专题2.1 圆的方程 （高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的方程核心知识点，从圆的定义出发，系统梳理标准方程与一般方程的形式及转化，明确点与圆的位置关系判定，构建“概念-方程-关系-应用”的学习支架，为后续学习奠定基础。 资料通过知识点诠释深化理解，即学即练与典例变式结合，综合应用融入实际情境。以问题链培养数学思维（推理能力），实际问题发展数学眼光（抽象能力）和数学语言（模型意识），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题2.1 圆的方程 教学目标 1.理解圆的方程的定义。 2.掌握圆的一般方程与标准方程，以及两个方程的相互转化。 3掌握点与圆的位置关系，与圆有关的最值问题。 教学重难点 1.重点 （1）圆的一般方程与标准方程； （2）点与圆的位置关系； 2.难点 （1）根据点与圆的位置关系，求参数； （2）与圆有关的最值问题。 知识点01 圆的方程的基本概念 平面内到________的距离等于________的点的集合（轨迹）叫________． 知识点02 圆的方程 1、圆的标准方程，其中________为圆心，________为半径. 知识点诠释： (1)、如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：________；圆与x轴相切时：________；与坐标轴相切时：________；过原点：________ (2)、圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)、标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用________和________. 2、圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.________为圆心，________________为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)、当时，方程只有实数解.它表示一个点________. (2)、当________________时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)、当________________时，可以看出方程表示以_________为圆心，_________为半径的圆. 【即学即练】 1．已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 知识点03 点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系： ①点__________________； ②点__________________； ③点__________________． 2、点与圆的位置关系： ①点__________________； ②点__________________； ③点__________________． 【即学即练】 1．已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 知识点04 待定系数法求圆的方程的一般步骤 求圆的方程常用“待定系数法”. 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)、根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)、根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)、解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 题型01 圆的标准方程 【典例1】．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在等腰梯形ABCD中，与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆过点，且圆心在直线，则圆的标准方程为________． 【变式3】．（25-26高二上·浙江·期中）圆心在上，经过点，与直线相切的圆方程为_____. 【变式4】．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 题型02 圆的一般方程 【典例2】．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【变式1】．圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（    ）. A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式3】．（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 题型03 点与圆的位置关系 【典例3】．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【变式1】．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 题型04 与圆有关的最值问题 【典例4】．（25-26高二上·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【变式2】．（24-25高三上·山东枣庄·阶段检测）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为_____． 【变式3】．（2026·湖北荆州·一模）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式4】．已知圆的方程为： (1)求实数的取值范围. (2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值. 题型05 综合应用 【典例5】．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【变式1】．已知为圆：上一动点，点，为的中点. (1)求的轨迹方程； (2)若为圆上一动点，在直线：上存在点，使得最小，求的最小值. 【变式2】．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败． 已知米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为． (1)若，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到） (2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 【变式3】．已知点，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线（为任意实数）与交于两点，求取得最小值时直线方程. 1．（25-26高二上·北京·期中）若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 7．已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是______. 8．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆内，则实数m的取值范围是__________. 9．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 10．已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为________. 11．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 12．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 13．（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 14．平面直角坐标系中有一个，已知，，且． (1)求顶点A的轨迹方程； (2)求的面积的最大值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 圆的方程 教学目标 1.理解圆的方程的定义。 2.掌握圆的一般方程与标准方程，以及两个方程的相互转化。 3掌握点与圆的位置关系，与圆有关的最值问题。 教学重难点 1.重点 （1）圆的一般方程与标准方程； （2）点与圆的位置关系； 2.难点 （1）根据点与圆的位置关系，求参数； （2）与圆有关的最值问题。 知识点01 圆的方程的基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 知识点02 圆的方程 1、圆的标准方程，其中为圆心，为半径. 知识点诠释： (1)、如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)、圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)、标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 2、圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)、当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)、当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)、当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 【即学即练】 1．已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）周长最小即圆的半径最小，求出圆心和半径，即可求解圆的标准方程； （2）先求出AB的垂直平分线，然后联立方程求解圆心坐标，利用两点距离求解半径，即可求解圆的标准方程. 【详解】（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点，半径为． 则所求圆的标准方程为． （2）由题意可知，圆心在AB的垂直平分线上， 由（1）知AB的中点，斜率为， ∴AB的垂直平分线为，即， 又∵圆心也在直线上，∴圆心是这两条直线的交点， ∴ ，解得，即圆心的坐标是， ∴半径， ∴所求圆的标准方程是． 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）求边的中点为，结合直线的两点式方程运算求解； （2）设的外接圆方程为，代入点运算求解即可. 【详解】（1）因为，则边的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）设的外接圆方程为， 将代入可得， 解得， 所以的外接圆方程为. 知识点03 点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 2、点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 【即学即练】 1．已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】利用韦达定理及点与圆的位置关系计算判断. 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 知识点04 待定系数法求圆的方程的一般步骤 求圆的方程常用“待定系数法”. 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)、根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)、根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)、解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 题型01 圆的标准方程 【典例1】．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 【变式1】．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在等腰梯形ABCD中，与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由题意可知圆心在y轴上，设圆心，结合圆的定义可得，，即可得圆的方程. 【详解】由题意可知：， 由对称性可知圆心在y轴上，设圆心，半径， 因为，则，解得， 可得，所以所求圆的标准方程为. 故选：A． 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆过点，且圆心在直线，则圆的标准方程为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】圆的标准方程为：，结合题意列出方程求解即可. 【详解】圆的标准方程为：， 则，解得：， 所以圆的标准方程为：， 故答案为： 【变式3】．（25-26高二上·浙江·期中）圆心在上，经过点，与直线相切的圆方程为_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设圆心，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式建立关系求出圆心和半径可得圆方程. 【详解】因圆心在上，可设圆心， 则圆心到直线的距离为， 圆心到的距离为， 则，得， 则圆心为，半径为， 故圆方程为. 故答案为： 【变式4】．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 题型02 圆的一般方程 【典例2】．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 【变式1】．圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程 【分析】根据圆心在射线上，设出圆心坐标，利用圆心到原点距离等于半径求得圆心坐标，即可求出圆的方程. 【详解】因为圆心在射线上，故设圆心为， 又半径为5，且经过坐标原点，所以，解得或（舍去）， 即圆的圆心坐标为，则圆的方程为， 即. 故选：C 【变式2】．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 【变式3】．（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求直线交点坐标、求圆的一般方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 题型03 点与圆的位置关系 【典例3】．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 【变式1】．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、点与圆的位置关系求参数 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、点与圆的位置关系求参数 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 【变式3】．（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求出点与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系. 【详解】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 题型04 与圆有关的最值问题 【典例4】．（25-26高二上·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】将代数式转化为单位圆上的点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，结合圆心到直线的距离公式列方程求解斜率最大值. 【详解】已知实数满足，即点在以原点为圆心，半径的单位圆上. 设，其几何意义为单位圆上任意一点与定点连线的斜率. 设直线的方程为，即 当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 可得，解得或； 结合图象可知的最大值为. 故选：D 【变式1】．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为， 如图，，因为， 当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8. 故选：C. 【变式2】．（24-25高三上·山东枣庄·阶段检测）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为_____． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、用定义求向量的数量积、过圆内定点的弦长最值（范围）、直线过定点问题 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点，即可求出，设的中点为，则，根据数量积的几何意义得到，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线，即，令，解得， 所以直线恒过点，又， 所以当时，弦的长度取得最小值，即， 设的中点为，则， 所以.    故答案为：4. 【变式3】．（2026·湖北荆州·一模）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【难度】0.64 【知识点】求点关于直线的对称点、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【详解】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 【变式4】．已知圆的方程为： (1)求实数的取值范围. (2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值. 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）方程配方化为圆的标准方程，由右边大于0可得； （2）由（1）得圆半径，由函数性质得最大值，从而得值，求出圆心坐标，然后求得圆心到已知直线的距离，确定直线与圆相离，由距离减半径得最小值． 【详解】（1）方程配方得：，它表示圆， 则，解得； （2）由（1），时，， 圆方程为，圆心为， 圆心到直线的距离为，已知直线与圆相离， 所以的最小值是． 题型05 综合应用 【典例5】．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； （2）因为， 设关于直线的对称点为， ，所以， 所以， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 【变式1】．已知为圆：上一动点，点，为的中点. (1)求的轨迹方程； (2)若为圆上一动点，在直线：上存在点，使得最小，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）相关点法求轨迹方程即可; （2）先求对称点,再应用数形结合得出距离和最小值. 【详解】（1）设，，则得 因为A在圆O上，所以，则，化简得， 故Q的轨迹方程为. （2）如图，设圆的圆心为， 设O关于对称的点为，则得，即. 易得，则当，M，N三点共线时，最小， 最小值为. 因为，所以的最小值为. 【变式2】．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败． 已知米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为． (1)若，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到） (2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？ 【答案】(1)按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功； (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、过圆内定点的弦长最值（范围）、轨迹问题——圆 【分析】（1）在中，由正弦定理求得，得到，即可得到答案； （2）以所在直线为轴，建平面直角坐标系，设，求得，得到点的轨迹，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，在中，可得， 由正弦定理得：， 可得， 所以， 所以应在矩形区域内，按照与夹角为的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功. （2）解：以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设，根据题意，可得，所以， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的上半圆在矩形区域内的部分， 所以，当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲． 【变式3】．已知点，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线（为任意实数）与交于两点，求取得最小值时直线方程. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、轨迹问题——圆 【分析】（1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）根据直线所过的定点与圆的位置关系，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为动点与点的距离是它与点的距离的倍，所以有； （2）， 因为， 所以有， 因此直线过定点， 因为， 所以点在圆内，圆心为， 因此当直线与直线互相垂直时，有最小值， 所以直线的方程为. 1．（25-26高二上·北京·期中）若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由圆的性质可知，圆心为直线与线段垂直平分线的交点，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则线段的垂直平分线所在直线方程为，即， 则圆心为直线与线段的垂直平分线的交点， 联立方程组：，解得，则圆心为，半径， 所以圆的方程为：. 故选：A 2．若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、点与圆的位置关系求参数 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 4．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 5．圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 6．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 7．已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程、直线的点斜式方程及辨析、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先利用点斜式得出直线，再得坐标，设圆的一般式方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】由题意得直线方程为， 不妨取两点的坐标为. 设圆的方程为， 则, 故圆的圆心坐标为. 故答案为： 8．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆内，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据二次方程表示圆以及点在圆内，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由于圆，即， 故满足，则； 又点在圆内，故， 即，解得， 综上所述可知， 故答案为： 9．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 10．已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、直线过定点问题 【分析】首先求出直线过定点，再判断点在圆内，则弦长最小值为与垂直的弦，再根据弦长公式计算可得. 【详解】解：因为直线：恒过定点， 圆：的圆心，半径， 所以，所以点在圆内，所以直线被圆所截的弦长的最小值为. 故答案为： 11．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 12．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【难度】0.45 【知识点】向量加法法则的几何应用、求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设 中点为 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的关系，分析的最小值，根据即可求解. 【详解】设中点为 ，则 ，所以 . 得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离， 因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ， 设点 到直线 的距离为 ， 则：， 所以 . 又因为 ，所以 . 综上， 的最小值为 . 13．（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由的几何意义即可求解. 【详解】如图： 点为圆上一点，， 则表示线段的长度． 所以， 可得的取值范围为． 故答案为： 14．平面直角坐标系中有一个，已知，，且． (1)求顶点A的轨迹方程； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、轨迹问题——圆 【分析】（1）利用两点距离公式及已知求轨迹方程，注意三点构成三角形； （2）确定圆上点到x轴最大距离，即可得三角形最大面积. 【详解】（1）设，又，，且， ∴，整理得， 由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉x轴上交点， ∴顶点A的轨迹方程为；    （2）可化为，即圆的半径为 ∴A到x轴的最大距离为，故的面积的最大值为. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $