≌△FDE,若AAEF是等腰三角形，那么∠BED的度数为 【答案】75°或52.5°或30° 【详解】解：∠C=90°，∠A=30°， ∠B=60° 分三种情况：当FA=FE时， .∠FEA=∠A=30°， ∴.∠BEF=180°-∠FEA=150°. ,△BDE≌△FDE, A∠BBD=∠FED=)∠BEF=75°： 2 C(D)4 当AF=AE时， &∠ABF=∠AFE=180,4=75, 2 .∠BEF=180°-∠AEF=105° ,△BDE≌△FDE, .∠BED=∠DEF= ∠BEF=52.5°： 2 B 44/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当EA=EF时， ∴∠A=∠EFA=30°， ·.∠AEF=180°-∠AFE-∠A=120°， .∠BEF=180°-∠AEF=60° :△BDE≌△FDE, :∠BED=∠DEF=)∠BBF=30. 所以∠BED的度数为75°或52.5°或30° B CF) 6.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D为BC边的中点，EF为AB边的垂直平分线，分别交 AB于点E,交AC于点F,点M为EF上任意一点.若等腰三角形ABC的面积为40，BC=8,则 BM+DM的最小值为 M E 【答案】10 【详解】解：如图所示，连接AM,AD, B E :在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D为BC边的中点， AD⊥BC, :等腰三角形ABC的面积为40，BC=8, 8c40=40, 45/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=10: ,EF为AB边的垂直平分线， ∴.AM=BM, ∴.MB+MD=MA+MD≥AD, .当A、M、D三点共线时，MB+MD有最小值，最小值为10. 品迁移创新 1.如图，四边形ABCD中，AD‖BC,AB=CD,AD=BC,CE⊥AD于E,点F为边AB中点， AD=2CD,∠CEF=40°，则∠AFE- 2 B C 【答案】30° 【详解】解：延长EF、CB交于点G,连接FC, A E D B :四边形ABCD中，ADI川BC,AB=CD,AD=BC, ∴∠A=∠GBF,∠AFE=∠BFG,∠GCE=CED=90°， .∠G=90°-∠CEF=50°， 点F为边AB中点， .AF-BF-74B. .△AFE≌△BFG(ASA) 46/50 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FE=FG, ..FC=FE=FG. ∴∠FCG=∠G=50°， :.∠GFC=180°-∠FCG-∠G=80°」 Br-4,A0-号D,6-CDD-C .BF=BC. :.∠BFC=∠FCG=50°」 :.∠BFG=∠GFC-∠BFC=30°， .∠AFE=∠BFG=30° 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12,D为BC上一点，连接AD,过点A作AE⊥AD, 取AE=AD,连接BE交AC于F.当△AEF为等腰三角形时，CD=一· E 【答案】4或12 【详解】解：当EA=EF时，如图l,过点E作EH⊥AC于H. B 图1 :EA=EFEH⊥AF .AH=FH, EA⊥AD, .∠EAD=∠EHA=∠EHF=∠C=90°， ∴.∠EAH+∠CAD=90°，∠CAD+∠ADC=90°， LEAH=∠ADC, 在△EHA和△ACD中， 47/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠EAH=∠ADC ∠EHA=∠C AE=DA .△EHA≌△ACD(AAS). .AH=CD,EH=CB, :AC=BC=12, .'.EH=CB 在△EHF和△BCF中， ∠EFH=∠BFC ∠EHF=∠C EH=BC ·.AEHF≌△BCF(AAS), ∴FH=CF, .AH=FH=CF CD. :.CD=CF=TAC-4: 3 当AF=EF时，如图2，点D与B重合，此时CD=BC=12. C(F) B(D) 图2 综上所述，满足条件的CD的长度为4或12. 3.如图，△ABC中，∠C=9O°，点D在AC上，点E在AB上，∠BDE=90°，DB=DE=AE. 48/50 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B C (①)若BC=5,求AD的长 (2)∠A的度数为 【答案】()10 (2)22.5° 【分析】 【详解】(I)解：如图所示，过点E作EF⊥AD交AD于点F. A E F D B C .·.∠EFD=90° ∴.∠DEF+∠EDF=90° 又：∠BDE=90°， ∴.∠EDF+∠BDC=180°-∠BDE=90°， ∴.∠DEF=∠BDC, 在△DEF和△BDC中， ∠DEF=∠BDC ∠EFD=∠C DE=BD ∴.ADEF≌aBDC(AAS). ∴.DF=BC=5 49/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EA=ED,EF⊥AD, ...AD=2DF=10 (2)解：设∠A的度数为x, .EA=ED, .∠EDF=∠A=x, 又'aDEF≌aBDC, .∴∠DBC=∠EDF=x DB=DE,∠BDE=90°， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴.∠EBD=45° 在△ABC中，根据三角形内角和为180°， ∠A+∠EBD+∠DBC+∠C=180°， 即x+45°+x+90°=180°， 解得x=22.5°， .∠A=22.5° 50/50