专题03 利用基本不等式求最值（九大压轴题专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，通过9类题型系统构建基本不等式求最值方法体系，实现从基础到压轴的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|聚焦“一正二定三相等”本质，明晰最值求解底层逻辑|从不等式概念出发，构建“条件验证-定值构造-等号判断”思维框架| |题型归纳|9题型（每题型1例+3变式）|提炼直接法、配凑法等9类通法，强调特征识别与变形技巧|按“简单到复杂”递进，从单变量到多变量，形成问题转化与模型构建能力| |压轴挑战|14道综合题|融合多方法交叉应用，强化复杂情境下的策略选择|衔接高考命题趋势，培养数学思维的灵活性与推理严谨性|

专题03 利用基本不等式求最值 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接法求最值 题型二、配凑法求最值 题型三、分式分离法求最值 题型四、消元法求最值 题型五、乘“1”法求最值 题型六、双换元法求最值 题型七、构造不等式法求最值 题型八、多次使用基本不等式求最值 题型九、多元均值不等式求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式求最值是高一数学核心重难点，所有题型均围绕一正、二定、三相等三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是各项必须保证为正，负数要先变形处理，二是构造出和或积为定值，求得结果务必检验等号能否真正取到。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接法求最值 题型模版 1.特征：已知，式子已经满足和为定值或积为定值，无需变形，可直接套用公式。 2.方法：和定求积：；积定求和：，验证取等条件。 例1．已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 变式1-1．当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 变式1-2．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【详解】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 变式1-3．若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 题型二、配凑法求最值 题型模版 1.特征：，形如，各项为正，但和、积不是定值，需要拆项、添项配凑。 2.方法：对式子变形配凑，构造出“积为定值”结构，如，再用不等式，检验等号。 例2．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 变式2-1．已知，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 变式2-2．函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】当时，，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 变式2-3．求函数的最大值. 【答案】 【详解】因为，， 所以, 当且仅当，即时，. 故函数的最大值为. 故答案为： 题型三、分式分离法求最值 题型模版 1.特征：，分式型函数，分子次数大于等于分母次数，无现成定值。 2.方法：多项式分离常数，化为，拆成整式加分式，凑积定值，再利用基本不等式求解。 例3．若，则的最大值是______． 【答案】 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 变式3-1．函数的最小值是，则当时，a的值为________，当时，a的值为______ 【答案】 【详解】当时， 当时：，当且仅当即时等号； 此时. 当时，， 当且仅当即时等号；此时. 综上： 若，则，由题，所以. 若，则，由题，所以. 故答案为：1；−1. 变式3-2．（上海高一上学期期中【易错60题考点专练】（1）），则的最小值是__，此时a＝__． 【答案】 2； 0 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 变式3-3．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 题型四、消元法求最值 题型模版 1.特征：含双变量，给出约束等式如，无法直接套基本不等式。 2.方法：由约束等式解出，代入目标式，化为单变量函数，再配凑得到的形式求最值。 例4．若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为． 变式4-1．已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 变式4-2．若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 变式4-3．设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 题型五、乘“1”法求最值 题型模版 1.特征：，已知，求这类和式的最值，高频题型。 2.方法：目标式乘，即，展开后得到可使用不等式的结构，核验取等条件。 例5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 变式5-1．设，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为9. 故选：B 变式5-2．已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 故答案为：. 变式5-3．已知，，，则的最小值是________. 【答案】4 【详解】所以， 当且仅当时取等号. 则的最小值是4. 题型六、双换元法求最值 题型模版 1.特征：分式结构，分母为不同整式，如，直接通分配凑运算繁琐，变量满足正数条件。 2.方法：令，用新元替换原式中的分母整式，化简式子，构造和或积的定值，再使用基本不等式求解。 例6．已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 变式6-1．已知，，，则的最小值为______. 【答案】/ 【详解】因为 ， 当且仅当，又，，，即时取等号. 故答案为： 变式6-2．已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 变式6-3．已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 题型七、构造不等式法求最值 题型模版 1.特征：已知等式同时含变量和式与乘积式，如，无直接定值结构，无法直接套用公式。 2.方法：利用基本不等式将和式替换为乘积形式，代入原式构造关于乘积的不等式，解不等式求出最值，验证取等条件。 例7．已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立， 又因为 ，所以 ， 整理可得 ，解得 或 （舍去）， 所以 ，所以 ，当且仅当时等号成立． 所以 的最小值为：9. 故选：A 变式7-1．已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 变式7-2．若正数满足，则的最小值是___________. 【答案】4 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是4. 故答案为：4. 变式7-3．已知实数，满足，则的最大值为__． 【答案】2 【详解】，， 因为，所以意到，当且仅当时取等号. ，化为， ，当且仅当时取等号，的最大值为2． 故答案为：2． 题型八、多次使用基本不等式求最值 题型模版 1.特征：多部分相加相乘，如，单次不等式不能完成求解。 2.方法：分步多次放缩，每一步满足一正二定三相等，所有步骤取等条件必须同时成立，否则最值取不到。 例8．已知，，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】由，， ， 当且仅当且，即，时取等号， 故答案为：. 【点晴】利用两次基本不等式解题时要注意两次同时取等号时才能用来求最值. 变式8-1．若，，，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为，，， 所以 . 当且仅当且即且时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 变式8-2．已知，且，则的最小值是_________. 【答案】4 【详解】由已知可得，， 当且仅当时，等号成立. 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，属于中档题. 变式8-3．已知，则的最小值为________，取最小值时的值为________. 【答案】 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时取等号. 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：； 【点睛】本题主要考查利用本不等式求最值，属于中档题. 题型九、多元均值不等式求最值 例9．函数的最小值为___________． 【答案】9 【详解】∵，∴， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为9． 故答案为：9． 变式9-1．已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 变式9-2．已知，为正实数，若，则的最小值为___________. 【答案】9 【详解】，当且仅当时等号成立.故的最小值为9. 故答案为： 变式9-3．已知正数满足,则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解:由题知, , 当且仅当时取等号, 所以． 故选:C． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【详解】两边同时除以，得到， ， 当且仅当，即，时等号成立. 2．已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．4 D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以所求最小值为． 故选：D 3．已知正数x，y满足，则代数式最小值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】由，得， 则，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当且时取等号， 由，解得，因此当时，取得最小值8， 故选：B 4．若均为大于1的实数，且，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：， 则， 当且仅当，即时取得等号. 故选：D 5．已知实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，显然，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 故选：C 6．正实数x，y满足，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 因为x，y是正数， 所以，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号， 因此， 因此当时，有最小值， 故答案为： 7．设，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为， 所以， 则， 当且仅当或时，取的最小值为. 故选：D. 8．已知，，则的最小值是___ 【答案】/ 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 9．已知，，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】因为，，， 所以 ，当且仅当即时取等号. 故答案为： 10．已知实数，满足，，则的最小值为______. 【答案】 【详解】由，，得. 由，得， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 11．已知实数，则的最小值是______. 【答案】 【详解】， 因为，所以， 设，可化为， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 12．已知，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 13．已知，且，则的最小值是_______ 【答案】/ 【详解】 . 当且仅当，即，，时取等号. 故答案为： 14．已知，，的最小值为______ 【答案】 【详解】 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用基本不等式求最值 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接法求最值 题型二、配凑法求最值 题型三、分式分离法求最值 题型四、消元法求最值 题型五、乘“1”法求最值 题型六、双换元法求最值 题型七、构造不等式法求最值 题型八、多次使用基本不等式求最值 题型九、多元均值不等式求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 基本不等式求最值是高一数学核心重难点，所有题型均围绕一正、二定、三相等三大核心展开，解题贯穿：一是，二是 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接法求最值 题型模版 1.特征：已知，式子已经满足和为定值或积为定值，无需变形，可直接套用公式。 2.方法：和定求积：；积定求和：，验证取等条件。 例1．已知，则的最小值为________． 变式1-1．当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 变式1-2．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 变式1-3．若正实数满足，则的最大值为__________． 题型二、配凑法求最值 题型模版 1.特征：，形如，各项为正，但和、积不是定值，需要拆项、添项配凑。 2.方法：对式子变形配凑，构造出“积为定值”结构，如，再用不等式，检验等号。 例2．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式2-1．已知，则的最大值为__________. 变式2-2．函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 变式2-3．求函数的最大值. 题型三、分式分离法求最值 题型模版 1.特征：，分式型函数，分子次数大于等于分母次数，无现成定值。 2.方法：多项式分离常数，化为，拆成整式加分式，凑积定值，再利用基本不等式求解。 例3．若，则的最大值是______． 变式3-1．函数的最小值是，则当时，a的值为________，当时，a的值为______ 变式3-2．，则的最小值是__，此时a＝__． 变式3-3．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型四、消元法求最值 题型模版 1.特征：含双变量，给出约束等式如，无法直接套基本不等式。 2.方法：由约束等式解出，代入目标式，化为单变量函数，再配凑得到的形式求最值。 例4．若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 变式4-1．已知为实数，且，则的最小值为________. 变式4-2．若正实数满足，则的最小值为______． 变式4-3．设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 题型五、乘“1”法求最值 题型模版 1.特征：，已知，求这类和式的最值，高频题型。 2.方法：目标式乘，即，展开后得到可使用不等式的结构，核验取等条件。 例5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式5-1．设，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 变式5-2．已知正实数满足，则的最小值为__________. 变式5-3．已知，，，则的最小值是________. 题型六、双换元法求最值 题型模版 1.特征：分式结构，分母为不同整式，如，直接通分配凑运算繁琐，变量满足正数条件。 2.方法：令，用新元替换原式中的分母整式，化简式子，构造和或积的定值，再使用基本不等式求解。 例6．已知，，则的最小值为__________． 变式6-1．已知，，，则的最小值为______. 变式6-2．已知正数x，y满足，则的最小值为______. 变式6-3．已知，，，则的最小值为________. 题型七、构造不等式法求最值 题型模版 1.特征：已知等式同时含变量和式与乘积式，如，无直接定值结构，无法直接套用公式。 2.方法：利用基本不等式将和式替换为乘积形式，代入原式构造关于乘积的不等式，解不等式求出最值，验证取等条件。 例7．已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．1 C．3 D． 变式7-1．已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式7-2．若正数满足，则的最小值是___________. 变式7-3．已知实数，满足，则的最大值为__． 题型八、多次使用基本不等式求最值 题型模版 1.特征：多部分相加相乘，如，单次不等式不能完成求解。 2.方法：分步多次放缩，每一步满足一正二定三相等，所有步骤取等条件必须同时成立，否则最值取不到。 例8．已知，，则的最小值为_______. 变式8-1．若，，，则的最小值为________. 变式8-2．已知，且，则的最小值是_________. 变式8-3．已知，则的最小值为________，取最小值时的值为________. 题型九、多元均值不等式求最值 例9．函数的最小值为___________． 变式9-1．已知，则的最小值为________． 变式9-2．已知，为正实数，若，则的最小值为___________. 变式9-3．已知正数满足,则的最大值是（    ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 2．已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．4 D． 3．已知正数x，y满足，则代数式最小值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．若均为大于1的实数，且，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D． 5．已知实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 6．正实数x，y满足，则的最小值是__________. 7．设，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知，，则的最小值是___ 9．已知，，，则的最小值为______． 10．已知实数，满足，，则的最小值为______. 11．已知实数，则的最小值是______. 12．已知，则的最小值为_______. 13．已知，且，则的最小值是_______ 14．已知，，的最小值为______ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $