微专题02 与一元二次不等式有关的7大常考题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“三个二次”关系为核心，通过七类题型系统构建含参、恒成立、实际应用的解题方法体系，培养数学推理与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法及拓展|10例+10练|“三个二次”关系，分式不等式转化|从标准形式到拓展应用，构建概念基础| |由解集求参|10例+10练|解集端点即方程根，韦达定理应用|逆向思维，方程与不等式的转化| |含参不等式|8例+12练|二次项系数→判别式→根大小三级讨论|分类讨论思想，参数对解集的影响| |R上恒成立|10例+10练|二次项系数与判别式联合判定|函数性质应用，极端值分析| |区间恒成立|10例+10练|对称轴与区间位置关系，转化最值|函数单调性与最值的综合应用| |有解问题|10例+10练|存在性转化为区间最值边界|与恒成立问题的逻辑区分| |实际应用|10例+10练|设变量→列关系式→解不等式→验实际|数学建模，实际问题符号化|

专题02 一元二次不等式 题型一 一元二次不等式的解法及其拓展应用 1 题型二 由一元二次不等式的解集求参 3 题型三 解含参一元二次不等式（分类讨论） 6 题型四 一元二次不等式在R上恒成立问题 7 题型五 一元二次不等式在区间上恒成立问题 10 题型六 一元二次不等式有解问题 12 题型七 一元二次不等式的实际应用 14 题型一 一元二次不等式的解法及其拓展应用 1. 一元二次不等式标准形式： 2. 三个二次关系： 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，由判别式判断方程根的情况，结合抛物线开口写不等式解集。 3. 分式不等式： 【经典例题】 1．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 5．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 8．不等式的解为________ 9．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【巩固练习】 1．不等式的解集是___________． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是________． 6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 9．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 10．已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 由一元二次不等式的解集求参 不等式解集端点就是对应一元二次方程的根，利用韦达定理；注意二次项符号。 【经典例题】 1．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 4．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 7．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习】 1．已知的解集为，则的解集是_______________. 2．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 7．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 8．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 9．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 题型三 解含参一元二次不等式（分类讨论） 讨论顺序： ①二次项系数为 0（退化成一次不等式）； ②判别式正负； ③根的大小比较。 【经典例题】 1．解下列关于的不等式：． 2．已知，解关于的不等式：. 3．讨论关于的不等式的解集 4．（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 5．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 6．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 7．解关于的不等式． 8．解关于x的不等式：． 【巩固练习】 1．解下列关于的不等式： (1)；(2)． 2．解关于的不等式：． 3．解下列关于的不等式. 4．（多选）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 5．解不等式． 6．已知函数，解关于的不等式. 15．解关于的不等式 7．解不等式. 8．（多选）（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 9．求关于的不等式的解集. 10．解下列关于x的不等式．． 11．已知函数，解关于的不等式． 12．若函数，当时，求的解集. 题型四 一元二次不等式在R上恒成立问题 对全体实数恒成立： （1）二次不等式恒成立，则，（若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立.） （2）二次不等式恒成立，则 （3）若，则 当时，不等式为或，当且仅当或时在上恒成立； 当时，退化为一次不等式或，不可能在恒成立. 【经典例题】 1．（多选）恒成立，a的值可以为（    ） A． B． C． D．4 2．若，，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知实数，且函数的定义域为，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D．2 又∵ ∴ 6．当时，不等式对任意实数恒成立，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D．8 7．已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为 （    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．有这样一个问题：已知函数的值恒小于，实数的取值范围是_________． 9．满足对于任意的恒成立的所有实数构成集合，满足对于任意的恒成立的所有实数构成集合，则______. 10．在R上定义运算，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A．(-1，1) B．- C．- D．(0，2) 【巩固练习】 1．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（多选）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 4．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 题型五 一元二次不等式在区间上恒成立问题 在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立；在恒成立 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调. 【经典例题】 1．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 3．（多选）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ）． A．7 B．5 C．3 D． 4．当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围为______． 8．（多选）对任意，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 9．若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 10．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【巩固练习】 1．关于的不等式在时恒成立，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 4．（多选）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 5．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 6．若 则b的取值范围为_______. 7．若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 8．若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 9．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 10．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 一元二次不等式有解问题 区间上有解问题： 在有解；在有解 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界. 【经典例题】 1．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 3．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 4．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 5．若存在，，则实数的最大值为___________． 6．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 7．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____. 8．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为__________． 10．（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．，使成立，求m的取值范围______； 2．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 4．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 5．若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 8．已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为_____. 9．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）在上定义运算：，若命题，使得，则命题成立的充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 题型七 一元二次不等式的实际应用 解题步骤： ①设变量；②列关系式；③建立不等式；④解一元二次不等式；⑤结合实际舍去不符合题意的解。 【经典例题】 1．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 2．（多选）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 5．为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 6．某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 7．甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 8．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 9．某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. 10．如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为_____． 【巩固练习】 1．某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元.设使用年后该设备的维修､保养费用为万元，盈利总额为万元，从第__________年开始，使用该设备开始盈利. 2．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是________.   4．（多选）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 5．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 6．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 7．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为___________. 9．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为______． 10．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次不等式 题型一 一元二次不等式的解法及其拓展应用 1 题型二 由一元二次不等式的解集求参 7 题型三 解含参一元二次不等式（分类讨论） 16 题型四 一元二次不等式在R上恒成立问题 27 题型五 一元二次不等式在区间上恒成立问题 34 题型六 一元二次不等式有解问题 42 题型七 一元二次不等式的实际应用 48 题型一 一元二次不等式的解法及其拓展应用 1. 一元二次不等式标准形式： 2. 三个二次关系： 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，由判别式判断方程根的情况，结合抛物线开口写不等式解集。 3. 分式不等式： 【经典例题】 1．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市红桥区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】不等式的解集为，故B正确. 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【来源】贵州六盘水市2025-2026学年高一下学期期末质量监测数学试卷 【详解】的解为或5，故不等式的解集为或 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河南省部分普通高中2025-2026学年高一下学期7月期末调研考试数学试卷 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 4．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省多校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 【详解】由可得：或， 又因为，所以不等式组的解集为. 5．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】甘肃金昌市第一中学2025-2026学年下学期学业水平质量检测（三）高三数学试题 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 6．（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【来源】山西长治市襄垣县第一中学校2024-2025学年高二第二学期6月月考数学试题 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 7．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】方法一：由，得，化简得，即，等价于，解得.所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或，化简得或（舍去），所以，所以原不等式的解集为. 8．不等式的解为________ 【答案】 【来源】上海市陆行中学2025-2026学年高一上学期10月阶段性测试数学试题 【详解】令，则变为，解得，则求的解即可，解得. 9．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】云南曲靖市陆良县2025-2026学年高二下学期期末检测数学试题 【详解】由， 于是由，或， 所以不等式的解集为. 10．设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意可知：关于的一元二次方程有实根， 则，解得或． 【巩固练习】 1．不等式的解集是___________． 【答案】 【来源】广东深圳市西浦教育集团外国语高中2025-2026学年第二学期高一期末考试数学试题 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】陕西渭南市临渭区2025-2026学年高二下学期7月期末教学质量调研数学试题 【详解】对原不等式变形，得，得，解得， 所以不等式的解集为(−2,5). 3．（多选）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】福建福州市山海联盟教学协作体2025-2026学年高二下学期期末适应性练习数学试卷 【详解】选项 A：二次项系数，判别式，故 解集为，A 正确；选项 B：二次项系数，判别式，不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误；选项 C：二次项系数，判别式，解集为，C 正确；选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 4．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】贵州铜仁市2025-2026学年高一下学期7月质量监测数学试题 【详解】因为，所以，整理得，等价于且，解得，综上得原不等式的解集为，故B正确. 5．不等式的解集是________． 【答案】或 【详解】由得，即，即，解得或，故不等式的解集是或. 6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式，知且. 当，即且时，因为，所以不等式恒成立； 当，即时，，，即，， 所以或（与矛盾，舍去）. 综上所述，不等式的解集为. 7．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】天津市宝坻区2025-2026学年第二学期期末练习 高二数学试卷 【详解】解 ，得 ，记对应解集为； 解 ，得 ，记对应解集为； 因为是的真子集，若成立，则一定满足，必要性成立； 若成立，无法推出 ， 例如：满足，但不满足，充分性不成立； 因此“”是“”的必要不充分条件. 8．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁辽阳市2025-2026学年高二下学期7月期末学情评估数学试题 【详解】已知集合，由，解得，所以， 集合，由，解得或，所以， 因此，即，故C正确. 9．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【来源】考点03 等式性质与不等式性质【练】黄金考点总动员2027届 【详解】由得，所以， ，所以 . 10．已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山西长治市襄垣县第一中学校2024-2025学年高二第二学期6月月考数学试题 【详解】由，令，则，解得，即，所以． 题型二 由一元二次不等式的解集求参 不等式解集端点就是对应一元二次方程的根，利用韦达定理；注意二次项符号。 【经典例题】 1．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【来源】四川省广安市加德学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【来源】天津滨海新区2025-2026学年高二下学期期末检测数学试卷 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【来源】上海市陆行中学2025-2026学年高一上学期10月阶段性测试数学试题 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 4．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【来源】福建宁德市福鼎市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以，， 所以不等式可化为， 又，则，解得． 6．设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【来源】上海市普陀区2025-2026学年高三第二学期命题指导研修数学样卷 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 7．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】第1章 B卷章末测试卷（高三大一轮） 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 8．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】专题3 二次函数与一元二次方程、不等式【练】【题型分类归纳】2026-2027学年高一数学同步（人教A版） 【详解】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 9．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东梅州市梅县区2025-2026学年第二学期普通高中供题训练高二数学 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 10．已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【来源】河北沧州市多校联考2025-2026学年高二下学期第四次阶段总结数学试题 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为，所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 【巩固练习】 1．已知的解集为，则的解集是_______________. 【答案】 【来源】河北省唐县第一中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题 【详解】由题意可知是方程的两根， ∴，， ∴， ∴. 2．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【来源】云南昆明市嵩明县2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 3．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 4．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【来源】山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高一贯通班下学期期中质量监测数学试卷 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 6．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【来源】河北承德市部分高中2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 7．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 【答案】 【来源】专题4 分式不等式、高次不等式、绝对值不等式【练】【题型分类归纳】2026-2027学年高一数学同步（人教A版） 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，得， 故可化为 ，又因为，所以原不等式等价于，即. 所以解集为. 8．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【来源】江苏盐城市大丰区2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试卷 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 9．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【来源】专题3 二次函数与一元二次方程、不等式【讲】【题型分类归纳】2026-2027学年高一数学同步（人教A版） 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【来源】河北唐山市玉田县2025-2026学年第二学期质量调研高二数学试题 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 题型三 解含参一元二次不等式（分类讨论） 讨论顺序： ①二次项系数为 0（退化成一次不等式）； ②判别式正负； ③根的大小比较。 【经典例题】 1．解下列关于的不等式：． 【详解】对于一元二次方程， 当时，，的解集为， 当时，的解集为， 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当或时，不等式的解集为． 2．已知，解关于的不等式：. 【详解】， 当时，， 方程的两个根分别为 或， 则由，得； 当时，，原不等式化为，得； 当时，，不等式无解， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 3．讨论关于的不等式的解集 【来源】四川省双流棠湖中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【解析】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 4．（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【来源】四川省成都市郫都区第一中学2025-2026学年高一上学期期中测试数学试卷 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 5．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 6．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【详解】由得，， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 7．解关于的不等式． 【来源】河北唐山市丰润区2025-2026学年度高一第一学期期中考试数学试题 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 8．解关于x的不等式：． 【来源】上海市延安中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【巩固练习】 1．解下列关于的不等式： (1)；(2)． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 2．解关于的不等式：． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上，时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 3．解下列关于的不等式. 【详解】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 4．（多选）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】广东省梅州市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 5．解不等式． 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 6．已知函数，解关于的不等式. 【详解】由可得，，即， 当，即时，解得， 当时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 15．解关于的不等式 【详解】当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 7．解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为，即，解集为； 当时，原不等式可化为，解集为； 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为， 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为， 当时，解集为． 8．（多选）（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，，其解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，，其解集为，故B可能. 故选：ABD 9．求关于的不等式的解集. 【详解】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 10．解下列关于x的不等式．． 【详解】，等价于， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 综上：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 11．已知函数，解关于的不等式． 【详解】不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解得，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，： 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 12．若函数，当时，求的解集. 【详解】因为，，所以，即， 又， 当，即时，的解集为； 当，即时，若，解集为，若，解集为； 当，即或时，的两根为，， 且有，此时，的解集为或； 综上所述，当时，的解集为； 当，的解集为，当，的解集为； 当或时，的解集为或. 题型四 一元二次不等式在R上恒成立问题 对全体实数恒成立： （1）二次不等式恒成立，则，（若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立.） （2）二次不等式恒成立，则 （3）若，则 当时，不等式为或，当且仅当或时在上恒成立； 当时，退化为一次不等式或，不可能在恒成立. 【经典例题】 1．（多选）恒成立，a的值可以为（    ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【来源】新疆乌鲁木齐市第七十中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题 【详解】恒成立，即恒成立，所以， 解得，所以BCD符合，A不符合；故选：BCD 2．若，，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【来源】广东省领航高中联盟2025-2026学年高一上学期12月检测数学试题 【详解】因为对于任意正数，不等式恒成立，则， 而，所以要使其恒成立，则.故选：D. 3．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】1.5一元二次方程、不等式【讲】2027届高三大一轮【实战高考】讲与练 【详解】由命题“”为真命题，，解得：， 4．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川眉山市东坡区冠城实验学校2025-2026学年高一下学期直升班期中考试数学试题 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 5．已知实数，且函数的定义域为，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D．2 【答案】A 【来源】四川省德阳市第三中学2022-2023学年高三上学期第四次综合性考试数学（理科）试题 【详解】∵定义域为R，∴在R上恒成立， ∴，即： ∴，解得： 又∵ ∴ 当且仅当，即时取等号.故选：A. 6．当时，不等式对任意实数恒成立，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D．8 【答案】B 【来源】重庆市第十一中学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】由于，则不等式等价于， 依题意，不等式对任意实数恒成立，则，解得， 于是，所以.故选：B 7．已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为 （    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【来源】吉林省长春市长春外国语学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【详解】由题意得：一元二次方程的两根分别为1，2，由根与系数的关系，可得，，则不等式，即对于任意的恒成立，等价于，或，解得：或．则实数的取值范围为或．故选：A 8．有这样一个问题：已知函数的值恒小于，实数的取值范围是_________． 【答案】 【来源】上海市市西中学2015-2016学年高一上学期期中数学试题 【详解】因为函数的值恒小于，故恒成立，或恒成立； 对等价于恒成立，显然不可能；对等价于恒成立， 故只需即可，解得.故答案为：. 9．满足对于任意的恒成立的所有实数构成集合，满足对于任意的恒成立的所有实数构成集合，则______. 【答案】 【来源】福建省厦门市双十中学2023-2024学年高一上学期阶段性训练数学试题 【详解】不等式对于任意的恒成立， 当，即时，，满足题意； 当，即时，根据题意得到二次函数开口向下，且与轴没有交点， 即，解得， 综上的范围为，即， 不等式对于任意的恒成立， 即任意的恒成立， 令 所以， 解得，即， 所以，， 故答案为：. 10．在R上定义运算，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A．(-1，1) B．- C．- D．(0，2) 【答案】B 【来源】云南省文山景尚中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题 【详解】根据新定义，可得，所以可化为，即恒成立，需，解得. 故选：B 【巩固练习】 1．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东青岛市黄岛区等四区2025-2026学年第二学期期末学业水平检测高二数学试题 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 2．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河南商丘市商师联盟2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题 【详解】首先，若，明显不恒成立.若，恒成立. 若，可知当时最大，所以即可， 解得.所以综上所述，. 3．（多选）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【来源】2.3二次函数与一元二次方程、不等式【教材解读】（练）高中数学素养晋级之路 【详解】由题意可知：命题“”是真命题，则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 4．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】吉林长春市实验中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】由“，使得”是假命题，则，都有为真命题， 当，则，满足，当，则，满足,综上，，则实数m的取值范围是. 5．当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】内蒙古呼伦贝尔市普通高中2026届高三联合模拟考试数学试卷 【详解】因为，且满足，，即，则，即，当且仅当时，等号成立，又因为恒成立，所以，即，即，解得. 6．“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】北京市朝阳区北京中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学 【详解】“不等式的解集为空集”等价于“不等式在上恒成立”，其充要条件为，即.因为能推出，推不出， 所以“”是“不等式的解集为空集”的充分不必要条件. 7．（多选）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】山西省部分普通高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 8．已知“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】新疆乌鲁木齐地区2025-2026学年第二学期高二年级质量监测数学（问卷） 【详解】因为“，”是真命题，所以. 所以实数的取值范围是. 9．对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【来源】云南文山州2025-2026学年高一下学期学业质量监测数学试题 【详解】已知正实数满足，所以， 当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得.所以. 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【来源】湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：原式子可化为，则，即，解得，所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 题型五 一元二次不等式在区间上恒成立问题 在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立；在恒成立 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调. 【经典例题】 1．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，，则，，当且仅当时等号成立，，，所以.的最小值为. 2．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【来源】安徽省华师联盟2025~2026学年高一上学期期中质量检测数学试题 【详解】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增，则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减，则，解得； 综上，的取值范围是．故答案为：． 3．（多选）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ）． A．7 B．5 C．3 D． 【答案】BCD 【来源】江苏省扬州市扬州大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】由，且，所以，则问题转化为对于恒成立.又，当且仅当，即时等号成立.所以，即实数的取值范围为，结合选项可知A错误，BCD正确.故选：BCD． 4．当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，不等式恒成立，所以恒成立，整理得恒成立，令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确.故选：C 5．若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省随州市高中教联体2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题 【详解】整理得关于的一元一次不等式，恒成立，，，得或， 所以的取值范围是.故选：A 6．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江西南昌市三校（一中、十中、行知）2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】由题意可得“，”为真命题，设，因此上述不等式恒成立即转化为，恒成立，则，解得. 7．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围为______． 【答案】/ 【来源】重庆市荣昌中学校2025-2026学年高二下学期期末学情调研数学试卷 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则，所以命题为假命题时，． 8．（多选）对任意，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】当时，，由，可得， 当时，，由，可得， 所以时，，即1是方程的一个根， 则题意可得还有一个根小于等于0， 所以，解得，故A正确；B错误； 又开口向下，所以，所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 9．若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省锦州市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故，故，即， 故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：D. 10．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为是一个区间，所以，二次函数的对称轴为直线，①当时，即，函数在上单调递增，所以， 要使对于任意，都有成立，则，所以，解得；②当时，即时，函数在处取得最小值，， 则，不等式无解；③当时，即，函数在上单调递减，所以，则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 【巩固练习】 1．关于的不等式在时恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】青海省西宁二中教育集团2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】令，则不等式在时恒成立，需满足， 即，所以，即实数的范围是.故选：B 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【详解】当时，原式即为，恒成立.当时，由可得恒成立，即.而，当且仅当即时取等号，所以．综上所述，，故答案为：． 4．（多选）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可知，使不等式成立的任意一个x都满足不等式， 即不等式的解集是不等式解集的子集， 由，解得，由，因式分解得， 当，即时，解得， 可知，即时符合条件； 当，即时，解得， 当时，，即，即当时符合条件； 综上，常数a可以是.故选：ABD. 5．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可，即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 6．若 则b的取值范围为_______. 【答案】 【来源】河北省保定市部分高中2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题 【详解】令， 当时，，不满足，舍去； 当时，是关于的一次函数， 则有，结合，解得. 故答案为：. 7．若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 【答案】 【来源】山东省菏泽第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】当时，对任意可知， 若不等式恒成立，则对任意恒成立； 易知函数的图象以为对称轴，所以在上单调递增， 又因为，即与轴有两个交点，易知， 所以对任意不恒成立，不合题意； 当时，易知时，,当时，； 令可得，又，结合已有分析可知 当时，，当时，； 若对任意，不等式恒成立，可知才能满足题意； 解得或(舍).所以.故答案为： 8．若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【答案】（不唯一） 【来源】河南许昌市2025-2026学年第一学期期末质量检测高一数学试题 【详解】由题意，，对任意恒成立，因为，所以当时，的最小值为，所以，故答案为：（不唯一） 9．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，恒成立，则，故，解得．要求充分不必要条件，即求的真子集，观察选项可知，C选项满足题意．故选：C． 10．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省宜宾市第一中学校2024-2025学年高一上学期期中联合考试数学试题 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 题型六 一元二次不等式有解问题 区间上有解问题： 在有解；在有解 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界. 【经典例题】 1．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解，得，解得， 所以实数的最大值为2． 2．（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【详解】当时，原不等式不成立，时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立．时，则，即解得，综上所述，的取值集合是或，结合选项，所以实数可取值，4，故选：BD． 3．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】不等式在区间内有解，即在区间内有解，那么，设.根据二次函数的性质可知，所以.故答案为：. 4．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】存在，使不等式成立，则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 5．若存在，，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】原不等式化为存在只需，令，则，当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 6．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】令，当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 7．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____. 【答案】 【详解】因为，所以等价于，整理得.若“存在，使得不等式成立”可转化为. 因为，当时取等号.所以，即.故答案为：. 8．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件：，综上所述：实数的取值范围是.故选：B 9．已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为__________． 【答案】 【详解】因为的解集为，所以的根为1和2，且． 所以，故，所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立，所以，解得或， 又，所以，所以实数的取值集合为．故答案为： 10．（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当时，关于的不等式有解， 即在上有解，即， 令，可得，因为，则， 将代入，可得，其中， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为， 设满足题意的必要不充分条件构成集合，则满足，即为的真子集， 结合选项，可得AB项符合题意. 故选：AB. 【巩固练习】 1．，使成立，求m的取值范围______； 【答案】 【详解】因为，使成立， 所以，解得得或． 故答案为： 2．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 3．当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由时，有解，所以， 又在上单调递减，在上单调递增，且时，，时， 所以．故选：C． 4．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 5．若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号，所以的最小值为， 所以a的取值范围是.故选：B 6．命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为“，”是真命题，所以不等式有解， 因此方程的判别式，故选：B 7．当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则，， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故充要条件为.故选：B 8．已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由题意，不等式”为真命题， 当时，恒成立，不符合题意；当时，若,显然符合题意； 若,则需使，解得. 综上，实数的取值范围为.故答案为： 9．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 .故选：B. 10．（多选）在上定义运算：，若命题，使得，则命题成立的充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】CD 【详解】由题意可得， 所以若，使得不等式成立，则需函数的最大值大于， 即时，成立，解得或，要求命题成立的充分不必要条件，只需求或的真子集，分析选项可知，只有CD满足题意．故选：CD． 题型七 一元二次不等式的实际应用 解题步骤： ①设变量；②列关系式；③建立不等式；④解一元二次不等式；⑤结合实际舍去不符合题意的解。 【经典例题】 1．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【答案】 【详解】设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 2．（多选）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【答案】BC 【详解】设甲的速度为，由题得，解得或； 设乙的速度为，由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 4．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到，即 ，解得 ，又因为，所以，故销售价格的范围为 ； 故答案为： 5．为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【答案】2 【来源】福建省泉州市安溪县2025-2026学年高一上学期期中质量监测数学试题 【详解】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液；故答案为: 6．某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【来源】天津市河西区2025-2026学年高一上学期期中质量调查数学试卷 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元.故答案为：. 7．甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 【答案】24 【来源】上海市南洋模范中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷 【详解】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费，则，即， 可得，即， 设，则，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可得，此时，符合题意， 所以甲公司应投入24万元宣传费.故答案为：24. 8．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 【答案】15 【来源】江西省景德镇市2025-2026学年高一上学期11月期中检测数学试卷 【详解】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 9．某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. 【答案】30 【来源】天津市部分区2025-2026学年高一上学期11月期中练习数学试题 【详解】设每件售价为元，则，即，即， 解得，又，所以.所以销售价格最高是30元. 故答案为：30. 10．如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为_____． 【答案】 【来源】安徽省蚌埠市B层高中2025-2026学年高一上学期第一次联考数学试题 【详解】设，根据矩形的性质，易知，可得,代入可得，解得，则矩形花坛的面积为，令，则，解得或，综上，或.故答案为：. 【巩固练习】 1．某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元.设使用年后该设备的维修､保养费用为万元，盈利总额为万元，从第__________年开始，使用该设备开始盈利. 【答案】 【来源】北京市清华大学附属中学奥森、将台路校区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】由题意得，， 令，得， 又，则，故从第年开始，使用该设备开始盈利.故答案为： 2．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】专题二不等式 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，则有，化简整理得，解得．因为，且，所以．故选：A. 3．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是________.   【答案】 【来源】假期作业四 一元二次函数与一元二次不等式 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，，所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或，所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．故答案为：. 4．（多选）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. 5．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【来源】011限时小练11一元二次不等式的应用高中数学必修第一册�BS 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 6．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设风暴中心最初在A处，经后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则，所以，即，两边平方并化简，整理得，解得或（舍去）.所以进港避风的时间最迟应在13点40分. 7．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 8．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为___________. 【答案】2 【来源】011限时小练11一元二次不等式的应用高中数学必修第一册�BS 【详解】依题意，征附加税x元（叫作税率）时，每年销售量将减少10x万瓶，则销量变为万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则有，解得. 9．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为______． 【答案】2 【详解】依题意，，解得，即实数的最小值为2． 10．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】014限时小练12二次函数与一元二次方程、不等式（2）高中数学必修第一册�RA 【详解】规定向上为正方向，根据，有，解得，，则排球在抛出点以上停留的时间． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $