第一章 特殊平行四边形 单元综合检测试题 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）性质与判定，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配初中数学单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|菱形面积计算（1）、矩形判定（5）、正方形动点问题（10）|结合折叠（4）、交叉纸条（3）等情境，发展空间观念| |填空题|5|菱形高计算（12）、矩形面积平分（14）、正方形中点问题（15）|设置开放条件（11），培养抽象能力| |解答题|8|菱形与矩形证明（16、17）、阅读材料探究（23）|综合证明与计算，如23题通过旋转思想提升创新意识，强化推理能力|

第一章特殊平行四边形单元综合检测试题 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知菱形的面积为，一条对角线长为，则这个菱形的周长为(    ) A. B. C. D. 2.矩形具有而菱形不具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 3.如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为(    ) A. B. C. D. 4.如图，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的位同学拟定的方案，其中正确的是(    ) A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否为直角 6.如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，为边上任意一点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知的对角线，相交于点，添加下列条件后，不一定是正方形的是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9.如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点不与点，重合，过点作于点，于点，连接，给出下列结论：；；当时，四边形是正方形；的最小值为其中正确的结论有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题： 11.如图，在中，对角线与相交于点，请添加一个条件：          ，使成为菱形． 12.如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则： 菱形的面积为          ； 菱形的高为          ． 13.如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在上，连接，是等腰三角形，若，，则的长为          ． 14.如图，在平面直角坐标系中，矩形的点和点分别落在轴和轴上，，，直线以每秒个单位长度向下移动，经过          秒该直线可将矩形的面积平分． 15.如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.如图，在▱中，，，是▱的对角线上的两点，连接，，，，构成的四边形是一个菱形求证：▱是正方形． 17.如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长至点，使得，连接． 求证：； 若，，求的长． 18.本小题分 如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接，． 求证：四边形是矩形； 若平分，，，求的长． 19.如图，的两条对角线与相交于点，是边上的高，． 求证：四边形是菱形； 若，，求四边形的面积． 20.如图，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为连接，交于点． 试判断四边形的形状，并证明你的结论． 线段与有怎样的关系？请证明你的结论． 21.如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接，过点作交于点，连接． 求证：四边形是矩形； 若，，求菱形的面积． 22.如图，在中，是边上一个动点，过点作直线设交的平分线于点，交的平分线于点． 求证：． 若，，求的长． 当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 23.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，求证：小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题他的方法是将绕点顺时针旋转得到如图，此时． 请回答：在图中，的度数是          ． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解答下列问题： 如图，在直角梯形中，，，，是上一点若，，求的长度 如图，在中，，，以为边作正方形，连接当          时，线段有最大值，并求出的最大值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C 7.B 8.B 9.B 10.C 11·AB=AD/答案不唯一 12.【小题1】 96 【小题2】 9.6 13.2 14.2 15.V5 16.证明：连接AC. AB⊥BC, .∠ABC=90. 又'.四边形ABCD是平行四边形， ∴.口ABCD是矩形. .四边形AECF是菱形， ..AC⊥BD .口ABCD是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形). 17.【小题1】 证明：，四边形ABCD是菱形，∴.AD/BC,AD=BC,又CE=BC, 四边形ACED是平行四边形，∴.AC//DE。 【小题2】 解：DE的长为4. 18.【小题1】 证明：.AD/1BC,EC=AD,∴.四边形AECD是平行四边形. 又·∠D=90°，∴.四边形AECD是矩形 【小题2】 第1页，共1页 ∴.AD=CE,AD/ICE,. 解：'AC平分∠DAB.∴.∠BAC=∠DAC」 .AD/IBC,∴.∠DAC=∠ACB.∴.∠BAC=∠ACB.∴.BA .EC=2,∴.BE=3. :.在Rt△ABE中，AE=√AB-BE=V52-32=4 19.【小题1】 证明：如答图，AC交DE于点M, ,DE是AB边上的高，∴.DE⊥AB,∴.∠AEM=90°， .'∠OAB=∠BDE,∠AME=∠DMO,∠OAB+∠AME+ ∠BDE+∠DOM+∠DMO=180°， ∴.∠AEM=∠DOM=90°，∴.AC⊥BD, ,四边形ABCD是平行四边形，∴.四边形ABCD是菱形： 【小题2】 解：，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， ∴0A-号AC,OB=BD,∠0AB=∠BAD=30' AC⊥BD,AB=2,∴.OB=AB=1, ∴.OA=V√AB2-OB=V3'∴.BD=2'AC=23 ∴菱形ABCD的面积=号AC·BD=号×23×2=2V3. 20.【小题1】 解：四边形ABDE是平行四边形， 证明：.'AD平分∠BAC,AN平分∠CAM, ÷∠CAD-=2∠BAC,∠CAN=2∠CAM, 第2页，共1页 BC=5. AEM=180°， ∠DAE=∠CAD+∠CAN=BAC+∠CA0-5x180=90 在△ABC中， :AB=AC'AD平分∠BAC ∴.AD⊥BC. ∴.∠ADC=90° 又.CE⊥AN, ∴.∠CEA=90 ∴四边形ADCE是矩形有三个角是直角的四边形是矩形). .AE//DC,AE=DC, .∴AE//BD 又.'AD是∠BAC的平分线，AB=AC, ,∴.AD是等腰三角形ABC底边上的中线， .BD=DC, .∴.AE=BD '.四边形ABDE是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 【小题2) DF=号AB,DF/AB证明如下： .四边形ADCE是矩形， DF-DE. 又.四边形ABDE是平行四边形， 第3页，共1页 ∴.AB=DE,AB/IDE, DE-AB,DE//AB. 21.【小题1】 证明：.四边形ABCD是菱形，∴.AD//BC,AC⊥BD.AD=BC..BE=BC,.AD=BE..四 边形AEBD是平行四边形..AE//BD.又.BF/IAC,·∴.四边形AFBO是平行四边形.又 .AC⊥BD,即∠AOB=90°，∴四边形AFBO是矩形. 【小题2】 解：由1)知四边形AFBO是矩形，∴.AB=OF=2,∠EAC=90°，又.'∠E=30°， ∴.∠ACE=90°-∠E=60°.，四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC,OA=OC.∴.△ABC是等边三角 形. BC=AC=AB=20C=1.0B=VBC2-0C=3.S意25aAc=2×号×2xV3=23 22.【小题1】 证明：如图，.MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F,·∴.∠2=∠5， ∠4=∠6..MN/1BC,.∴.∠1=∠5，∠3=∠6.∴.∠1=∠2，∠3=∠4..∴.OE=C0, OF=CO..∴.OE=OF. M 5X6 C D 【小题2】 解：.∠2=∠5，∠4=∠6，∴.∠2+∠4=∠5+∠6=90°..CE=8,CF=6, ∴.EF=V82+62=10.∴.0C=号EF=5 【小题3】 第4页，共1页 解：当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形 AO=CO..∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形.又.∠ 矩形. 23.【小题1】 45° 【小题2】 如图3，过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F. E 图3 ∴.∠F=90°..AD/1BC,∠D=90 ∴.∠C=180°-∠D=90° 又'.∵AD=CD=10 :.四边形AECD是正方形. .∴.CF=10 依题意，得BE=DE+BF,设BE=X, .DE=4' .CE=CD-DE=10-4=6'BF=BE-DE=x-4' .∴.CB=CF-BF=10-X+4=14-x1 在Rt△BCE中，CE2+CB=BE2, 第5页，共1页 理由如下：当O为AC的中点时， ECF=90°，∴.平行四边形AECF是 36+(14-x)P=x2,解得x=5 ·BE=58 7 【小题3】 如图4，过点A作AF⊥CA,取AF=AC,连接BF,CF, 图4 .'∠BAF=∠CAF+∠BAC=90°+∠BAC,∠DAC=∠BAD+ ∴.∠BAF=∠DAC1 又.'AF=AC,AB=AD ∴.△FAB≌△CAD(SAS .'BF=DC' :.线段CD有最大值时，只需BF最大即可。 ,'BF≤BC+CF' :.当B'C'F三点共线时，BF取最大值，此时BF=BC+CF~ 在等腰直角三角形ACF中，AF=AC=4,∠ACF=45°， 第6页，共1页 BAC=90°+∠BAC, ∴.CF=VAF2+AC2=4V2 :BC=6'BF的最大值为4V2+6 :.CD的最大值为4V2+6 此时∠BCA=180°-∠ACF=135°.故答案为135°. 第7页，共1页