第一章 直线与方程（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第一章 直线与方程 教学目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 2. 根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)； 3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直； 4. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标； 5. 掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 教学重难点 1. 重点 （1）倾斜角与斜率的关系； （2）直线方程的五种形式； （3）两条直线的位置关系与距离公式的应用。 2. 难点 （1）直线围成三角形的面积问题； （2）对称问题。 知识点01 直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以____________为始边，绕交点____________旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围____________, 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为____________. （1）当时，斜率____________；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越____________. （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于x轴或与x轴重合； 当时，直线的倾斜角为____________，倾斜角随的增大而____________； 当时，直线的倾斜角为____________，倾斜角随的增大而____________； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则____________. （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为____________. 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率____________（斜率存在时）或斜率____________． 知识点02 直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的____________，____________. （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 不含直线和直线 截距式 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则____________. 知识点03 两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 知识点04 三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为________________________． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离____________. 2、点到直线的距离 点到直线的距离____________. 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离____________. 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 知识点05 对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为________________________. 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为____________． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为____________． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为____________． 点关于点的对称点为____________． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为____________． 6、过定点直线系 过已知点的直线系方程____________（为参数）． 7、斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程____________（是参数）． 8、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程____________（为参数）． 9、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程____________（为参数）． 10、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 题型01 直线的倾斜角与斜率的计算 【典例1】．（25-26高三·全国·一轮复习）直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【变式3】．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 题型02 过定点的直线与线段相交问题 【典例2】．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【变式1】．（25-26高三上·重庆·阶段检测）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【变式2】．已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式3】．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型03 直线的方程 【典例3】．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·上海·期末）已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【变式3】．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 题型04 直线与坐标轴围成的三角形面积问题 【典例4】．已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为______． 【变式1】．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为___________． 【变式2】．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【变式3】．若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 题型05 直线过定点问题 【典例5】．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【变式1】．直线，当k变化时，所有直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2】．直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型06 两条直线位置关系的判定 【典例6】．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【变式1】．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 【变式3】．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 题型07 两条直线的交点与距离公式 【典例7】．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·浙江杭州·期中）平行直线与之间的距离是__________． 【变式2】．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式3】．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 题型08 有关距离的最值问题 【典例8】．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【变式1】．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【变式2】．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 【变式3】．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 题型09 对称问题 【典例9】．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为______.    【变式1】．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【变式3】．（23-24高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型10 综合应用 【典例10】．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【变式1】．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【变式2】．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 3．若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 8．（25-26高二下·上海青浦·期末）直线的斜率为________． 9．（25-26高一下·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 10．过点且倾斜角为的直线方程为___________． 11．（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 12．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 13．点到直线的最大距离是______． 14．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 15．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是________． 17．是直线上的一点，为定点，直线交轴正半轴于点，当面积最小时，点的坐标是 __． 18．（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 19．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为______． 20．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 21．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 22．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线与方程 教学目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 2. 根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)； 3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直； 4. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标； 5. 掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 教学重难点 1. 重点 （1）倾斜角与斜率的关系； （2）直线方程的五种形式； （3）两条直线的位置关系与距离公式的应用。 2. 难点 （1）直线围成三角形的面积问题； （2）对称问题。 知识点01 直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于x轴或与x轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 知识点02 直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 知识点03 两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点04 三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 知识点05 对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 5、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 6、过定点直线系 过已知点的直线系方程（为参数）． 7、斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程（是参数）． 8、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 9、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 10、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 题型01 直线的倾斜角与斜率的计算 【典例1】．（25-26高三·全国·一轮复习）直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 则斜率，故 因为，所以. 【变式1】．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 【变式2】．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【答案】 【难度】0.92 【知识点】已知两点求斜率 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 【变式3】．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 题型02 过定点的直线与线段相交问题 【典例2】．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高三上·重庆·阶段检测）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 【变式2】．已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 【变式3】．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 题型03 直线的方程 【典例3】．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】已知直线平行求参数、直线的点斜式方程及辨析 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 【变式1】．（25-26高二下·上海·期末）已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据直线的方向向量求直线方程 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 【变式2】．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 【变式3】．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【难度】0.75 【知识点】直线截距式方程及辨析 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 题型04 直线与坐标轴围成的三角形面积问题 【典例4】．已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为______． 【答案】6或-4或 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、三线能围成三角形的问题 【分析】分直线与平行，与平行，过与的交点三种情况分别求解可得. 【详解】由题知，当直线与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 当与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 由解得，当直线过点，即，即时，三条直线无法围成三角形. 综上，当或或时，三条直线无法围成三角形. 故答案为：6或-4或 【变式1】．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为___________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 【变式2】．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 【变式3】．若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 题型05 直线过定点问题 【典例5】．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 【变式1】．直线，当k变化时，所有直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线过定点问题 【分析】解方程且，即得解. 【详解】由题得， 令且， 所以. 所以直线过定点. 故选：B 【变式2】．直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线方程变形得，再根据方程即可得答案. 【详解】解：由得到：， ∴直线恒过定点． 故选：A 【变式3】．（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】把直线方程整理为，根据题意，列出方程组，求解即可. 【详解】根据题意，把直线方程整理，得， 令，解得，所以当变动时，所有直线恒过定点. 故选：C 题型06 两条直线位置关系的判定 【典例6】．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】由斜率判断两条直线平行、已知直线平行求参数 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 【变式1】．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的斜截式方程及辨析 【分析】由题干中的垂直关系得出两直线斜率之积为即可求解. 【详解】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 【变式2】．（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 【答案】 0 【难度】0.7 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【详解】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 【变式3】．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 题型07 两条直线的交点与距离公式 【典例7】．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 【变式1】．（25-26高二上·浙江杭州·期中）平行直线与之间的距离是__________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】求平行线间的距离 【详解】由两条平行线间的距离公式得直线与之间的距离为. 【变式2】．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、求平行线间的距离 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 【变式3】．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 题型08 有关距离的最值问题 【典例8】．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式1】．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 【变式2】．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】找到点关于直线的对称点，即可得到即为的最小值. 【详解】    如图所示，设点关于直线的对称点为，则，， 连接， ， 则即为的最小值， ， 所以为的最小值为． 【变式3】．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点关于直线的对称点 【分析】，表示点到点和的距离之和，找出关于轴对称的点，作图数形结合即可求出答案. 【详解】， 表示点到点和的距离之和， 如图所示， 点是关于轴的对称点，所以， ， 故最小值为， 此时的方程为，令，解得， 所以当时，取得最小值为. 题型09 对称问题 【典例9】．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为______.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果. 【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，      又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为. 故答案为： 【变式1】．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】设初始入射点设，确定入射点和反射点的坐标从而利用直线的点斜式方程得入射与反射直线，利用点在线段，，，上从而可得对应坐标范围，建立的不等关系，根据的范围得的取值范围即可. 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，涉及光线入射及反射问题，设关键的入射点坐标，利用直线方程的对称性、入射点及反射点的坐标关系，从而建立不等关系求解参数范围. 【变式2】．（25-26高二上·福建宁德·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 【变式3】．（23-24高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 题型10 综合应用 【典例10】．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 或 (3)， 【难度】0.78 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点 【分析】（1）先求出的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程； （2）依题意，分截距为与不为两种情况，截距为时，直接用点斜式即可求得直线方程；截距不为时，设截距式方程，代入点求出参数即得所求直线方程； （3）先求出边的垂直平分线的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【详解】（1）因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 【变式1】．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【难度】0.64 【知识点】基本不等式求和的最小值、由斜率判断两条直线平行、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 【变式2】．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】三角形面积公式及其应用、坐标法的应用——点到直线的距离 【详解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】直线的倾斜角 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 3．若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】求出点E关于直线以及y轴的对称点的坐标，即可确定当周长最小时的E，F的位置，求出直线的方程，联立即可得E点坐标，令，即可得F点坐标，即得答案. 【详解】设C关于直线的对称点为， 则，解得，即， C关于y轴的对称点为，    则的周长为， 当点在同一条直线上时，，即的周长最小； 此时的斜率为，故的方程为， 联立，解得，即， 对于，令，则，即， 故选：C 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线方程化为，进而分析定点. 【详解】直线可化为， 令，解得，所以直线过定点． 故选：B． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 7．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】利用平行的性质求解出，再结合平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线与， 所以，解得， 则方程为，即， 由平行线间距离公式得距离为，故A正确. 故选：A 二、填空题 8．（25-26高二下·上海青浦·期末）直线的斜率为________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】直线斜率的定义、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】利用直线一般式方程的斜率公式直接计算即可得到结果. 【详解】已知直线的一般式方程为，当时，直线的斜率公式为. 本题中直线方程为，对应参数，，代入斜率公式可得： . 9．（25-26高一下·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【难度】0.7 【知识点】已知两点求斜率、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 10．过点且倾斜角为的直线方程为___________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【详解】由于过的直线倾斜角为，即该直线垂直于轴， 所以其方程为． 11．（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 【答案】 【难度】0.88 【知识点】已知直线垂直求参数 【详解】因为与垂直，则，解得. 12．（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 13．点到直线的最大距离是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 14．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，将问题转化为的最小值即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图，    所以. 故答案为：. 15．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是 ________． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小， 由题知，点满足： ，解得：，，即点， 因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 17．是直线上的一点，为定点，直线交轴正半轴于点，当面积最小时，点的坐标是 ________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、直线围成图形的面积问题 【分析】设点的坐标，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合基本不等式与直线方程相关概念，可得的面积最小时的点的坐标． 【详解】由题意，设，因为直线交轴正半轴于点，    显然，直线的斜率不为0，即，即， 当直线轴时，则， 此时； 当直线的斜率存在，且不为0时，直线的斜率， 此时，直线的方程为， 令，可得，即， 令，可得或， 此时， 当时，， 令，则在单调递增，没有最小值， 此时面积没有最小值； 当时，， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因为，所以当面积最小时，点的坐标是. 故答案为： 18．（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】折线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：.    19．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先求得点关于的对称点A，再由入射点P的坐标，再由点A，P，M三点共线，求得点M的坐标，再求得点P关于x轴的对称点，再根据三点共线求得点N的坐标求解. 【详解】解：如图所示： 点关于的对称点为， 由，解得，所以， 因为点A，P，M三点共线，则， 令，得，所以， 点P关于x轴的对称点， 因为点三点共线，则， 令，的，所以， 所以， 解得或（舍去）， 故答案为： 20．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【难度】0.75 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，即可得答案. （2）分析可得直线l为线段OA的中垂线，求出OA的中点坐标和OA的斜率，可得直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为， 化为一般式方程为； （2）已知关于直线l的对称点为， 故直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为， 且OA的斜率为，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为，化简可得：． （3）设该直线在两轴上截距为a，那么， ①当时，直线过原点，设直线方程为，代入点， 可得，则方程为，即； ②当时直线方程为，把代入求得． 则直线方程为， 由①②知所求直线方程是或． 21．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、求到两点距离相等的直线方程、将军饮马问题求最值 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 22．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)证明:直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. (2)或； (3). 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【详解】（1）证明略，. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $