第5章 函数的概念与性质（复习讲义）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学复习讲义通过梳理函数的定义域、值域、对应关系三要素及单调性、奇偶性等性质，以知识框架图呈现概念内在逻辑，明确分段函数、复合函数等重难点的层次分布，帮助学生构建系统的函数知识网络。 讲义亮点在于分层练习设计，如分段函数求值、单调性证明等题型，结合变式训练培养逻辑推理与数学运算素养。基础巩固与能力提升通关测满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生自主复习时突破薄弱环节。

第5章 函数的概念与性质（复习讲义） 1.用集合语言界定函数的定义域、值域，用对应关系明确变量间的单值联系，建立“非空数集+单值对应”的完整函数概念，体会集合语言的严谨性和对应关系的本质作用，了解函数的定义域、对应关系、值域三要素，能依据解析式（分式、偶次根式等）求简单函数的定义域。 2.理解区间的定义及符号表示（开区间、闭区间、半开半闭区间），能将满足不等式的数集转化为区间形式；掌握同一函数的判定标准（三要素完全一致），会判断两个函数是否为同一函数；通过求解简单函数的定义域、值域，提升逻辑推理的严谨性和数学运算的准确性。 3.在实际问题情境中，能根据数据呈现、直观分析、定量计算等不同需求，选择恰当的函数表示方法（列表法、图象法、解析法）；能根据函数解析式（一次、二次、反比例等），结合定义域作出简洁准确的函数图象；通过分析实际情境中的数量关系，选择合适方法（待定系数法、配方法等）求函数解析式。 4.理解分段函数的概念（不同区间对应不同解析式），能根据分段函数的解析式，分区间描绘函数图象；掌握分段函数的简单应用，包括求特定自变量的函数值、解分段函数不等式、分析分段函数的单调性与奇偶性等。 5.借助函数图象的升降特征，理解函数单调性的直观含义，会用符号语言（全称量词、存在量词）准确表达增函数、减函数的定义；能根据单调性定义，规范完成简单函数（如一次、二次函数）的单调性判定与证明；理解函数最大值、最小值的几何意义（图象最高点、最低点的纵坐标），会利用函数的单调性求区间最值、比较函数值大小、解简单函数不等式。 6.结合具体函数（如y=x³、y=x²、y=|x|等）的图象对称性，了解函数奇偶性的概念，明确奇函数（f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称）、偶函数（f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）的几何意义；能根据奇偶性定义或图象特征判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的性质求解对称点的函数值、补全函数图象；掌握奇偶性与单调性的综合运用，解决函数性质相关的综合问题（如抽象函数不等式、最值求解等）。 7.在实际情境（如成本预算、利润最大化、行程问题等）中，能分析变量间的依赖关系，选择合适的函数模型（一次、二次、反比例函数等）刻画现实问题的变化规律；通过建立函数模型、求解模型、解释结果，提升数学建模、数据分析的实践能力和数学运算的核心素养。 1、 函数的概念及其表示 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、相同函数的判断方法： ①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ②定义域一致 (两点必须同时具备) 3、抽象函数定义域：函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 抽象函数定义域的求解类型及方法： （1）已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值集合为A，求x的取值集合. （2）已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值集合为B，求出φ(x)的取值集合，此集合就是f(x)的定义域. （3）已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值集合为C，求出φ(x)的取值集合D，再令g(x)的取值集合为D，求出x的取值集合，此集合就是f(g(x))的定义域 4、求函数的值或值域 （1）求函数值的方法 ①已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x进行计算即可. ②已知函数f(x)与g(x)，求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则. 注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义 （2）值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解 ④分离常数法：主要针对形如y= (ac≠0，ad≠bc)的函数，常把分子分离成不含自变量的形式，即y==+，其值域是{y|y≠ ⑤反解法：例如求函数y＝(x＞－4)的值域．由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1.故函数y＝(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪. 5、函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可 （5） 解方程组法:已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如、等,则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式 6、分段函数的求值策略 (1)已知自变量的值求函数值的步骤： ①确定自变量属于哪一个区间； ②代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知函数值求对应的自变量的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解 7、函数的单调性 1.函数的单调性 （1）增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. （2）减函数：如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （3）等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. （4）定义法函数的单调性： ①任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． （6）复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” （7）函数单调性的运算 2、函数的最值 设y=f(x)的定义域为A. 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y=f(x)的最大值，记为ymax=f(x0)； 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0) 8、函数的奇偶性 （1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数 （3）奇偶函数的特点： ①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称； ②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称， ③若奇函数在原点处有定义，则. （4）函数奇偶性的运算性质： （5）奇偶性与单调性综合 ①奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. ②比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. ③解抽象函数不等式，先将不等式转化为或的形式，利用单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式(组). 9、函数的周期性、对称性 （1）定义法判断函数的周期 对于函数，如果能够找到一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就是函数的周期. （2）有关函数对称性的结论 对于函数，若其图像关于直线对称(时，为偶函数)，则 . . . 对于函数，若其图像关于点中心对称，则 . . . （3）奇偶性、对称性、周期性之间的关系 对于定义在上的函数： 若有两条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. 若有两个对称中心，则是周期函数且是它的一个周期. 若有一个对称中心和一条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. 奇偶性与对称性的关系 若为偶函数，即，则的对称轴为 . 已知为奇函数，即，则的对称中心为 . 奇偶性、对称性与周期的关系 若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为. 若函数是奇函数 ，且其图象关于直线对称， 则的周期为． 题型一 求函数的定义域 【例1】（1）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． （2）函数的定义域是 . （3）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数，则函数的定义域为 【变式1-2】已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型二 同一函数的判断 【例2】下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】（多选）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-3】（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型三 求函数的值域 【例3】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式3-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 题型四 求函数的解析式 【例4】（1）已已知是一次函数，且，求 . （2）已知，则_________． （3）已知，则________． 【变式4-1】若满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若函数，且，则实数的值为 . 【变式4-3】求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 题型五 分段函数的性质与应用 【例5】设函数，则满足的 x 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知实数，函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数． (1)是否存在实数，使得函数在区间上的值域为？请说明理由； (2)若存在实数，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 题型六 函数单调性的判断 【例6】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知二次函数满足：. (1)求的解析式； (2)判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明. 【变式6-2】已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【变式6-3】下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 题型七 利用函数的单调性解不等式解不等式 【例7】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为 . 【变式7-3】已知函数 （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）若，对任意，，都有成立，求a的取值范围． 题型八 函数的值域（最值）及含参问题 【例8】（1）函数（ ） A．有最小值2，无最大值 B．有最大值2，无最小值 C．有最小值，有最大值2 D．无最大值，也无最小值 （2）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【变式8-2】（1）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【变式8-3】（1）已知函数， (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)求在上的最大值． （2）已知是定义在上的单调递增函数，且. (1)解不等式； (2)若对和恒成立，求实数的取值范围. 题型九 函数奇偶性判断及应用 【例9】（1）下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A． B． C． D． （2）（多选）已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 （3）已知偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）． A． B． C． D． 【变式9-1】已知函数，若，则 . 【变式9-2】（1）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． （2）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A．-8 B．8 C．-24 D．24 【变式9-3】（1）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． （2）定义在上的偶函数，当时，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 题型十 函数奇偶性、单调性的综合应用 【例10】（1）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． （2）已知函数是定义在R上的偶函数，则“是上的减函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-1】已知定义域为的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【变式10-3】（1）已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）已知定义在R上的函数满足，对任意的，当时，都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为 . 基础巩固通关测 1．下列函数中，单调增区间和值域都是的选项是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．设：函数在上单调递增，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 6．若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数定义域为，为偶函数，对任意的，且，均有恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 10．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在上单调递减 B．，且，当时，在上单调递减 C．若是定义在上的函数，则为奇函数 D．若是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则为偶函数 11．函数的值域为 . 12．规定表示取中的较大者，例如，.则函数的最小值为 . 13．已知函数． (1)证明函数为偶函数； (2)用定义法证明函数在区间上单调递增； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 14．函数的图象过点. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断在区间上的单调性，并利用单调性定义证明； (3)求不等式的解集. 能力提升进阶练 1．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数的大致图象为（   ） A．   B．   C．   D．   4．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义域为的偶函数，且，若对任意的、，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有.若对所有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C． D．不等式的解集为 8．已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是 ． 9．设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 . 10．已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)已知命题为假命题，求实数的取值范围. (3)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 11．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，其中. (1)证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； (2)求函数图象的对称中心. 12．已知二次函数 (1)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若二次函数满足，且 （i）求的解析式； （ii）若函数在上的最小值为-5，求的值. 13．已知定义在上的函数满足，且当时，． (1)求的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断并证明在上的单调性； (3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念与性质（复习讲义） 1.用集合语言界定函数的定义域、值域，用对应关系明确变量间的单值联系，建立“非空数集+单值对应”的完整函数概念，体会集合语言的严谨性和对应关系的本质作用，了解函数的定义域、对应关系、值域三要素，能依据解析式（分式、偶次根式等）求简单函数的定义域。 2.理解区间的定义及符号表示（开区间、闭区间、半开半闭区间），能将满足不等式的数集转化为区间形式；掌握同一函数的判定标准（三要素完全一致），会判断两个函数是否为同一函数；通过求解简单函数的定义域、值域，提升逻辑推理的严谨性和数学运算的准确性。 3.在实际问题情境中，能根据数据呈现、直观分析、定量计算等不同需求，选择恰当的函数表示方法（列表法、图象法、解析法）；能根据函数解析式（一次、二次、反比例等），结合定义域作出简洁准确的函数图象；通过分析实际情境中的数量关系，选择合适方法（待定系数法、配方法等）求函数解析式。 4.理解分段函数的概念（不同区间对应不同解析式），能根据分段函数的解析式，分区间描绘函数图象；掌握分段函数的简单应用，包括求特定自变量的函数值、解分段函数不等式、分析分段函数的单调性与奇偶性等。 5.借助函数图象的升降特征，理解函数单调性的直观含义，会用符号语言（全称量词、存在量词）准确表达增函数、减函数的定义；能根据单调性定义，规范完成简单函数（如一次、二次函数）的单调性判定与证明；理解函数最大值、最小值的几何意义（图象最高点、最低点的纵坐标），会利用函数的单调性求区间最值、比较函数值大小、解简单函数不等式。 6.结合具体函数（如y=x³、y=x²、y=|x|等）的图象对称性，了解函数奇偶性的概念，明确奇函数（f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称）、偶函数（f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）的几何意义；能根据奇偶性定义或图象特征判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的性质求解对称点的函数值、补全函数图象；掌握奇偶性与单调性的综合运用，解决函数性质相关的综合问题（如抽象函数不等式、最值求解等）。 7.在实际情境（如成本预算、利润最大化、行程问题等）中，能分析变量间的依赖关系，选择合适的函数模型（一次、二次、反比例函数等）刻画现实问题的变化规律；通过建立函数模型、求解模型、解释结果，提升数学建模、数据分析的实践能力和数学运算的核心素养。 1、 函数的概念及其表示 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、相同函数的判断方法： ①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ②定义域一致 (两点必须同时具备) 3、抽象函数定义域：函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 抽象函数定义域的求解类型及方法： （1）已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值集合为A，求x的取值集合. （2）已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值集合为B，求出φ(x)的取值集合，此集合就是f(x)的定义域. （3）已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值集合为C，求出φ(x)的取值集合D，再令g(x)的取值集合为D，求出x的取值集合，此集合就是f(g(x))的定义域 4、求函数的值或值域 （1）求函数值的方法 ①已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x进行计算即可. ②已知函数f(x)与g(x)，求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则. 注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义 （2）值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解 ④分离常数法：主要针对形如y= (ac≠0，ad≠bc)的函数，常把分子分离成不含自变量的形式，即y==+，其值域是{y|y≠ ⑤反解法：例如求函数y＝(x＞－4)的值域．由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1.故函数y＝(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪. 5、函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可 （5） 解方程组法:已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如、等,则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式 6、分段函数的求值策略 (1)已知自变量的值求函数值的步骤： ①确定自变量属于哪一个区间； ②代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知函数值求对应的自变量的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解 7、函数的单调性 1.函数的单调性 （1）增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. （2）减函数：如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （3）等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. （4）定义法函数的单调性： ①任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． （6）复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” （7）函数单调性的运算 2、函数的最值 设y=f(x)的定义域为A. 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y=f(x)的最大值，记为ymax=f(x0)； 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0) 8、函数的奇偶性 （1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数 （3）奇偶函数的特点： ①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称； ②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称， ③若奇函数在原点处有定义，则. （4）函数奇偶性的运算性质： （5）奇偶性与单调性综合 ①奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. ②比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. ③解抽象函数不等式，先将不等式转化为或的形式，利用单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式(组). 9、函数的周期性、对称性 （1）定义法判断函数的周期 对于函数，如果能够找到一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就是函数的周期. （2）有关函数对称性的结论 对于函数，若其图像关于直线对称(时，为偶函数)，则 . . . 对于函数，若其图像关于点中心对称，则 . . . （3）奇偶性、对称性、周期性之间的关系 对于定义在上的函数： 若有两条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. 若有两个对称中心，则是周期函数且是它的一个周期. 若有一个对称中心和一条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. 奇偶性与对称性的关系 若为偶函数，即，则的对称轴为 . 已知为奇函数，即，则的对称中心为 . 奇偶性、对称性与周期的关系 若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为. 若函数是奇函数 ，且其图象关于直线对称， 则的周期为． 题型一 求函数的定义域 【例1】（1）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】依题意，解得且，所以的定义域为. 故选：B （2）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，结合分母不为零、零指数幂的定义进行求解即可. 【详解】函数， 则，即，即定义域是. 故答案为： （3）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 【变式1-1】已知函数，则函数的定义域为 【答案】 【分析】先求出的定义域，根据有意义得，解方程即可求得的定义域. 【详解】解：， ， 解得：， 若有意义， 则， 解得：， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【变式1-2】已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以的定义域为， 由，得， 所以的定义域为， 故选：D 【变式1-3】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中，，则， 所以函数中，解得， 故选：A． 题型二 同一函数的判断 【例2】下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数的定义，定义域和对应法则都相同，则两个函数是同一函数，可判断各选项. 【详解】A：，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； B：，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； C：，，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数； D：，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：C. 【变式2-1】（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，解得或，即的定义域为， 函数中，，解得，的定义域为，A不是； 对于B，，且与的定义域都为，B是； 对于C，当时，；当时，；又当时，， 因此，函数与的定义域相同，对应法则相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，D不是. 故选：BC 【变式2-2】（多选）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】先求出各个函数的定义域，若定义域相同，则继续化简函数，观察即可得出答案. 【详解】对于A项，的定义域为R，的定义域为R，且， 所以，与为同一个函数，故A项正确； 对于B项，的定义域为R，的定义域为，定义域不一致， 所以，与不为同一个函数，故B项错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为，且解析式表达形式一致， 所以，与为同一个函数，故C项正确； 对于D项，解，可得或， 所以定义域为. 解可得，， 所以，定义域为. 所以，与的定义域不一致，故D项错误. 故选：AC. 【变式2-3】（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 题型三 求函数的值域 【例3】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为：， 设，所以有， 因为，所以函数的最小值为：，即， 所以函数的值域是，故选：A 【变式3-1】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由、在上都单调递减， ∴，在上单调递减， ∴当时，有，所以值域为．故选B 【变式3-2】求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）形如的函数常用分离常数法求值域，，其值域是. （3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可. （4）形如的函数常用换元法求值域，先令，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域． 【详解】（1）因为，，，，，所以函数的值域为． （2）因为，且，所以，所以函数的值域为． （3）因为，所以，所以函数的值域为. （4）设（换元），则且，令. 因为，所以，即函数的值域为. 【变式3-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 题型四 求函数的解析式 【例4】（1）已已知是一次函数，且，求 . 【答案】或 【分析】利用待定系数法求解． 【详解】设， 则， ， 或， 或． 故答案为：或. （2）已知，则_________． 【答案】（且） 【分析】使用换元法求解，在换元时，需注意定义域. 【详解】由，令，（且，且）， 则，（且），∴（且）, ∴（且）.故答案为：（且）. （3）已知，则________． 【答案】 【分析】用换元法求函数解析式 【详解】令，则，， 代入原式有， 所以． 【变式4-1】若满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件即可得出函数的表达式. 【详解】由题意， 在中，， ∴， 故选：B. 【变式4-2】若函数，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用换元法求出的解析式，再代入计算可得. 【详解】因为， 当时，当且仅当时取等号， 当时，当且仅当时取等号， 令，则， 所以，， 即，， 因为，所以，解得. 故答案为： 【变式4-3】求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 题型五 分段函数的性质与应用 【例5】设函数，则满足的 x 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】∵ ， ∴ ， 当且时，不等式可化为， ∴ ， 当且时，不等式可化为， ∴ 满足条件的不存在， 当且时，不等式可化为， ∴ 满足条件的不存在， 当且时，不等式可化为， ∴， ∴满足的 x 的取值范围是，故选：B. 【变式5-1】已知实数，函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，代入相应的函数解析式，利用可得答案. 【详解】因为，所以，， 所以，， 因为，所以， 解得. 故选：A. 【变式5-2】已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解：由题意，当时，， 又函数的值域是， 当时，有解，此时，所以，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则，所以，此时，符合题意； ②若，则，所以，要使， 只须，即；综上，.故选：B. 【变式5-3】已知函数． (1)是否存在实数，使得函数在区间上的值域为？请说明理由； (2)若存在实数，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在，使得函数在区间上的值域为，理由见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论可得分段函数解析式，由此可得图象，由可知，分别在、的情况下，结合单调性可构造方程组，由方程组结果可知不存在满足题意的；当时，由可推导得到，可知不合题意；综合三种情况可得结论； （2）由和可推导得到，当和时，结合（1）的方法可知不合题意；当时，可知是的大于的两根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】(1)由题意知：，则图象如下图所示， 假设存在，使得函数在区间上的值域为， ，，则； ①当时，在上单调递减，， 两式作差得：，或； 当时，不满足； 当时，，不合题意； 此时不存在，使得函数在区间上的值域为； ②当时，在上单调递增，， 则是方程，即方程的两根，但方程无实根； 此时不存在，使得函数在区间上的值域为； ③当时，此时，又，，不合题意； 此时不存在，使得函数在区间上的值域为； 综上所述：不存在，使得函数在区间上的值域为. (2) 若存在实数，使得函数在区间上的值域为， 则，则，又，，，则； ①当时，在上单调递减，， 两式作差得：，或； 当时，不满足； 当时，，不合题意； ②当时，在上单调递增， 时，，即，不合题意，； ，则是方程，即的大于的两根， ，解得：； ③当时，此时，又，，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 题型六 函数单调性的判断 【例6】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的性质 【详解】对称轴为：，所以有，故选：C 【变式6-1】已知二次函数满足：. (1)求的解析式； (2)判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由待定系数法，即可代入化简求解， （2）由函数单调性的定义即可求证. 【详解】（1）是二次函数，设， , 所以，，则， 又，则, 故. （2）在上单调递减. 证明：， 因为，则， 所以，，则，即. 所以，在上单调递减. 【变式6-2】已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 【变式6-3】下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【答案】C 【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断． 【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误； 对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误； 对于C：在是增函数，在是减函数， ，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确； 对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数； 设定义域为，取， 则， 当时，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递减， 同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误， 故选：C． 题型七 利用函数的单调性解不等式解不等式 【例7】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到函数在上为单调递减函数，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数， 根据二次函数的性质，可得函数在上为单调递减函数， 又由不等式，可得， 即，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式7-1】已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 【变式7-2】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】应用单调性定义，将转化为，可构造，对其讨论即可. 【详解】，不妨设， 故，即， 令，则，故在上单调递减， ，不等式两边同除以得：， 因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：，则解集为. 故答案为： 【变式7-3】已知函数 （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）若，对任意，，都有成立，求a的取值范围． 【答案】（1）函数在区间上单调递减，证明见解析 ；（2） 【分析】（1）用定义即可证明函数的单调性 （2）对任意，，都有成立，只需，分别计算和，即可求解 【详解】（1）函数区间上单调递减，证明如下 设，所以 因为，所以，且，所以，即，所以函数在区间上单调递减． （2）由题意，只需，又由知，函数在上单调递减， 故，在上单调递增，故， 所以，解得， 所以a的取值范围为 题型八 函数的值域（最值）及含参问题 【例8】（1）函数（ ） A．有最小值2，无最大值 B．有最大值2，无最小值 C．有最小值，有最大值2 D．无最大值，也无最小值 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数，利用单调性求最值 【详解】函数的定义域为， 因为和都是增函数，所以在上单调递增， 所以当时，，无最大值，故选：A. （2）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解. 【详解】因为，可知开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D. 【变式8-1】已知函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据函数的单调性求出的最值，由即可得结果. 【详解】由“对勾函数”的性质可得在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以， 故选：A. 【变式8-2】（1）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D （2）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【变式8-3】（1）已知函数， (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出函数的对称轴，再根据函数的单调性得到，即可得到答案. （2）首先求出对称轴，再分类讨论求解最大值即可. 【详解】（1）因为函数，对称轴是. 因为在上单调递减， 所以，解得 所以的取值范围是. （2）的对称轴为， 当，即时，在上为增函数，. 当，即时，. 当，即时，. 当，即时，在上为减函数， 综上：. （2）已知是定义在上的单调递增函数，且. (1)解不等式； (2)若对和恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)解集为 (2) 【分析】（1）由，不等式，化为，结合单调性，即可求； （2） 恒成立问题较为最值问题，即在恒成立，进而转化为求在恒成立，对和讨论即可. 【详解】（1）是定义在上的单调递增函数，且， 则，即. 有,解得， 故所求解集为. （2）在上单调递增， 当时，. 问题转化为， 即，对成立. 接下来求的取值范围. 设， ①若，则，对成立； ②若，则是关于的一次函数，要使，对成立，必须，且， 或. 或或，即的取值范围是 题型九 函数奇偶性判断及应用 【例9】（1）下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，定义域为，且在，上为减函数，不是定义域上的减函数，A错误；对于B，，不是奇函数，B错误；对于C，是上的增函数，C错误；对于D，当时，,，又，为上的奇函数；由二次函数性质知：在上单调递减，在上单调递减，又在上连续，为上的减函数，D正确.故选：D. （2）（多选）已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】CD 【分析】根据奇偶函数定义直接判断即可. 【详解】是奇函数，； 是偶函数，； 对于A，， 不是奇函数，A错误； 对于B，， 不是奇函数，B错误； 对于C，，是奇函数，C正确； 对于D，，是奇函数，D正确. 故选：CD. （3）已知偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，设，则，则，函数为偶函数，所以时，， ，当时，，解得；当时，，解得， 所以不等式的解集为，故选：B． 【变式9-1】已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质即可. 【详解】设，则，则 因为， 所以， 则. 故答案为： 【变式9-2】（1）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． （2）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A．-8 B．8 C．-24 D．24 【答案】A 【详解】在上是奇函数，，解得，又时，， ．故选：A． 【变式9-3】（1）已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后利用奇偶性的定义即求，，最后计算即可； 【详解】∵， ∴. 由是奇函数，是偶函数，可有，， 代入上式，， 则有，； 则. 故答案为：. （2）定义在上的偶函数，当时，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意先得到在时大于0和小于0的取值区间,再根据偶函数性质得到在定义域内的取值情况，然后根据函数平移规则得到平移后大于0和小于0的取值区间，最后分类讨论和时满足的区间即可. 【详解】当时，在单调递减，在单调递增，其中 故当时，的区间为，的区间为 因为为偶函数，所以的区间为，，的区间为，故的区间为，，的区间为 当时，，即 当时，，即 故选：A 题型十 函数奇偶性、单调性的综合应用 【例10】（1）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. （2）已知函数是定义在R上的偶函数，则“是上的减函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，即可说明充分性；举例即可判断必要性. 【详解】因为是偶函数，所以. 由是上的减函数，则，即； 反之，对于函数， 显然，是偶函数，且，但是不是上的减函数. 故“是上的减函数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式10-1】已知定义域为的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为定义域为的奇函数在区间上单调递减，且，所以，且在也单调递减，，则由，可得，当时，，解得，即，当时，，解得，此时无解，当时，，解得，此时无解，综上，不等式的解集为.故选：A. 【变式10-2】若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：由题意知在，单调递减，且． 当时，令，得，∴； 当时，令，得， ∴，又，∴； 当时，显然符合题意． 综上，原不等式的解集为．故选D． 法二：当时，，符合题意，排除B；当时，，不符合题意，排除AC．故选D． 【变式10-3】（1）已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到为偶函数，且在上单调递减，，分和两种情况，变形，结合的单调性得到不等式，，满足不等式，从而求出答案. 【详解】是定义域为的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为的奇函数，，故， 故， 当时，， 而在上单调递增，故； 其中， 当时，， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上，． 故选：D． （2）已知定义在R上的函数满足，对任意的，当时，都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数为奇函数，则为偶函数，又已知得函数在上单调递增，可得函数在在上单调递减，又，可得不等式与的解集，进而得到解集. 【详解】因为定义在R上的函数满足，所以函数为奇函数， 令，，则为偶函数， 又，则， 因为对任意的，当时，都有恒成立， 所以当时，为增函数，则当时，为减函数， 所以当或时，；当或时，； 因此当时，；当时，，即不等式的解集为. 故答案为： 基础巩固通关测 1．下列函数中，单调增区间和值域都是的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得可对A判断求解；因函数定义域为则可对B判断求解；当时，则可对C判断求解；利用复合函数性质可得函数在区间上单调递增，且其值域也为，则可对D判断求解. 【详解】A：在上不单调，则与题意不符，故A错误； B：函数在区间上单调递增，函数值不可能为0，故B错误； C：在区间上单调递增，且当时取到最小值，故C错误； D：因函数与在区间上都单调递增，所以由复合函数性质可得函数在区间上单调递增，且其值域也为，故D正确. 故选：D. 2．下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】对于A，函数与的值域不同，不是同一函数，所以A错误； 对于B，函数与， 两函数的定义域都为，且对应关系相同，所以是同一函数，所以B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D错误. 故选：B. 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可. 【详解】由于函数的定义域为，所以，解得：, 所以的定义域为,. 故选：A. 4．设：函数在上单调递增，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】对于，由二次函数性质可求得的范围，根据真子集关系得充分不必要条件即可. 【详解】函数对称轴为，在上单调递增则， 因为是的真子集，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 5．已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】∵函数是奇函数，且当时，， ∴当时，，. 故选：D. 6．若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数在定义域内单调递增，则它在每一段均单调递增，且在时，左段的函数值不大于右段的函数值，从而构造出实数的不等式组，解出即可． 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 7．如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【详解】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 8．已知函数定义域为，为偶函数，对任意的，且，均有恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件判断函数的对称性和单调性，再利用性质将不等式转化为函数图象上横坐标为的点到直线的距离大于图象上横坐标为的点到直线的距离，列出不等式求解即得. 【详解】由为偶函数，可得函数的图象关于直线对称， 又因等价于， 即，依题意，可知函数在上单调递增， 由函数图象对称性可知，函数在上单调递减. 故由 可知图象上横坐标为的点到直线的距离大于图象上横坐标为的点到直线的距离， 即，即，两边取平方整理得， 解得，即不等式的解集为. 故选：C. 9．（多选）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 【答案】BC 【分析】根据题意，求得，得到，分，和，三种情况讨论，得到函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为， 因为函数在上有最小值，可得， 又由函数， 当时，可得，在上单调递增，有最小值，无最大值； 当时，函数在上单调递增，有最小值，无最大值； 当时，函数在上单调递增，有最小值，无最大值， 综上可得，函数在上单调递增，有最小值，无最大值. 故选：BC. 10．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在上单调递减 B．，且，当时，在上单调递减 C．若是定义在上的函数，则为奇函数 D．若是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则为偶函数 【答案】BD 【分析】应用特殊函数判断A，应用单调性定义判断B，应用偶函数定义判断C，D. 【详解】对于A中，如图所示，函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减， 但函数在上不是单调递减函数，所以A错误； 对于B中，不妨设，因为，可得， 即，所以函数在上单调递减，所以正确； 对于C中，若是定义在上的函数，设， 可得，所以函数为偶函数，所以C错误； 对于D中，由函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 令，可得，所以为偶函数，所以D正确. 故选：BD. 11．函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 12．规定表示取中的较大者，例如，.则函数的最小值为 . 【答案】2 【分析】由题意得的含义是：对每一个实数，等于和之间的最大者，因为和容易比较大小，所以可通过比较两者大小得到分段函数，再通过分段函数的单调性求的最小值即可. 【详解】当，即时，； 当，即时，； 所以， 由一次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 则当时，的最小值为. 故答案为： 13．已知函数． (1)证明函数为偶函数； (2)用定义法证明函数在区间上单调递增； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值与最小值分别为. 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明即可； （2）利用函数单调性的定义，作差证明即可； （3）利用函数的单调性与奇偶性计算即可. 【详解】（1）易知函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以该函数为偶函数； （2）由该函数为偶函数，不妨取，令， 所以， 则， 则，即在上单调递增，证毕； （3）由上可知：所以在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在区间上的最大值和最小值分别为. 14．函数的图象过点. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断在区间上的单调性，并利用单调性定义证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，奇函数 (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式求出的值，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数在给定区间的单调性，再根据函数单调性的定义证明即可； （3）利用函数的单调性、奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）函数图象过，所以，即，所以， 从而有，故为奇函数； （2）判断：在上单调递增，证明如下： 任取，则 因为，所以，即， 因此，故在上单调递增得证： （3）因为在上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增， 令，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 能力提升进阶练 1．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查函数定义域和值域的概念以及函数图象的平移变换，解题的关键在于理解函数图象平移对定义域和值域的影响. 【详解】函数的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像，故定义域为，值域不变； 故选：D 2．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的定义，结合二次函数的单调性和奇函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，，而， 所以是奇函数，当时，， 因此函数在时，单调递减， 而，且该函数是实数集上的奇函数， 所以该函数在实数集上为减函数， 所以不等式转化为，即， 解得， 故选：A 3．函数的大致图象为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数的特殊值及奇偶性排除A，B，D即可得解. 【详解】当时，，排除选项A；因为的定义域为，且，所以为奇函数，排除选项B；当时，，排除选项D. 故选：C 4．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出分段函数的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 则的最小值为， 由题意得，，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 5．已知函数是定义域为的偶函数，且，若对任意的、，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，由偶函数的性质得出，分、两种情况解不等式即可得其解集. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且，则， 对任意的、，且，都有成立， 不妨设，则，即， 所以函数在上为增函数，故该函数在上为减函数， 当时，由得，解得； 当时，由得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 6．已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有.若对所有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断的单调性，求得的最大值，化简不等式，利用构造函数法，结合一次函数的性质求实数取值范围. 【详解】已知在上是奇函数，且，对任意，有 因此在上严格递减， 由奇函数性质得，所以， 不等式等价于， 即，令， 当时，递减，最小值在处： ， 得或，结合得或， 当时，递增，最小值在处： ， 得或，结合得或， 当时，成立，取并集得：. 故选：A 7．（多选）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于AB,利用“取整函数”的定义即可判断；对于C，举出反例进行判断；对于D，解不等式得，再利用“取整函数”的定义即可求出的范围. 【详解】故A正确； 时，所以当时，，故B正确； 当时， 此时.故C错误； 令则化为， 解得所以，所以，所以 不等式的解集为，故D正确. 故选:ABD 8．已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 . 【答案】 0 1 【分析】分类讨论根据函数单调性结合分段函数性质列式计算求参； 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合要求； 当时，， 当时，，又时，， 所以存在最小值为0，满足题意； 当时，， 在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得， 所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，，则，不等式无解， 综上，的取值范围是，的最大值为1. 故答案为：，1. 10．已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)已知命题为假命题，求实数的取值范围. (3)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为对任意的求解； （2）转化为任意为真命题，求即可； （3）令，则，再对分类讨论求解． 【详解】（1）若函数的定义域为，则对任意的， 由于函数的图象为开口向上的抛物线， 故只需要，解得， 所以实数的取值范围是. （2）命题为假命题 则任意为真命题， ， 而，等号成立时，， 因此，实数的取值范围是． （3）因为， 令，则， 则为开口向上，对称轴为的二次函数， 当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不满足条件，舍去； 当，即时，则在上单调递增， 此时，解得或（舍去）； 综上所述：. 11．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，其中. (1)证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； (2)求函数图象的对称中心. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质和即可求解证明； （2）函数图象的对称中心为，结合题意可得函数为奇函数，再结合（1）中结论即可求解. 【详解】（1）证明：因为为奇函数，并且定义域为， 所以，即，则， 又，则， 所以， 所以，因为，所以， 综上，若函数为奇函数，则实数和为定值，均为. （2）设函数图象的对称中心为， 则函数为奇函数， 因为 ， 由（1）可得解得， 故函数图象的对称中心为. 12．已知二次函数 (1)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若二次函数满足，且 （i）求的解析式； （ii）若函数在上的最小值为-5，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）7或. 【分析】（1）根据不等式的解集为，得到，2是方程的两根，由韦达定理求解； （2）（i）设二次函数，利用待定系数法求解； （ii）由，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以，2是方程的两根， 由韦达定理得：，即， 不等式转化为，即， 即，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）（i）设二次函数， 因为， 所以， 即，则，解得， 所以，又， 则，解得， 所以； （ii）， 其对称轴为， 当，即时，在上递增，则， 令，解得，满足； 当，即时，在处取得最小值， ，即， 解得或，不满足； 当，即时，在上递减，则， 令，解得，满足； 综上：的值为7或. 13．已知定义在上的函数满足，且当时，． (1)求的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断并证明在上的单调性； (3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，为偶函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1） 应用赋值法结合偶函数定义判断奇偶性； （2） 应用赋值法结合已知条件及单调性定义判断证明单调性； （3）应用函数是偶函数及函数单调性转化恒成立问题，再结合基本不等式计算求参. 【详解】（1）令，得． 令，，得，得． 令得，所以为偶函数． （2）单调递减． 证明：任取，则，所以， 得，所以函数在上单调递减． （3）因为函数是偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 由得 所以，得． 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，得， 又由题意有意义可知在函数定义域内，故. 所以实数的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $