第1章 02 1.1.2 空间向量的数量积运算（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过“基础过关+能力提升”分层设计，以空间向量数量积为核心，从概念运算到综合应用梯度递进，强化空间观念与运算推理能力，适配新授课知识巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|数量积概念运算、夹角计算、模长求解|以正方体、四面体等模型为载体，设置选择填空基础题型，强化概念理解与公式应用，如题组一结合正方体棱长考查数量积运算| |能力提升练|范围最值问题、综合几何应用|引入动点轨迹（如球心半径）、多面体综合模型，通过多选题、动态问题提升推理能力，如题组一正四面体中数量积最值问题培养空间想象与转化思想|

1.1.2　空间向量的数量积运算 基础过关练 题组一　空间向量数量积的概念及其运算 1.(2026安徽阜阳太和第一中学月考)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,若=a,=b,=c,则(a+b)·(b-c)=(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.4 2.(2026河南洛阳栾川月考)如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在上的投影向量为(　　) A.-　　B.　　C.-　　D. 3.(2026河南信阳高中月考)若A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足·=·=·=0,则△BCD是(　　) A.钝角三角形　　B.锐角三角形　　 C.直角三角形　　D.不确定 4.(易错题)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,k的取值范围为　　　　　　　.  题组二　利用空间向量的数量积解决夹角问题 5.(2026四川外国语大学附属外国语学校月考)已知在四面体ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是(　　) A.30°　　B.45°　　 C.60°　　D.90° 6.(2025山东烟台莱州一中等三校联考)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,四边形ABCD是正方形,∠A1AD=∠A1AB=,O是B1C与BC1的交点,则直线AO与CB所成角的余弦值为(　　) A.1　　B.　　C.　　D. 7.(2026河北邯郸阶段联考)如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3,若·+·=7,则与的夹角的余弦值等于　　　　.  题组三　利用空间向量的数量积求长度(模) 8.(2026广东汕头第一中学月考)如图,线段AB,BD在平面α内,∠ABD=,AC⊥α,且AB=2,CD=2,AC=1,则BD=(　　) A.1　　B.　　C.3　　D. 9.(2026福建福州闽侯第六中学月考)已知空间向量a,b,c两两间的夹角为60°,且|a|=|b|=|c|=2,则|a-b+2c|=　　　　.  10.如图,在平面角大小为60°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是　　　　.  11.(2026湖南天壹名校联盟联考)空间内不共面的三条直线l,m,n满足l⊥m,l⊥n,且l∩m=A,l∩n=B,设C∈n,D∈m,已知·=-4,·=2,∠BAC=∠DAC,则BD=　　　　.  能力提升练 题组一　与空间向量数量积有关的范围或最值问题 1.(2026江苏南通第一中学月考)已知正四面体ABCD的棱BC的中点为E,且2||=||=2(点P为空间中一动点),则·的最大值为(　　) A.2-2　　B.2+2　　C.4-4　　D.4+4 2.(多选题)(2026浙江温州永嘉中学开学考试)已知空间向量a,b,c两两间的夹角均为60°,且|a|=|b|=2,|c|=4.若向量x,y满足x·(x+a)=x·b,y·(y+a)=y·c,则|x-y|的值可能是(　　) A.1+2　　B.6　　C.9-2　　D.5- 3.(2026四川广安友实学校月考)已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径,点P在正方体表面上运动,则·的最大值为　　　　.  4.(2026辽宁省实验中学月考)如图,正八面体ABCDEF的棱长为4,空间中一动点P满足|+|=2,则·的最大值为　　　　.  5.(2026广东惠州华罗庚中学月考)若P是棱长为2的正四面体表面上的动点,MN是该四面体内切球的一条直径,则·的最大值是　　　　.  题组二　空间向量数量积的综合应用 6.(多选题)(2026湖北荆门名校联盟联考)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各个面均为菱形,设=a,=b,=c,且|a|=1,a,b,c两两之间的夹角均为,则(　　) A.(a+c)·(b+c)=　　B.·=0　　 C.||=　　D.∠B1AD1<<a,b> 7.(多选题)(2026江苏无锡江阴南菁高级中学月考)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2,,,两两间的夹角均为60°,点E,F分别在棱BB1,DD1上,且BE=2B1E,D1F=2DF,则(　　) A.A,E,C1,F四点共面 B.在方向上的投影向量为 C.||= D.直线AC1与EF所成角的余弦值为 8.(2025河北唐山第五中学月考)在四面体PABC中,给出以下说法,其中错误的是(　　) A.若=+,则=3 B.若Q为△ABC的重心,则=++ C.若·=0,·=0,则·=0 D.若四面体PABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1 9.(2026河南信阳滨城高级中学月考)已知空间向量,,的模均为1,·=,·=·=-.若存在非零实数λ,μ,使得+=λ,=μ,且·=·=0,则λ-μ=　　　　.  创新点　空间想象能力在向量中的应用 10.若正四面体ABCD的棱长为4,空间中的动点P满足|+|=2,则·的取值范围为(　　) A.[4-2,4+2]　　B.[,3]　　 C.[4-3,4-]　　D.[-14,2] 答案与分层梯度式解析 1.1.2　空间向量的数量积运算 基础过关练 1.B 2.D 3.B 5.C 6.D 8.A 1.B　由题意知,a,b,c两两垂直,且其模均为1,∴(a+b)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c=0-0+1-0=1. 2.D　∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,则·=(++)·=·+·+·=0+6×6×+62=54, 则向量在上的投影向量为·==. 3.B　∵·=·=·=0,∴AB⊥AC,AC⊥AD,AB⊥AD, 设AB=a,AC=b,AD=c,则BC=,CD=,BD=,在△BCD中,由余弦定理的推论得cos∠CBD==>0, 同理可得,cos∠BCD>0,cos∠BDC>0,(注意:判定锐角三角形时要证明三个角均为锐角) ∴∠CBD,∠BCD,∠BDC都是锐角,即△BCD是锐角三角形. 4.答案　k>-7且k≠- 解析　由题意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=k+(2k-1)×1×2×cos 120°-8=-k-7<0,解得k>-7. 又当k=-时,a+2b与ka-b反向共线,此时它们的夹角为180°,并不是钝角, ∴k>-7且k≠-. 易错警示　利用两向量的夹角求参时,要考虑两向量同向、反向的情形. 5.C　由∠ACD=∠BDC=90°,得AC⊥CD,BD⊥CD,则·=·=0, ∴·=(++)·=·++·=||2=1, ∴cos<,>==, ∴AB与CD所成的角为60°. 6.D　=+=++=++, 则·=·=++·=·++·=0+×4+×2×2×cos =3, = =+++·+·+· =4+1+1+0+2×2×cos +×2×2×cos =9, 因此||=3, 所以cos<,>===, 设直线AO与CB所成角的大小为θ,则cos θ=|cos<,>|=. 7.答案　 解析　∵=9=(-)2=+-2·=9+4-2·, ∴·=2, ∵·+·=7,∴·(+)+·(+)=+·+·+·=4+·(-)+2+·=6+·(-)=6+·=7,∴·=2, ∴4×3×cos<,>=2,∴cos<,>=. 方法总结　(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式; (2)利用向量数量积的运算律将式子展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积; (3)结合公式a·b=|a||b|·cos<a,b>求解. 8.A　设BD=x,因为AC⊥α,AB,BD⊂平面α,所以AC⊥AB,AC⊥BD,故·=0,·=0,因为∠ABD=,所以·=x, 根据向量的线性运算,可得=++,又CD=2, 故8===+++2·+2·+2·=12+22+x2+0+0+2x=x2+2x+5, 即x2+2x-3=0,解得x=-3(舍)或x=1,故BD=1. 9.答案　2 解析　由已知得a·b=a·c=b·c=2×2×cos 60°=4×=2, ∴|a-b+2c|2=(a-b+2c)·(a-b+2c)=a·a+(-b)·(-b)+2c·2c+2a·(-b)+2a·2c+2·(-b)·2c=4+4+16+(-4)+8+(-8)=20,因此|a-b+2c|=2. 10.答案　 解析　∵四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面ABFE∩平面CDEF=EF,∴二面角A-EF-D的平面角为∠AED=∠BFC=60°,易得=++,∴||2=(++)2=+||2++2·+2·+2·=1+1+1+0+2×1×1×cos 120°+0=2,∴||=,故B,D两点间的距离是. 11.答案　 解析　如图, 由l⊥m,l⊥n得·=0,·=·(-)=0,则·=, 又·=-4,所以·=·(+)=·+4=4,即=4,得AB=2. 又·=2,所以·=(+)·=·+2=2. 由∠BAC=∠DAC得cos∠BAC=cos∠DAC, 即=,即=,解得AD=1,故在△BAD中,由勾股定理得BD==. 能力提升练 1.B 2.AD 6.ACD 7.ABD 8.D 10.D 1.B　取AD的中点F,连接PF,EF,如图, 由题意知||=1,||=1, 所以·=(+)·(+)=-=-1.(解题关键点:将求数量积的最值转化为求||的最值) 又因为=+,所以||=|+|≤||+||,当且仅当,同向共线时等号成立. 同理,||=|+|≥|||-|||,当且仅当,反向共线时等号成立. 连接AE,DE,因为正四面体ABCD的棱长为2,所以在△ADE中,EA=,ED=,AD=2, 所以EF=,即||=, 所以-1≤||≤1+,即3-2≤≤3+2, 所以2-2≤-1≤2+2,即2-2≤·≤2+2, 所以·的最大值为2+2. 2.AD　如图,取三棱锥O-ABC,使=a,=b,=c,∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°, 则OA=OB=2,OC=4,所以AB=2,AC=BC===2, 令=x,=y,则|x-y|=||. 由x·(x+a)=x·b⇒x·(x+a-b)=0,y·(y+a)=y·c⇒y·(y+a-c)=0, 又b-a=-=,c-a=-=, 所以·(-)=0,·(-)=0,即·=·=0, 所以AD⊥DB,AE⊥EC. 分别取AB,AC的中点M,N,连接DM,MN,EN,则DM=AB=1,EN=AC=,MN=BC=,则点D,E分别在以M,N为球心,1,为半径的球面上, 由于EN-DM<MN<DM+EN,所以两球有公共点,故DE的长度的最小值为0, 易知当D,M,N,E四点共线且按此顺序排列时,DE的长度取得最大值,为DM+MN+NE=1+2, 故选出在区间[0,1+2]内的值即可. 3.答案　8 解析　如图,以正方体ABCD-A1B1C1D1为例,设其内切球的球心为G,连接PG.由题知正方体的体对角线长为4,GM=GN=2,·=(+)·(+)=+·(+)+·, 因为MN是正方体内切球的一条直径,所以+=0,则·=-4,所以·=-4. 又点P在正方体表面上运动,所以当P为正方体的顶点时,||最大,且最大值为2,所以·=-4≤8,所以·的最大值为8. 4.答案　8 解析　取AB的中点M,由|+|=2||=2,得||=1,所以点P在以M为球心,1为半径的球面上.在正八面体ABCDEF中,=,则·=(+)·=·+·=2×4×cos 60°+1×4×cos<,>=4+4cos<,>(解题关键), 而cos<,>∈[-1,1],则·=4+4cos<,>∈[0,8],所以·的最大值为8. 5.答案　8 解析　如图所示: 以正四面体ABCD为例,设其内切球的球心为点O,连接AO并延长,交底面BCD于点E,则E为正三角形BCD的中心,且AE⊥平面BCD, 连接BE并延长,交CD于点F,则F为CD的中点,且BF⊥CD, ∴BF==3,∴BE=BF=2,∵AE⊥平面BCD,BE⊂平面BCD, ∴AE⊥BE,∴AE==4, 又S△BCD=·CD·BF=6, ∴正四面体ABCD的体积V四面体ABCD=S△BCD·AE=8, 设球O的半径为R,连接OB,OC,OD, 则V四面体ABCD=VO-BCD+VO-ACD+VO-ABD+VO-ABC=4VO-BCD=4×S△BCD·R,∴R==1,∴AO=AE-OE=3, ∵=+,=+=-, ∴·=(+)·(-)=-=-1,当最大,即点P位于正四面体ABCD的顶点时,·取得最大值,即·=-1≤AO2-1=9-1=8. 6.ACD　因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各个面均为菱形,|a|=1,所以|b|=|c|=1,又a,b,c两两之间的夹角均为,所以a·b=a·c=b·c=,故(a+c)·(b+c)=a·b+a·c+c·b+c·c=+++1=,故A正确; ·=(a+b+c)·(-a+b+c)=-a·a+b·b+c·c+2b·c=-1+1+1+1=2,故B错误; =|a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+6a·b=6,故||=,故C正确; 易知cos∠B1AD1===>,故0<∠B1AD1<,又<a,b>=,故∠B1AD1<<a,b>,故D正确. 7.ABD　对于A,在棱A1A上取点H,使得A1H=2HA,连接AE,C1F,HF,B1H,AF,C1E, 易知在平行六面体中,AH=B1E,AH∥B1E,所以四边形AHB1E为平行四边形,可得AE∥B1H, 因为HF=B1C1,HF∥B1C1,所以四边形HFC1B1为平行四边形,可得B1H∥C1F, 所以AE∥C1F,可得A,E,C1,F四点共面,因此A正确; 对于B,在平行六面体中,=++, 因此=(++)2=+++2·+2·+2·=24,则||=2, 故在方向上的投影向量为· = =,因此B正确; 对于C,=-=+--=-+-, 则==++-2·+·-·=,则||=,因此C不正确; 对于D, = ==-, 于是直线AC1与EF所成角的余弦值为,因此D正确. 8.D　对于A,由=+,得3=+2,整理得2-2=-,所以2=,故2=-,所以=3,故A中说法正确; 对于B,由于Q为△ABC的重心,所以++=0,所以-+-+-=0,即=++,故B中说法正确; 对于C,由·=0,·=0,得·+·=0,所以·+·(+)=0,整理得(-)·+·=0,所以·+·=0,即·+·=0,即·=0,故C中说法正确; 对于D,由题可知,四面体PABC的各个面均为正三角形, 则||=||=||=2,,,两两之间的夹角均为60°, 又=-=(+)-=(+-), 且|+-|= =2, 所以||=,故D中说法错误. 9.答案　0 解析　由μ=μ(-)==-,得=+, ∴·=·(-)=·-=(+)·+-(+)2=0,又·=,·=·=-,∴+=3①, ∵·=·(-)=(-)·+-(+)=0,∴+=3②. 由①②解得λ=μ=, 所以λ-μ=0. 10.D　分别取BC,AD的中点E,F,连接EF,ED,则|+|=2||=2, (共起点的两向量之和的问题,通常取两向量终点所构成线段的中点,利用平行四边形法则将两向量转化为一个向量,这是解题的关键点) 所以||=,因此点P在以E为球心,为半径的球面上, ·=-(+)·(+)=-(+)·(-)=-=4-, 又ED===2, EF===2, 所以=EF-=,=EF+=3, 因此·的取值范围为[-14,2]. 7 学科网（北京）股份有限公司 $