第二章 有理数的运算提升练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 以“培优提升专题”为框架，分层设计基础巩固、能力提升、综合拓展三级练习，覆盖有理数运算全知识点，通过梯度题型培养抽象能力、运算能力和推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一运算（绝对值、倒数、乘方概念）|以选择填空为主，如绝对值化简、倒数计算，夯实基础考点| |能力提升|综合应用（实际问题、幻方、行程问题）|结合生活情境，如新能源汽车续航计算、游戏得分比较，提升运算能力| |综合拓展|创新拓展（新定义运算、规律探究、代数推理）|设置阅读理解题（完美指标、二进制转换）和规律题（幻方、数字规律），培养推理意识与创新意识|

第二章 有理数的运算 培优提升专题1 有理数的加法与减法 1.(2026 浙江期中)若|x|=7,|y|=5,且x+y>0,则x-y的值是( ) A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12 2.(2026 陕西二模)幻方最早起源于我国，古人称之为“纵横图”.在如图所示的幻方中，填写了一些数、式子和汉字(其中每个式子或汉字都表示一个数)，若每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“安”字对应的数为 . a+2 我 爱 西 2 -a-3 3 安 5 3.设[x]表示不超x的整数中最大的整数，如：[1.99]=1,[ - 1.02] = - 2,根据此规律计算:[-2.4]-[-0.6]= . 4.(2026 四川期末)若|a|=2,|b|=5,且|a+b|=a+b,则a-b的值为 5.(2026 烟台期末)在活动课上，李老师邀请小明、小宇玩一个游戏，规则为每人每次抽取四张卡片.若抽到方块卡片，则加上卡片上的数字；若抽到桃心卡片，则减去卡片上的数字.比较两人所抽四张卡片的计算结果，结果较小的为同学表演节目，小明抽到如图1所示的四张卡片，小宇抽到如图2所示的四张卡片，则小明、小宇谁会为同学们表演节目? 6.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉,例如:|6+7|=6+7;|6-7|=7-6;|7-6|=7-6;|-6-7|=6+7. (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式①|7-21|= ;| (2)用合理的方法计算： (3)用简单的方法计算： 7.(2026 惠州期末)小明家购置了一辆续航为350 km(能行驶的最大路程)的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天驾车外出，每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表(单位：km，以40 km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“-”).已知该汽车第三天行驶了45 km，第六天行驶了34 km. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 -6 +2 -3 +8 ● +7 (1)■处的数为 ,●处的数为 ; (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示.请通过计算说明该汽车在第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示. 培优提升专题2 有理数的乘法与除法 1.(2026 四川模拟)若m,n互为倒数,且满足m+mn=3,则n的值为( ) A.\frac{1}{4} B.\frac{1}{2} C.2 D.4 2.(2025 东莞模拟)已知|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a,则b-2a= . 3.若a,b,c都是有理数,|a|=4,|b|=9,|c|=6,且 ab>0, bc<0,则a-b-(-c)= . 4.简便计算： 5.【阅读理解】阅读下面的解题过程，再解答问题. 因为a÷b与b÷a互为倒数，所以在计算 的值时可采用下列方法： 解： = - 16+18-21= - 19, 所以原式 根据上述方法，计算： 6.(2026绵阳期末)同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算.其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决. 例如：计算 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单. 解： (1)应用上面的方法计算： (2)类比应用上面的方法计算： 7.【代数推理】我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”.例如：10 的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10. 所以10的“完美指标”是[(1+5)-(2+10)] 我们规定，若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”例如，因为6的“完美指标”是 7没有正偶数因数,7 的“完美指标”是(1+7)÷7=\frac{8}{7}，且 所以6比7更“完美”. 根据上述材料，求18，19，20这三个自然数中最“完美”的数. 培优提升专题3 有理数的乘方 1.(2026 内蒙古一模)日常生活中，我们用十进制来表示数，如 计算机中采用的是二进制，即只需要0 和1两个数字就可以表示数.如二进制中的 可以表示十进制中的10.那么，二进制中的110 101 表示的是十进制中的( ) A.25 B.23 C.55 D.53 2.(2026 广西期中)定义新运算“⊗”,规定:a⊗b= 则(-2)⊗(-1)的运算结果为( ) A.-5 B.-3 C.5 D.3 3.(2025 广州模拟)已知 则 的值为 . 4.(2026 新疆期末)若a,b 互为相反数,c,d互为倒数，x的绝对值为3，则代数式a+b-cd+x的值为 . 5.计算: 6.计算: 7.(2026安徽期中改编)拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如图. (1)第4 次捏合后可拉出 根细面条； (2)第 次捏合后可拉出1024 根细面条 8.嘉琪发明了一个魔术盒，当数对(a，b)(a，b为有理数)进入其中时，会得到一个新的有理数： 1，例如把(1，2)放入其中，就会得到 =6. (1)把(-1，-2)放入其中，求得到的新有理数； (2)若把(-2，-n)放入其中，得到的新有理数为-1,求n的值. 9.(2026宿迁期末)综合与实践. 【观察计算】(1)用等号或不等号填空： 【猜想说明】 (2)仿照上面，再任意取几组数值，进行计算比较，你能发现什么大小关系，试用不等式进行表达. 【思考应用】 (3(用等号或不等号填空). (4)如图，已知一个长方形的面积为16，分别以它的宽和长(宽和长不相等)为边向外画正方形，记这两个正方形的面积分别为 S₁，S₂，则 的取值范围是 . 培优提升专题4 教材难题生长题 1.【例】(人教7上P36拓广探索)(抽象能力、运算能力、应用意识)某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护.某天早晨他们从A 地出发，晚上最终到达B 地.约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录(单位：km)如下: +18,-9,+7,-14,-6,+13,-6,-8. 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶. (1)B地在A 地的哪个方向?它们相距多少千米? (2)如果汽车行驶1km平均耗油aL，那么这天汽车共耗油多少升? ◇解题思路：(1)先根据有理数运算的方法，把当天的行驶记录相加，再根据正、负数的意义，判断B地在A地的哪个方向，以及它们相距多少千米；(2)先求出当天行驶记录的绝对值的和，再根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升. 难题生长 2.某施工小组乘一辆汽车在东西走向的公路上进行建设，约定向东走为正.某天他们从A地出发，到收工时的行走记录如下(单位：km)： +11 -3 +7 -2 +9 -10 -4 +13 -2 -9 +5 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶. (1)收工时施工小组是否回到A地?如果回到A地，请说明理由；如果没有回到A地，请说明施工小组最后的位置； (2)距离A 地最远的是哪一次?距离多远? (3)若该汽车每千米耗油0.2升，开工时储油12升，到收工前，中途是否需要加油?若需要加油，最少加多少升；若不需要加油，到收工时，还剩多少升汽油?(假定汽车可以开到油量为0) 教 材 难 题 3. 【例】 (1) (人教 7 上 P62 拓宽探索) (运算能力、推理能力) 用计算器计算下列各式,将结果写在横线上: 1 × 1 = 　　　　　　　　　　　; 11 × 11 = 　　　　　　　　　　　; 111 × 111 = 　　　　　　　　　　　; 1111 × 1111 = 　　　　　　　　　　　. (1) 你发现了什么? (2) 不用计算器,你能直接写出 111 111 111 × 111 111 111 111 的结果吗? &d9;解题思路：用计算器分别进行计算,再根据结果找出规律,最后根据规律写出结果。 4. 计算与推理. 【操作】 (1) 用计算器计算下列各式,并写出结果: 15 × 15, 25 × 25, 35 × 35, 45 × 45, &dots; 95 × 95. 【猜想】 (2) 不用计算器,请你按照规律直接写出 105 × 105 的结果. 【拓展】 (3) 请你结合(1)(2)的计算规律,不用计算器,写出下列各式的结果: 14 × 16, 23 × 27, 24 × 26, 22 × 28, &dots; 56 × 54, &dots; 97 × 93. 【总结】 (4) 在(3)中,你发现了什么规律? 请用简要的语言叙述出来. 培优提升专题 5 全国视野培优特训 1. (2025 张家罗一楼)嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了 4 块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：mm），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0” +3 0 -1 0 (1)通过列式，求这 4 块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少毫米？ (2)将符合规定尺寸的记为 10 分，不符合的不予计分.并依据测量结果执行扣分（每超过 1 mm 扣 1 分，每不足 1 mm 扣 3 分）。 ①嘉嘉制作的这 4 块正方形木板，可得多少分？ ②后来嘉嘉又制作了 2 块正方形木板，这 6 块共得了 22 分，写出后来制作的 2 块的测量结果。 2.(2026 山西月考)下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程： 【提出问题】已知三个有理数a，b，c满足 abc>0，求 的值. 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. ①当a,b,c都是正数,即a>0,b>0,c>0时,则 ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0,则 综上所述， 的值为3 或-1. 【探究拓展】请根据上面的解题思路，解答下面的问题： (1)已知a,b是不为0的有理数,当 ab >0时,则 的值是 ； (2)已知a,b,c是有理数,当 abc<0 时,求 的值； (3)已知a,b,c是有理数,a+b+c=0,abc<0,求 的值. 3.(2025 珠海期中)阅读材料，回答问题. 材料：一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形(如图1所示)，记为第一次操作，得到4个较小的等边三角形；再将其右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，得到7个较小的等边三角形.若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，循环下去. (1)如果剪n次，那么共能得到 个较小的等边三角形； (2)若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如 …，试用含n的式子表示( (3)如图2，将一个边长为1 的正方形纸片分割成7个部分，部分①是整体面积的一半，部分②是部分①面积的一半，依次类推.据此思想直接写出(2)中 (4)运用(3)的结论，计算 的值. 第二章 有理数的运算 培优提升专题1 有理数的加法与减法 1. A 2.-2 3.-2 4.-3或-7 5.解:小明: 小宇： ∴小明会为同学们表演节目. 6.解:(1)①21-7 (2)原式 (3)原式 7.解:(1)+5 - 6 (2)由题意得-6+2+5-3+8-6+7 =2+5+8+7-6-3-6=22-15=7(km), 40×7+7=280+7=287(km), 350-350×15%=350-52.5=297.5(km), ∵297.5>287,∴行车电脑不会发出充电提示. 培优提升专题2 有理数的乘法与除法 1. B 2.7或13 3.-11或11 4.解：原式 5.解: = - 45-50+44+35=-16, 所以原式 6.解: (2)原式 7.解:18的正因数有1,2,3,6,9,18,正奇数因数有1,3,9,正偶数因数有2,6,18, 所以18的“完美指标”是[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18= 19的正因数有1,19, 正奇数因数有1，19，无正偶数因数， 所以19的“完美指标”是 20的正因数有1,2,4,5,10,20, 正奇数因数有1,5,正偶数因数有2,4,10,20, 所以20的“完美指标”是[(1+5)-(2+4+10+20)]÷20 因为 所以18是18，19，20这三个自然数中最“完美”的数. 培优提升专题3 有理数的乘方 1. D 2. D 3. - 1 4. - 4或2 5.解:原式= -8+(-3)×18-9÷(-2) = - 8-54-9÷(-2) = - 62+4.5= - 57.5. 6.解：原式 =-1-(-2)+(-8)÷1-15| 7.(1)16 (2)10 8.解:(1)将(-1,-2)代入,得 (2)将(-2,-n)代入,得( 通过运算顺序逆向推出n=3. 9.解:(1)= > > (2)举例如下： 用不等式表达：( (3)> 【解析】设长方形的长为a，宽为b，则 且 ab=16, ∵宽和长不相等,∴a≠b,. 培优提升专题4 教材难题生长题 1.【例】解:(1)+18-9+7-14-6+13-6-8=(18+7+13)-(9+14+6+6+8)=38-43= - 5(千米).答：B地在A 地的南边，它们相距5千米. (2)(118+7+13|+|-9-14-6-6-81)×a =(138|+1-43|)×a=(38+43)×a=81a(升). 答：这天汽车共耗油81a升. 2.解:(1)( +11)+(-3)+( +7)+(-2)+( +9)+(-10)+(-4)+( +13)+(-2)+(-9)+(+5) =11-3+7-2+9-10-4+13-2-9+5=15(km). 答：收工时施工小组没有回到A地，最后的位置是A 地向东15 km. (2)每次的位置依次为+11,+8,+15,+13,+22,+12,+8,+21,+19,+10,+15, 故距离A 地最远的是第5次，距离A 地22 km. (3)|+11|+|-3|+|+7| +|-2| +|+9|+|-10|+|-4|+|+13|+|-2|+|-9|+|+5|=75(km),75×0.2=15(升), 因为15>12,故需要加油,15-12=3(升). 答：中途需要加油，最少加3升. 3.【例】解:1 121 12 321 1 234 321 (1)发现：相乘的积为对称数，最中间的数为乘数中的1的个数.(答案不唯一) (2)111 111 111×111 111 111=12345 678 987 654321. 4.解:(1)15×15=225,25×25=625,35×35=1225,45×45=2025,…,95×95=9025. (2)105×105=11 025. (3)14×16=224,23×27=621,24×26=624,22×28=616,…,56×54=3 024,…,97×93=9021. (4)规律：两个两位数相乘，如果这两个两位数的十位数字相同且个位数字之和等于10，那么所得的积前一(或两)位数等于十位数字与十位数字加1的积，后两位数等于原两位数的个位数字之积.(答案不唯一) 培优提升专题5 全国视野培优特训 1.解:(1)由题意可得(+3)-(-1)=3+1=4(mm) 答：最大块的边长比最小块多4mm. (2)①10×2-1×3-3×1=14(分). 答：嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得14分. ②原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分， 故有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸2mm的正方形木板. 2.解:(1)±2 (2)当 abc<0时, ①设a>0,b>0,c<0,则 1+1-1=1; ②当a,b,c都是负数,即a<0,b<0,c<0时,则 综上所述， 的值为1或-3. (3)当 abc<0时, a，b，c可能是一个负数、两个正数或a，b，c都是负数，∵a+b+c=0,∴ 只能是一个负数、两个正数, ∴可设a>0,b>0,c<0,则 a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a, 3.解:(1)(3n+1) (4)原式 学科网（北京）股份有限公司 $