第5章 直角三角形 单元测试2025-2026学年湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）八年级上册 第5章 直角三角形 单元测试 一、选择题 1.已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，则它的斜边的长为（    ） A.4 B. C. D.20 2.如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A.6 B.9 C.12 D.18 3.如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（   ） A.10 B.15 C.20 D.30 4.如图，四边形、四边形和四边形均为正方形，点，，，，都在同一直线上，若正方形和正方形的面积分别为和，则正方形的面积为（    ） A.4 B.5 C.6 D.11 5.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（    ）． A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形的稳定性 C.勾股定理 D.勾股定理的逆定理 6.如图，在△中，，，，则的长为（　　） A.1.5 B.3 C.6 D.9 7.下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（    ） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 8.如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 9.如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了如图所示的“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（       ）． A.169 B.25 C.49 D.64 10.如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A.，， B.，， C.，， D.，， 11.勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A. B. C. D. 12.已知长方体的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（   ） A. B. C. D. 二、填空题 13.把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：∵（已知）， 又∵（          ）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴（             ）， ∵（已知）， ∴（            ）， ∴（等量代换）， ∴       （有两个角互余的三角形是直角三角形）， ∴（垂直的定义）. 14.已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若，，，则      ； （2）若，，则      ； （3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是      ． 15.如图，平分，于点A，点是射线上的一个动点，若，，则长的最小值为         ． 16.“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，标志着中国古代的数学成就．如图是弦图的示意图，四个直角三角形的直角边长均为，斜边长为．若比长2，每个直角三角形的面积为15，则斜边的长为      ． 17.如图，中，，，P为三角形内一点．，则的度数是      ． 三、解答题 18.已知：如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线分别与,交于点,； (2)若，求的长． 19.如图，在△中，，，，是的平分线，求的长． 20.如图，D为的中点，连接，平分．求证：． 21.如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点D，主梁上有两根拉索分别为．    (1)若拉索的长度分别为10米、26米，则拉索______米，主梁______米； (2)若的长分别为13米、20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度． 22.如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．    (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 湘教版（2024）八年级上册 第5章 直角三角形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和4，则它的斜边的长为（    ） A.4 B. C. D.20 【答案】C 【解析】根据勾股定理进行计算，即可求得结果． 直角三角形的两条直角边的长分别为2和4， 则斜边长， 故选：C． 2.如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A.6 B.9 C.12 D.18 【答案】B 【解析】本题考查了角平分线的性质．作，由题意可知平分，故可得，即可求解的面积． 作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴ ∴， 故选：B 3.如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（   ） A.10 B.15 C.20 D.30 【答案】D 【解析】根据直角三角形斜边上的中线先求出斜边长，再利用三角形的面积进行计算即可解答． ∵直角三角形斜边上的中线是6， ∴斜边长为2×6= 12， ∵直角三角形斜边上的高是5， ∴直角三角形的面积为×12×5=30， 故选：D． 4.如图，四边形、四边形和四边形均为正方形，点，，，，都在同一直线上，若正方形和正方形的面积分别为和，则正方形的面积为（    ） A.4 B.5 C.6 D.11 【答案】B 【解析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可． ∵四边形、四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴()， ∴，， ∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴， ∴正方形的面积. 故选：B． 5.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（    ）． A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形的稳定性 C.勾股定理 D.勾股定理的逆定理 【答案】D 【解析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 设相邻两个结点的距离为1m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m， ∵32+42=52， ∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 6.如图，在△中，，，，则的长为（　　） A.1.5 B.3 C.6 D.9 【答案】C 【解析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可求解． 在△中，，，， ∴． 故选：C 7.下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（    ） A.2，4，6 B.4，6，8 C.6，8，10 D.8，10，12 【答案】C 【解析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． A．22+42≠62，不能构成三角形； B．，不能构成直角三角形； C．，能构成直角三角形； D．，不能构成直角三角形； 故选C． 8.如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【解析】根据题意可得＝，代入求解即可． 如图所示， ∵大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2， ∴由题意可得， ＝ 故选：B． 9.如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了如图所示的“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（       ）． A.169 B.25 C.49 D.64 【答案】C 【解析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 在中，先根据勾股定理求出的长，然后用大正方形的面积减去4个小三角形的面积即可求出阴影部分的面积． ，，， ， 则阴影部分的面积是， 故选：C． 10.如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】C 【解析】本题考查了直角三角形，三角函数，勾股定理的逆定理．直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案． A、，，，构成的是等边三角形，三角形三个内角都为，故不符合题意； B、，构成的是等腰直角三角形，三个内角的度数分别为、、，故不符合题意； C、解直角三角形可知该三角形是三个角分别、、的直角三角形，其中，符合“和谐三角形”的定义，故选项正确； D、，，，构成的是直角三角形，根据三角函数值可知不符合“和谐三角形”，故该选项错误； 故选：C． 11.勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定、表示出图形面积的不同表达形式、建立等量关系是解题的关键．通过用两种方法计算梯形的面积即可证明勾股定理． 长方形旋转得出长方形， ， ，，，， ， ， 是等腰直角三角形， 由题意知，， ， ， ， 故选：C． 12.已知长方体的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出长即可得到答案． 如图1所示将长方体展开，则； 如图2所示将长方体展开，则； 如图3所示将长方体展开，则； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为， 故选：C． 二、填空题 13.把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：∵（已知）， 又∵（          ）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴（             ）， ∵（已知）， ∴（            ）， ∴（等量代换）， ∴       （有两个角互余的三角形是直角三角形）， ∴（垂直的定义）. 【答案】对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【解析】根据对顶角性质、角平分线性质和直角三角形定义可推出∠ADC． 证明：∵（已知）， 又∵（ 对顶角相等 ）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴（ 角平分线定义 ）， ∵（已知）， ∴（ 直角三角形两个锐角互余 ）， ∴（等量代换）， ∴ADC （有两个角互余的三角形是直角三角形）， ∴（垂直的定义）. 故答案为：对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC. 14.已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若，，，则      ； （2）若，，则      ； （3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是      ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）根据题意和勾股定理即可求出． （2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到的值． （3）由（2）得求解过程可以得到，进行替换即可． （1）AC⊥BD, ， ， ． 故答案为． （2）由（1）得： ，，，，， ，， ． 故答案为． （3）由（2）得： ， ． 故答案为． 15.如图，平分，于点A，点是射线上的一个动点，若，，则长的最小值为         ． 【答案】2 【解析】根据题意点Q是射线上的一个动点，要求的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作垂直，此时的最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，利用已知的的值即可求出的最小值． 过点P作，垂足为Q，则为最短距离， ∵平分，，， ∴， 故答案为：2． 16.“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，标志着中国古代的数学成就．如图是弦图的示意图，四个直角三角形的直角边长均为，斜边长为．若比长2，每个直角三角形的面积为15，则斜边的长为      ． 【答案】8 【解析】本题考查勾股定理的应用．由直角三角形的面积可求出，再把两边平方得，再结合勾股定理可知，从而可求出结论． ∵每个直角三角形的面积为15， ∴， ∴， 由题意得， ∴， 整理得，， 又， ∴， 解得，或（负值舍去）， 故答案为：8． 17.如图，中，，，P为三角形内一点．，则的度数是      ． 【答案】或度 【解析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点A顺时针旋转，点P的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答． ∵，， 故把三角形绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示： 由旋转性质得， 则， ∴， ∵， ∴， 故， 即， 故答案为：． 三、解答题 18.已知：如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线分别与,交于点,； (2)若，求的长． 【答案】解：（1）如图，直线即为所求. （2）连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，，， ∴． ∴． 19.如图，在△中，，，，是的平分线，求的长． 【答案】解：，， ． 是的平分线， ． ，． ． ． 的长为． 20.如图，D为的中点，连接，平分．求证：． 【答案】证明：作，，E，F为垂足， ∵平分，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴． 21.如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点D，主梁上有两根拉索分别为．    (1)若拉索的长度分别为10米、26米，则拉索______米，主梁______米； (2)若的长分别为13米、20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度． 【答案】解：（1）∵的长度分别为10米、26米， ∴（米）， ∵， ∴，解得：（米）． （2）设米，则米， ∵主梁垂直于桥面于点， ∴， ∴根据勾股定理可得：，， ∴，解得：. ∵， ∴． 答：主梁的高度为12米． 22.如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．    (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】解：（1）海港C受台风影响．理由如下： ， ， 是直角三角形， 过点C作于D， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心及以内为受影响区， 海港C受台风影响． （2）当时，正好影响C港口， ， ， 台风中心移动的速度为25千米/小时， （小时）． 学科网（北京）股份有限公司 $