重难点专题2.1 基本不等式九种题型（高效培优专项训练）数学湘教版2019必修第一册

重难点专题2.1 基本不等式九种题型 题型一 基本不等式及其辨析 题型二 应用基本不等式比较大小 题型三 根据基本不等式证明不等式 题型四 求“积”的最值 题型五 求“和”的最值 题型六 基本不等式的实际应用 题型七 “配凑法”、“1”的代换法求最值 题型八：根据最大（小）值求参数 题型九：不等式恒成立及有解问题 题型一 基本不等式及其辨析 1．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 题型二 应用基本不等式比较大小 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立，故. 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 题型三 根据基本不等式证明不等式 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 题型四 求“积”的最值 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 7．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 8．（25-26高三上·安徽·阶段练习）若实数a，b满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，变形得到，解得，得到答案. 【详解】由，得，当且仅当或时，等号成立； 由，得，解得， 当时不满足，所以； 又，故，解得， 当且仅当或时，等号成立． 综上，． 故选：D． 9．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】9 【分析】利用基本不等式求积的最大值. 【详解】正数满足，根据基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，∴ab的最大值为9． 故答案为：9 题型五 求“和”的最值 10．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知，，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】D 【分析】结合题意，由基本不等式求解可得. 【详解】因为，， 则， 当且仅当时取等号，即时. 故选：D. 11．（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过对式子进行变形，再利用基本不等式来求解最小值. 【详解】因为，所以. 所以. 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：D. 12．（江西省2026届高三上学期10月一轮复习阶段检测数学试题）设，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故答案为：3 13．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，且满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】对原式变形后可得，令，待求式转化为， 由基本不等式求最值即可. 【详解】由可得，即， 令，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 14．（25-26高三上·河南·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，可得，化简得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】正实数满足，有， 由，即，解得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型六 基本不等式的实际应用 15．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 16．（20-21高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 【答案】 【分析】设长方体长为m，高为m，依题意，可求得，利用基本不等式可求得，从而可得车厢的最大容积． 【详解】设长方体长为m，高为m，则有，即． ∵，当且仅当时，取等号 ∴，即，解得 ∴ ∴，当且仅当时，等号成立 ∴车厢的最大容积是 故答案为：． 题型七 “配凑法”、“1”的代换法求最值 17．（25-26高一上·四川广元·阶段练习）若正数满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件对进行变形，再利用基本不等式进行运算求出最小值． 【详解】， ，当且仅当时取等号，此时，． 故选：C． 18．（25-26高一上·甘肃定西·阶段练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 【答案】C 【分析】由题设条件可得，利用“乘1法”与基本不等式求最小值. 【详解】由， 则 . 当且仅当时取等号，即，再结合， 可得，时取等号. 故选：C 19．（黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题）设，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选:C. 20．（25-26高一上·河南·阶段练习）若，且，则的最小值为（　　） A．60 B．64 C．56 D．28 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解. 【详解】因， 则， ， 当且仅当时，等号成立， 由解得， 即当时，的最小值为60． 故选：A 21．（安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试卷）若正实数满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正实数满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 22．（浙江省六校联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题）已知，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 所以， 因为，当且仅当， 即当时取等号， 所以有. 所以当时，有最小值， 故答案为： 题型八：根据最大（小）值求参数 23．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若正数满足，且的最小值是16，则的值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值，再列式求出值. 【详解】依题意，，解得，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以的值为4. 故答案为：4 24．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 题型九：不等式恒成立及有解问题 25．（2021高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 26．（24-25高一下·云南·期中）已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据已知条件可得，然后对化简变形后利用基本不等式可求得其最小值. 【详解】不等式对于一切实数恒成立，且， ，. ，使成立， ，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 27．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 28．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 29．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用基本不等式，用表示式子的最小值，再令该最小值不大于9，求的取值范围即可. 【详解】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C 30．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】已知，，， 恒成立等价于恒成立. 又，则， . ，即， 解得（舍去）或， 的最小值为， 故选：B. 31．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可. 【详解】，，且a，b为正数， 当且仅当，即时， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：D 32．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 33．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 34．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 35．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 【答案】． 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】因为，则， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以不等式有解，即，解得或， 故答案为：． 36．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据题意得出；再根据均值不等式求出即可得出结果. 【详解】因为，恒成立， 所以． 又因为， 所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题2.1 基本不等式九种题型 题型一 基本不等式及其辨析 题型二 应用基本不等式比较大小 题型三 根据基本不等式证明不等式 题型四 求“积”的最值 题型五 求“和”的最值 题型六 基本不等式的实际应用 题型七 “配凑法”、“1”的代换法求最值 题型八：根据最大（小）值求参数 题型九：不等式恒成立及有解问题 题型一 基本不等式及其辨析 1．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型二 应用基本不等式比较大小 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 根据基本不等式证明不等式 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 题型四 求“积”的最值 6．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 8．（25-26高三上·安徽·阶段练习）若实数a，b满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最大值为 . 题型五 求“和”的最值 10．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知，，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 11．（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（江西省2026届高三上学期10月一轮复习阶段检测数学试题）设，则的最小值为 . 13．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，且满足，则的最小值为 ． 14．（25-26高三上·河南·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为 . 题型六 基本不等式的实际应用 15．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 16．（20-21高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 题型七 “配凑法”、“1”的代换法求最值 17．（25-26高一上·四川广元·阶段练习）若正数满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 18．（25-26高一上·甘肃定西·阶段练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 19．（黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题）设，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．4 20．（25-26高一上·河南·阶段练习）若，且，则的最小值为（　　） A．60 B．64 C．56 D．28 21．（安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试卷）若正实数满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 22．（浙江省六校联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题）已知，则 的最小值为 . 题型八：根据最大（小）值求参数 23．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若正数满足，且的最小值是16，则的值为 . 24．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 题型九：不等式恒成立及有解问题 25．（2021高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 26．（24-25高一下·云南·期中）已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 27．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 29．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 30．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 31．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 33．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 34．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 35．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 36．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $