第一章 特殊平行四边形 周末作业2 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，通过门窗制作情境、折叠操作及综合探究题，考查几何直观、推理能力与应用意识，适配九年级周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形判定、菱形性质等|第1题结合门窗制作考矩形判定定理，体现数学眼光| |填空题|5/15|矩形条件添加、正方形面积|第13题通过中心对称求阴影面积，考查空间观念| |解答题|5/75|尺规作图、矩形证明与计算|第20题分矩形、菱形、平行四边形探究，培养推理能力与创新意识|

· 周末作业2 （第一章特殊平行四边形） · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 4．已知菱形的边长为，它的一条对角线长为，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．菱形 D．正方形 6．如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 7．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向左平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，把矩形沿 翻折， 点恰好落在边的处且， 则是（  ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线，交于点O．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径作弧交于点E；②分别以点B，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的下方交于点F；③作射线，交于点H．若对角线，的长分别为12，16，则线段的长为（    ） A．10 B．24 C．4.8 D．9.6 10．如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 12．矩形的对角线和相交于点，若，则________． 13．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于E、F，则阴影部分的面积是________．    14．如图，在菱形中，点C在x轴上，点D的坐标为、点B的坐标为，则点C的坐标为_________． 15．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．    三、解答题（共5小题，满分75分） 16．如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 17．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 18．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，，求线段的长． 19．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点，，． (1)求的长； (2)求菱形的高． 20．综合与实践：某校数学兴趣小组到一家生产平行四边形的薄塑料模板厂开展综合与实践活动，他们有机分成甲队、乙队、丙队，分别选取矩形、菱形和平行四边形的模板，并将其各顶点按逆时针方向分别标记为点，开展以下命题的探究活动．请聪明的你解答甲、乙、丙队所命制的命题 (1)甲队：如图1，在矩形中，取边上的一点，过作于点．若测得时，则______． (2)乙队：如图2，在菱形中，过作交的延长线于点，过作于点．若测得，，求的值． (3)丙队：如图3，在中，测得．在边上取一点，使得．探究：边上是否存在两个点，使得，且？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 试卷第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C D A A D D 1．B 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 2．D 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，熟知平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理；根据已知可求得菱形的边长，根据勾股定理可求得其另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求得其面积． 【详解】解：如图所示， ，， ， ， 从而得到菱形的面积． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 6．D 【分析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，平移的性质，由平行四边形的性质得到，由菱形的性质可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵将线段水平向左平移个单位长度得到线段， ∴， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据可得，根据折叠的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴ 故选：A． 9．D 【分析】根据尺规作图的方法知：，再根据菱形求面积的方法进行求解． 【详解】根据尺规作图的方法知： ∵四边形为菱形， ∴，， 根据勾股定理得： ∵ ∴ ∴ 故选：D 【点睛】本题考查尺规作图和菱形的性质，解题的关键是读懂题目中作图的方法能够得到． 10．D 【分析】本题考查了菱形的性质，对称轴最短路径的计算，勾股定理等知识的运用，掌握菱形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点，根据菱形的性质可得点关于的对称点为点，，则有，的最小值为的长度，在中，根据勾股定理可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D ． 11．（答案不唯一） 【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……． 12．10 【分析】本题考查了矩形的性质；根据矩形的对角线相等即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ． 故答案为：10． 13．1 【分析】证明，可推出阴影面积等于的面积． 【详解】解：在正方形中， ，， ∴，又， ∴， ， 阴影面积． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大，会把两个阴影面积转化到一个图形中去． 14． 【分析】本题考查了菱形的性质、两点之间的距离等知识，连接、交于点E，交y轴于点F，由菱形的性质得，，再求出，则，得，即可得出结论． 【详解】如图，连接、交于点E，交y轴于点F ∵四边形是菱形， ∴， ， ∵点D的坐标为，点B的坐标为， ∴，，轴， ∴，轴 ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵点C在x轴上， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 15． 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 16．(1)如图，点即为所求； (2) 证明：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出的平分线与的交点即为点； （2）先根据平行线+角平分线证明，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 18．(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）首先证明，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∴，， 在中，， 在中， 19．(1) (2) 【分析】（1）证明，再证明四边形是平行四边形，可得四边形是矩形，可得，从而可得答案； （2）过作于，求解，可得，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； （2）解：过作于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的高是． 【点睛】本题考查的平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的利用菱形的性质解题是解本题的关键． 20．(1)30 (2)175 (3) 解：边上不存在满足条件的点． 如图，假设边上存在满足条件的点． 在中，， ． 点在边上， ． 过点作于点，连结． 在中，， ． 在中，． 点在边上，， ． ． 与矛盾，假设不成立． 边上不存在满足条件的点． 【分析】（1）连结，由矩形中，点在边上，，可得，由于点，可得． （2）由菱形性质，可得，， 由，的延长线于点于点，用锐角三角函数和勾股定理可得，，；设，可推算，，，，；由，可得，进而求得． （3）用反证法说明理由：假设边上存在满足条件的点．由，，可得；由点在边上，可得；过点作于点，连结．由和的性质，可得；由点在边上，，可得．从而得到与互相矛盾，假设不成立，进而得出结论． 【详解】（1）解：如图，连结． 在矩形中，点在边上，， ， 于点， ， ； 故答案为：30； （2）解：如图，四边形是菱形， ，， ． 的延长线于点，于， ，， 设． ， ． ，解得：． ； （3）略 【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、平行四边形的性质，应用相似三角形的性质与判定，解直角三角形，三角函数法、面积法、反证法等知识与技能达成解题目标． 答案第2页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $