专题03 一元二次不等式的含参问题与恒成立问题六类综合题型（压轴题专项训练）数学湘教版必修第一册

**基本信息** 以“二次函数图像与方程根的分布”为核心，构建含参一元二次不等式“解法-题型-应用”三阶体系，提炼可迁移的分类讨论与参变分离通法，培养逻辑推理与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|四大底线原则（系数讨论、判别式分析、参变分离、区间结合）|以二次函数图像为基础，关联方程根的分布与不等式解集| |题型归纳|6类题型（每类1典例+3变式）|解不等式（系数-判别式-根比较）、参数确定（解集端点即方程根）、恒成立/有解（最值转化）|从基础解不等式到复杂区间问题，形成“概念-解法-变式”递进| |压轴挑战|15题|综合应用（解集与函数性质、代数式最值）|融合二次函数、基本不等式，提升知识迁移与综合解题能力|

专题03 一元二次不等式中的含参问题六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解含参一元二次不等式 题型二、由一元二次不等式的解集来确定参数 题型三、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 题型四、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型五、一元二次不等式在某区间上的有解问题 题型六、含参一元二次不等式的综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式中的含参问题是高中不等式板块重难点，所有题型均围绕二次函数图像、一元二次方程根的分布、解集区间、恒成立与有解五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是含参二次式必须优先讨论二次项系数是否为 0，区分一次、二次情形；二是二次型先算判别式，结合开口方向绘制函数草图分析；三是恒成立、有解问题优先考虑参变分离，转化为函数最值求解；四是区间限制类问题，综合对称轴位置、区间端点函数值分析；连续范围问题可借助数轴辅助分析，所有参数结果最终均需回代合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解含参一元二次不等式 典例1 解下列关于的不等式： (1)；题型一、解含参一元二次不等式 (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为. 题型模版 1.特征：题目不等式里面带有字母参数，二次项系数、根都可能含参，要解出解集. 2.方法：先讨论二次项系数，区分是不是二次不等式；再判断方程有没有实数根；有根时比较两根大小，分情况写出解集 变式1-1(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】ABD 【分析】分三种情况解一元二次不等式. 【详解】对于二次函数，， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为且； 当，即或时， 不等式的解集为或. 变式1-2已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【答案】当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． ． 【分析】先求解不等式得的范围，再通过比较方程的两根大小，求得不等式的解集. 【详解】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 变式1-3解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 题型二、由一元二次不等式的解集来确定参数 典例2-1 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 典例2-2 （多选）已知关于的不等式的解集中最多有1个整数，则整数的值可以是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的图象特征，解集中最多有1个整数分为应用判别式和只有1个整数列不等式组，化简即可得出参数范围可得选项. 【详解】设，函数图象开口向上，且对称轴为， 因此关于的不等式的解集中最多有1个整数时， 需满足或解得， 又因为，结合选项有或10或11满足题意. 故选:BCD. 题型模版 1.特征：一是已直接给出不等式的解集范围，反过来求参数的值或者范围.二是给出带双参数的一元二次不等式，附带参数之间的大小关系；要求解集里面整数恰好只有固定个数，反求参数可以取哪些值 2.方法：一是依解集端点就是对应方程的根，利用根和系数之间的关系，同时结合二次函数开口方向判断参数：二是先求解不等式得到解集区间，在数轴上定位区间，根据整数个数锁定区间必须框住哪些整数，由此限制区间两个端点的取值范围，再转化为参数不等式求解 变式2-1（多选）已知，，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 变式2-2若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 变式2-3（多选）已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先解不等式，再根据解集包含的整数的个数列式解不等式即可. 【详解】因为，所以， 因为，且解集中的整数恰有3个，所以， 因为，所以， 从而，即， 因为，所以. 故选：． 题型三、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 典例3 不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 题型模版 1.特征：不等式对所有实数 x都成立，不管 x 取任何实数，不等式永远满足；式子带有参数，要求求出参数取值范围。 要特别注意：式子有可能根本不是二次不等式（二次项系数等于 0 的一次或常数情况），必须优先讨论 2.方法：（1）优先分类：判断二次项系数是不是 0。 ①如果系数是 0，式子变成常数不等式，检验这个常数不等式是否永远成立。 ②如果系数不是 0，就是二次函数，借助二次函数图像判断。 （2）二次函数情况： ①不等式大于 0 恒成立：抛物线开口向上，图像全程在 x 轴上方，函数和 x 轴没有交点。 ②不等式小于 0 恒成立：抛物线开口向下，图像全程在 x 轴下方，函数和 x 轴没有交点。 （3）综合两类情况，合并得到参数范围 变式3-1已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，结合条件，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： 变式3-2(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合题设新定义，将原不等式转化为一个含参一元二次不等式在上恒成立的问题，实施参变分离，进而转化为求最值的问题，最后求解关于的一元二次不等式即可． 【详解】由定义知，不等式等价于， 所以对任意实数恒成立，即． 因为，所以，解得． 结合选项可知实数a可以为． 变式3-3已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) 【分析】（1）原不等式等价于，对二次项系数进行讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可. （2）设，则是关于的一次函数，得到联立求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，即，无实数解. 所以，不存在实数，使得不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 又是关于的一次函数， 所以恒成立，，解得， 所以. 所以实数的取值范围是． 题型四、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 典例4 不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，构造关于的函数，，通过函数两端点的函数值都小于即可求解. 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 题型模版 1.特征：给出不等式不需要对全部实数成立，只要求在给定一段区间内，所有 x 都满足不等式；式子含参数，求参数范围. 2.方法：（1）先转化为函数最值（最通用） 构造对应的二次函数。恒成立的含义：在这个区间上，函数的最值都满足不等式。大于型就保证区间最小值大于要求值；小于型就保证区间最大值小于要求值。 求区间最值时，要对比对称轴和给定区间的位置，分三类：对称轴在区间左边、区间内部、区间右边，判断在哪一点取到最值。 （2） 分离参数法 把参数单独放到不等式一侧，剩下含 x 的式子放另一侧。转化成参数大于函数最大值，或者参数小于函数最小值。注意做除法时，要判断式子正负，不等号方向会随之改变 变式4-1已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 变式4-2若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 变式4-3若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，对、分类讨论的符号后可得的符号，从而得，最后结合基本不等式可求的最大值. 【详解】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故， 故，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 题型五、一元二次不等式在某区间上的有解问题 典例5 存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 题型模版 1.特征：题目不等式不需要区间内全部 x 都满足，只要在给定区间里，至少存在一个 x 使得不等式成立；式子含参数，求参数范围 2.方法：（1）转化为函数最值 构造对应的二次函数。有解的含义：在区间内，函数的最值有一处满足不等式。大于型，只要区间最大值大于目标值；小于型，只要区间最小值小于目标值。依旧要对比对称轴和区间位置，确定最值在哪里。 （2）分离参数法 把参数单独放在不等式一边，剩下含 x 的式子放另一边。转化为参数大于函数最小值，或者参数小于函数最大值。注意除以代数式时，判断正负，调整不等号方向 变式5-1若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 变式5-2若存在，，则实数的最大值为___________． 【答案】 【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为. 变式5-3设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由命题为真命题，求出实数的范围，即可求出命题为假命题时参数范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得，即得的取值范围. 【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则抛物线开口向上，显然符合题意； 若即，需使，解得， 综上，或. 故命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 题型六、含参一元二次不等式的综合应用 典例6-1 （多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 典例6-2 对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据关于的不等式有解，则判别式大于0，得到的取值范围，再由区间长度不超过，得出，根据韦达定理代入再确定的取值范围，最后取交集即可. 【详解】因为关于的不等式有解， 所以，解得或， 设方程的两个根分别为和，则，， 又因为解集区间长度不超过个单位长度，所以，所以， 即，所以，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 题型模版 1.特征：把一元二次不等式解集、二次方程根、二次函数图像、基本不等式融合在一起，多选项多选小题。条件会给出不等式解集，反向判断结论；常结合比例代换、代数式求最值 2.方法：①由解集判断二次函数开口方向，解集为空集说明图像全程不在横轴上方；解集只有一个点取不到，代表图像开口向上，只和横轴相切。 ②比例同倍数缩放不等式时，一定要留意倍数正负，负数会翻转不等号，解集直接改变。 ③已知解集区间，利用根与系数关系，把参数全部用同一个参数代换，代入新不等式化简求解。 ④相切条件可以得到参数之间的等式，用来消元；再通过换元，借助基本不等式求分式最小值 变式6-1已知二次函数对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立得出，可得出，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为二次函数对任意恒成立， 所以，可得， 所以， 当且仅当时，即当或时，上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：B. 变式6-2（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 变式6-3若关于的不等式：的解集为全体实数，则_____. 【答案】4 【分析】根据已知得，问题化为的解集为全体实数，再结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】已知可得，即，且时等号成立， 故时，不等式为成立，即，得， 由的解集为全体实数， 等价于的解集为全体实数， 即的解集为全体实数， 整理得的解集为全体实数， 则，故. 故答案为：4 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 2．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 3．若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由给定不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值，再利用能成立问题求出范围. 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间上有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 故选：A 4．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 5．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 6．（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 7．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是. 8．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可. 【详解】设，则在的最大值为4， 因为关于的不等式在上有解， 即，解得， 故答案为：. 9．已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由条件知与同解，再对分类讨论，结合二次函数的图象和性质求出实数的取值范围. 【详解】由，解得， 由条件知与同解， 当时，显然不符合条件； 所以，或， 即，或， 解得或，综上. 所以的取值范围为． 10．已知，，若关于的不等式在恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】将问题转化为当时，恒成立；当时，恒成立的问题，由此可得为方程的根，代入可得之间关系，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】，当时，；当时，； 当时，恒成立；当时，恒成立； 是方程的一根，，即， 此时，方程根为和，满足题意； ； 时，（当且仅当时取等号），， ，即的取值范围为. 故答案为：． 11．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由三个二次的关系将题设等价于的两根为和，且，再根据韦达定理求解； （2）对恒成立对恒成立，由一次函数的性质即可求解； 【详解】（1）由题意可知，且的两根为和， ∴由根与系数的关系得，解得， 此时不等式即为符合题意，所以； （2）当时，. 所以对恒成立对恒成立， 因为当时，，所以对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得. 故的取值范围为. 12．已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 13．设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 【答案】(1) (2)4 (3) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； （2）将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （3）分类讨论m的取值范围，解一元二次不等式，即得答案. 【详解】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. （3）由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 14．已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)8. 【分析】（1）根据给定条件，借助韦达定理求出，进而求不等式的解集. （2）分离参数，利用存在量词命题为真命题求出范围. （3）由给定条件可得，由此可得，再换元并结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）由的解集为，得，且是方程的解， 则，，解得，， 不等式化为，解得， 所以不等式的解集为. （2）当时，， 而，则， 依题意，存在，使得成立，因此， 所以实数的取值范围是. （3）由对任意，不等式恒成立，得，，而 则，，， 令，则，， 当且仅当，即，时取等号， 所以当，时，取得最小值． 15．已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别解一元二次不等式和一元一次不等式后求交集可得； （2）由得出时，恒成立，由此分类讨论可得； （3）在（2）的条件下问题转化为在上有解，结合（2）中m的范围即得． 【详解】（1）（1），，则或， ，则， 所以不等式组的解集为：； （2）因为当时，，所以当时，恒成立， 当时，，的解为，不能满足时，恒成立， 当时，不满足题意， 当时，由得，化为， 若时，，不等式的解为或，因为，所以满足题意， 若时，，不等式的解为或， 因此，，因此， 综上，的取值范围是． （3）时，，因此存在使得， 又， 因此在上有解，由于， 所以，解得， 综上，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次不等式中的含参问题六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解含参一元二次不等式 题型二、由一元二次不等式的解集来确定参数 题型三、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 题型四、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型五、一元二次不等式在某区间上的有解问题 题型六、含参一元二次不等式的综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式中的含参问题是高中不等式板块重难点，所有题型均围绕二次函数图像、一元二次方程根的分布、解集区间、恒成立与有解五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是含参二次式必须优先讨论二次项系数是否为 0，区分一次、二次情形；二是二次型先算判别式，结合开口方向绘制函数草图分析；三是恒成立、有解问题优先考虑参变分离，转化为函数最值求解；四是区间限制类问题，综合对称轴位置、区间端点函数值分析；连续范围问题可借助数轴辅助分析，所有参数结果最终均需回代合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解含参一元二次不等式 典例1 解下列关于的不等式： (1)； (2)． 题型模版 1.特征：题目不等式里面带有字母参数，二次项系数、根都可能含参，要解出解集. 2.方法：先讨论二次项系数，区分是不是二次不等式；再判断方程有没有实数根；有根时比较两根大小，分情况写出解集 变式1-1(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 变式1-2已知实数满足不等式，解关于的不等式． 变式1-3解关于的不等式． 题型二、由一元二次不等式的解集来确定参数 典例2-1 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例2-2 （多选）已知关于的不等式的解集中最多有1个整数，则整数的值可以是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型模版 1.特征：一是已直接给出不等式的解集范围，反过来求参数的值或者范围.二是给出带双参数的一元二次不等式，附带参数之间的大小关系；要求解集里面整数恰好只有固定个数，反求参数可以取哪些值 2.方法：一是依解集端点就是对应方程的根，利用根和系数之间的关系，同时结合二次函数开口方向判断参数：二是先求解不等式得到解集区间，在数轴上定位区间，根据整数个数锁定区间必须框住哪些整数，由此限制区间两个端点的取值范围，再转化为参数不等式求解 变式2-1（多选）已知，，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 变式2-2若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-3（多选）已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 题型三、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 典例3 不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：不等式对所有实数 x都成立，不管 x 取任何实数，不等式永远满足；式子带有参数，要求求出参数取值范围。 要特别注意：式子有可能根本不是二次不等式（二次项系数等于 0 的一次或常数情况），必须优先讨论 2.方法：（1）优先分类：判断二次项系数是不是 0。 ①如果系数是 0，式子变成常数不等式，检验这个常数不等式是否永远成立。 ②如果系数不是 0，就是二次函数，借助二次函数图像判断。 （2）二次函数情况： ①不等式大于 0 恒成立：抛物线开口向上，图像全程在 x 轴上方，函数和 x 轴没有交点。 ②不等式小于 0 恒成立：抛物线开口向下，图像全程在 x 轴下方，函数和 x 轴没有交点。 （3）综合两类情况，合并得到参数范围 变式3-1已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 变式3-2(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 变式3-3已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 题型四、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 典例4 不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 题型模版 1.特征：给出不等式不需要对全部实数成立，只要求在给定一段区间内，所有 x 都满足不等式；式子含参数，求参数范围. 2.方法：（1）先转化为函数最值（最通用） 构造对应的二次函数。恒成立的含义：在这个区间上，函数的最值都满足不等式。大于型就保证区间最小值大于要求值；小于型就保证区间最大值小于要求值。 求区间最值时，要对比对称轴和给定区间的位置，分三类：对称轴在区间左边、区间内部、区间右边，判断在哪一点取到最值。 （2） 分离参数法 把参数单独放到不等式一侧，剩下含 x 的式子放另一侧。转化成参数大于函数最大值，或者参数小于函数最小值。注意做除法时，要判断式子正负，不等号方向会随之改变 变式4-1已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-2若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 变式4-3若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 题型五、一元二次不等式在某区间上的有解问题 典例5 存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 题型模版 1.特征：题目不等式不需要区间内全部 x 都满足，只要在给定区间里，至少存在一个 x 使得不等式成立；式子含参数，求参数范围 2.方法：（1）转化为函数最值 构造对应的二次函数。有解的含义：在区间内，函数的最值有一处满足不等式。大于型，只要区间最大值大于目标值；小于型，只要区间最小值小于目标值。依旧要对比对称轴和区间位置，确定最值在哪里。 （2）分离参数法 把参数单独放在不等式一边，剩下含 x 的式子放另一边。转化为参数大于函数最小值，或者参数小于函数最大值。注意除以代数式时，判断正负，调整不等号方向 变式5-1若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 变式5-2若存在，，则实数的最大值为___________． 变式5-3设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型六、含参一元二次不等式的综合应用 典例6-1 （多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 典例6-2 对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：把一元二次不等式解集、二次方程根、二次函数图像、基本不等式融合在一起，多选项多选小题。条件会给出不等式解集，反向判断结论；常结合比例代换、代数式求最值 2.方法：①由解集判断二次函数开口方向，解集为空集说明图像全程不在横轴上方；解集只有一个点取不到，代表图像开口向上，只和横轴相切。 ②比例同倍数缩放不等式时，一定要留意倍数正负，负数会翻转不等号，解集直接改变。 ③已知解集区间，利用根与系数关系，把参数全部用同一个参数代换，代入新不等式化简求解。 ④相切条件可以得到参数之间的等式，用来消元；再通过换元，借助基本不等式求分式最小值 变式6-1已知二次函数对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式6-2（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 变式6-3若关于的不等式：的解集为全体实数，则_____. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 2．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 5．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 6．（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 7．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 8．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________． 9．已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________． 10．已知，，若关于的不等式在恒成立，则的取值范围是________. 11．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 12．已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 13．设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 14．已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值. 15．已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $