第5章 直角三角形 单元测试 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 湘教版2024八年级上直角三角形单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖勾股定理、30°直角三角形性质等核心知识，融入赵爽弦图文化素材与实际应用情境，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12小题|30°直角三角形性质、角平分线性质、勾股定理|融入赵爽弦图（题10），考查文化传承与面积关系推理| |填空题|5小题|垂直平分线、等腰三角形、旋转变换|题17结合旋转探究CQ最小值，培养空间观念| |解答题|5小题|角平分线应用、实际问题、折叠变换|题20以小区喷泉管道为情境（应用意识），题22折叠探究多情况角关系（创新应用）|

湘教版（2024）八年级上 第5章 直角三角形 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AB的长为（　　） A．30 B．15 C．12 D．10 2．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，若CD=6，则DE的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB=BC=17，AD=8，则CD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形，则它的边长是（　　） A．2 B．3 C． D．4 5．如图两段公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2千米，则M、C两点间的距离为（　　）千米． A．2 B．1 C．0.5 D． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则AB的值是（　　） A．10 B． C． D．4.8 7．如图，△ABC的每个顶点都在边长为1的正方形的格点上，则∠B的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，CE=CB，若BD=1.5，则CE的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．6 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AD=3cm,DE=1cm,则AC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 11．（2026秋•铁西区月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D在BC延长线上且CD=AC，DF平分∠ADB，分别交AC、AB于点E、F．若CE=1，则线段AB的长为（　　） A．4 B． C． D． 12．如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF+∠EDC-∠ADB=90°．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题（共5小题） 13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，作AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若DE=2，则BC的长度是 ______． 14．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=，则AC的长为 ______． 15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC延长线上一点，CE⊥AC，垂足为C，且CE=AC，连接BE，若BC=16，则△BCE的面积为______． 16．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，∠BAC=60°，D为AC的中点，E为AB上一点，连接BD，CE交于点F，若AE=2，则线段BF的长度为______． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，点P是边BC上的一个动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠BDC的度数； （2）若DE=2，BC=9，求△BCD的面积． 19．如图，在△ABC中，∠B=30°，AD是BC边上的中线，且，AE⊥BC于点E． （1）求∠CAB的度数； （2）若CE=2，求BE的长． 20．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉间的距离AB的长为25m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为12m,BM的长为15m. （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； （2）请求出喷泉B到小路AC的最短距离． 21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F． （1）求证：AE=DE； （2）如果AE=4，BD=3，求EF的长． 22．在数学社团的手工课上，老师给每位同学发了一张直角三角形纸片ABC，其中∠C=90°．小明想通过折叠，在纸片上折出一个对称的图形．他先在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，然后将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，如图所示． （1）如图1，若小明测得∠CEF=26°，则∠AED= ______°； （2）如图2，DF交AC于点O，∠BDF的平分线交线段BC于点G，若BC∥DF，求证：∠ADG=∠DEF． （3）已知∠B=α且α＞45°，∠BDF的平分线交射线BC于点G，当△FDE的一条边与BC平行时，直接写出∠BDG的度数（用含α的代数式表示）． 湘教版（2024）八年级上 第5章 直角三角形 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、C 2、D 3、A 4、C 5、B 6、A 7、B 8、B 9、A 10、A 11、C 12、D  二．填空题（共5小题） 13、12； 14、2； 15、64； 16、； 17、2；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°， ∴， ∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°， ∴， ∴∠BDC=180°-20°-35°=125°． （2）BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE=2， ∴DF=DE=2． ∵BC=9， ∴． 19、解：（1）∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∵AD=BC， ∴AD=BD=CD， ∵∠B=30°， ∴∠B=∠BAD=30°，∠DAC=∠C， ∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°， ∴∠DAC=∠C=×（180°-∠ADC）=60°， ∴∠CAB=∠BAD+∠DAC=30°+60°=90°． （2）∵AE⊥BC， ∴∠AEC=∠AEB=90°， 由（1）得：∠CAB=90°，且∠B=30°， ∴∠BAE=60°， ∴∠EAC=30°， ∵CE=2， ∴AC=2CE=4， ∴BC=2AC=8， ∴BE=BC-CE=6． 20、解：（1）由题意可得，MN⊥AB，AB=25m,MN=12m,BM=15m, 在Rt△BMN中，∠BNM=90°， ∴， ∴AN=AB-BN=25-9=16（m）， 在Rt△AMN，∠ANM=90°， ∴， ∴AM+BM=20+15=35（m）， 即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为35m； （2）在△ABM中，AB=25m,AM=20m,BM=15m, ∵BM2+AM2=152+202=625=252=AB2， ∴△ABM是直角三角形，∠AMB=90°， ∴BM⊥AC， ∴喷泉B到小路AC的最短距离为BM=15m. 21、（1）证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴∠CAD=∠BAD， ∵DE∥AC， ∴∠ADE=∠CAD， ∴∠DAB=∠ADE， ∴AE=DE； （2）解：∵DE∥AC，∠C=90°， ∴∠EDB=∠C=90°， ∵AE=4， ∴DE=AE=4， ∵BD=3， ∴BE==5， ∵DF⊥AB， ∴S△BDE==DE•BD， ∴DF===， ∴EF==． 22、（1）解：由折叠可得，∠DEF=∠DEA， 设∠DEC=x,则∠DEF=∠DEA=∠CEF+∠DEC=26°+x ∵∠DEA+∠DEC=180°， ∴26°+x+x=180°， 解得x=77°， ∴∠AED=77°+26°=103°； 故答案为：103°； （2）证明：如图， 由折叠可得，∠1=∠2，∠DEF=∠DEA， ∵DG平分∠BDF， ∴∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=∠EDG=90°， ∴∠ADG=∠1+∠2+∠3=90°+∠1， ∵∠C=90°，BC∥DF， ∴∠AOD=∠C=90°， ∵∠DEA=∠2+∠AOD=90°+∠2， ∴∠DEF=90°+∠2， ∴∠ADG=∠DEF； （3）解：同（2）可得，∠EDG=90°， 当EF∥BC时，∠FEC=∠ACB=90°， ∴∠AEF=90°， 由折叠可得，∠DEF=∠DEA， ∵∠DEF+∠DEA+∠AEF=360°， ∴∠DEA=∠DEF=135°， ∵∠ACB=90°，∠B=α， ∴∠A=180°-∠B-∠ACB=90°-α， ∴∠ADE=180°-∠A-∠DEA=180°-（90°-α）-135°=α-45°， ∴∠BDG=180°-∠ADE-∠EDG=180°-（α-45°）-90°=135°-α； 当DF∥BC时，则∠ADF=∠B=α， ∴由折叠可得，， ∵∠EDG=90°， ∴； 当DE∥BC时，则∠ADE=∠B=α， ∴∠BDG=180°-∠ADE-∠EDG=90°-α， 综上：∠BDG的度数为135°-α或或90°-α． 学科网（北京）股份有限公司 $