第2章 有理数的运算 专题与综合探究 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算的技巧提炼与数轴应用，通过分类专题构建“技巧-规律-综合”三阶训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |加法运算技巧|7题（含裂项相消）|同号/相反数/同形/凑整结合法、裂项相消法|从基础运算技巧到复杂裂项，形成阶梯式方法链| |数轴规律及应用|4题（含综合实践）|动态规律探究、数形结合应用|从数轴滚动/移动规律到实际问题（刻度尺对应），体现数形转化| |综合探究|9题（幻方/进位制）|幻方构造、进位制转换|结合数学文化（洛书）与跨学科应用（计算机二进制），发展创新意识|

第2章 有理数的运算 专题与综合探究 专题1 加法运算的五种技巧 技巧1 同号结合法 1.计算：. 技巧2 相反数结合法 2.计算：. 技巧3 同形结合法 3.计算：. 4.计算：. 技巧4 凑整结合法 5.计算：. 6.计算：. 技巧5 裂项相消法 7.观察下列等式： 计算：. 请按照上述方法计算：. 专题2 与数轴有关的规律及应用 知识点1 与数轴有关的规律 1.如图，边长为1的正方形，沿着数轴顺时针连续滚动，起点与－2重合，则滚动2026次后，点在数轴上对应的数是________. 2.如图，在数轴上，点表示的数为1.现点做如下移动：第1次点向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点按照这种移动方式进行下去，点表示的数是________. 知识点2 与数轴有关的应用 3.琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴(刻度尺上为数轴上的1个单位长度)，数轴上的点恰好分别与刻度尺上的刻度值“””和"7cm"对应. (1) 若点表示的数为－2，则点表示的数为________，点表示的数为________； (2) 若点与点表示的数互为相反数，求点表示的数； (3) 若点表示的三个数的和为2，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值. 4.综合与实践 如图，数轴上有六个点，相邻两点之间的距离均为(为正整数)，点表示的数为－4，设这六个点表示的数的和为. 【基础知识与基本技能】 (1) 若，则点表示的数是________，原点所在的位置是点________处. 【基础思想与基本活动经验】 (2) 已知点表示的数是8. ①求的值； ②求的值. 综合探究 新课标、新题型 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15.如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物(人) 1.幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等，则图中的值为________. 2.如图，将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4这9个数分别填入幻方的9个空格中，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都得0. 3.自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于60. 4.在如图所示的9个方格内填入5个2和4个－2，使每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积都是8. 5.小学的时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏.现在将－1，2，－3，4，－5，6，－7，8分别填入如图所示的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的四个数之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为________. 6.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.“洛书”是一种关于天地空间变化的脉络图案(如图1)，它以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方.三阶幻方又名九宫格，它将9个数字(数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等.如图2所示的三阶幻方中填写了一些数字和字母，则的值是（ ） A.11 B.12 C.15 D.16 7.综合与实践 进位制的认识与探究 活动一：认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制.使用十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…….如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到下面的式子： . 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式. 任务1：二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1.请把二进制数1011表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数. 说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如，(1011)2就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数. 任务2：把89转换为二进制数和八进制数. 8.生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：.计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，：二进制数10000转化为十进制数： 其他进制也有类似的算法. (1) 【发现】根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2) 【迁移】将八进制数“72”转化为十进制数； (3) 【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一.根据图示，求孩子已经出生的天数. 9.计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1)，是逢2进1的计数制，二进制数与常用的十进制数之间可以互相换算，如将，换算成十进制数应为.按此方式，则________. 答案 专题1 加法运算的五种技巧 1.解：原式 . 2.解：原式 . 3.解：原式 . 4.解：原式 . 5.解：原式 . 6.解：原式 . 7.解：原式 . 专题2 与数轴有关的规律及应用 1. 2024 2.－3038 3.解：(1) －6 1 (2) 依题意，得点表示的数为 所以点表示的数为 . (3) 设点表示的数为，则点，表示的数分别为. 依题意，得 解得. 所以数轴的原点对应刻度尺上的刻度值为. 4.解：(1) 4 D (2) ①因为点表示的数是－4，点表示的数是8，所以点与点之间的距离为 |－4|＋|8|=12. 所以相邻两点之间的距离 ，即. ②因为， 所以点表示的数分别为. 所以这六个点表示的数的和 . 综合探究 新课标、新题型 1.－5 2.解：如图所示.(答案不唯一) 3.解：如图所示.(答案不唯一) 4.解：如图所示. 5.－6或－3 6.B 7.解：任务1： (1011) . 任务， 所以89转换为二进制数为(1011001)； 所以89转换为八进制数为. 8.解：(1) 46 (2) 依题意，得 (3) 由于满五进一，类似于五进制数， 所以图示表示的五进制数为132， 转化为十进制数为 ， 所以孩子已经出生了42天. 9. 18 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $