第5章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·提升卷）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，适配高中数学单元复习，助力数学抽象、逻辑推理与数学建模素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数定义（1题）、奇偶性（3题）、单调性（4题）|结合图像辨析解析式（5题），体现数学眼光| |多选|3/18|函数概念辨析（9题）、奇偶性应用（10题）|设置多错点辨析，强化逻辑推理| |填空|3/15|分段函数求值（12题）、单调性参数范围（13题）|融入抽象函数性质，提升数学抽象能力| |解答|5/77|函数最值（15题）、新定义“不动点”（19题）|设计分层探究（17题图像与解析法），培养数学建模与创新意识|

第5章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，，下列对应关系不能作为从集合到集合的函数的是（    ） A．： B．： C．： D．： 2．“函数的定义域为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 4．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若函数y=f（x）的大致图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　） A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）= D．f（x）= 6．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列命题中，不正确的有（    ） A．函数与函数表示同一函数 B．已知函数，若，则 C．若函数，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 10．已知函数，下列说法正确的是（  ） A． B．为偶函数 C．当时， D．若，则 11．定义若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知函数，满足的的值为________. 13．若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 14．已知函数是定义在上的单调函数，且对，都有.若，则___________；若关于的方程有两不等实根，则的取值范围是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明 16．（15分）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值 17．（15分）已知函数，. (1)，用表示，中的最小者，记作，当时，分别用图象法和解析法表示函数，并写出的单调递增区间； (2)设，，求的最小值 18．（17分）设，已知，． （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设对任意的，及任意的，存在实数满足，求的范围 19．（17分）对于定义在实数集上的函数，若存在满足，则称为的一阶不动点；若满足，则称为的二阶不动点．记的一阶不动点集合为，二阶不动点集合为．已知． (1)当时，求集合与； (2)若，求实数的取值范围； (3)证明：对任意，不存在定义在上的函数，使得，对任意恒成立 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，，下列对应关系不能作为从集合到集合的函数的是（    ） A．： B．： C．： D．： 【答案】A 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，；当时，；当时，，， 所以：不能作为从集合到集合的函数， 对于B，当时，；当时，；当时，， 所以：能作为从集合到集合的函数， 对于C，当时，；当时，；当时，， 所以：能作为从集合到集合的函数， 对于D，当时，；当时，；当时，， 所以：能作为从集合到集合的函数. 故选：A. 2．“函数的定义域为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由函数的定义域为可得，再根据充分必要条件的定义判断可得. 【详解】因为函数​的定义域为，所以对任意实数x恒成立， 对于二次函数，其开口向上，要恒成立， 则， 解得. 若“函数定义域为”成立，即，必然满足，因此充分性成立； 若成立，比如取，不满足，对应存在小于的取值， 所以函数定义域不为，因此必要性不成立. 综上所述，“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质由先求出，再求出. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，，所以. 因为当时，，所以，解得：. 所以当时，. 由，令，可得：，所以； . 所以. 故选：A 4．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数是定义在上的减函数，除了两段函数均为单调递减，还要考虑点要在点上方或两点重合. 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 5．若函数y=f（x）的大致图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　） A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）= D．f（x）= 【答案】C 【详解】解析:由图可知，当x∈（0，1）时，f（x）<0， 取x=，则对于B，f（）==1>0，所以排除B; 对于D，f（）==>0，所以排除D; 当x>0时，对于A，f（x）==1+，此函数是由y=向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以x>1时，f（x）>1恒成立，而题图中，当x>1时，f（x）可以小于1，所以排除A.故选C. 6．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 7．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 8．定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对不等式分类讨论，即，分别求出，然后由解不等式即可. 【详解】①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，，其图象如图所示： 结合图象，由可得， 当时，可得，解得； 当时，，不满足题意； 当时，可得，解得； 综上可知实数的取值范围是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列命题中，不正确的有（    ） A．函数与函数表示同一函数 B．已知函数，若，则 C．若函数，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】对于，两函数的定义域不同，故不是同一函数即可判断；对于，根据，可以求出的值；对于，令，求出代入即可判断；对于，函数的定义域为，则即可判断. 【详解】对于，函数的定义域是，函数定义域是，故不是同一函数，故错误； 对于，根据，可以得，可求出，，求出，故正确； 对于，令，则，所以，即，故错误； 对于，函数的定义域为，则，可得，故错误. 故选：ACD 10．已知函数，下列说法正确的是（  ） A． B．为偶函数 C．当时， D．若，则 【答案】BC 【分析】结合分段函数的解析式可判断AD选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用作差法可判断C选项. 【详解】因为， 对于A选项，，A错； 对于B选项，当时，，则， 当时，，则， 所以，对任意的，，故函数为偶函数，B对； 对于C选项，当时，， 所以，故，C对； 对于D选项，若，则，此时，D错. 故选：BC. 11．定义若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】通过分段定义明确的解析式，验证选项A的函数值；求选项B的函数解析式；结合函数图象判断C、D的正误. 【详解】，其中， ， 当 时，，若，由 ， 解得 ，与的交点坐标为 . 其中时，时， 当 时，，若，由 , 解得，与的交点坐标为 . 其中时，时， 所以，函数图象如图所示， 选项A： ，A选项正确； 选项B： 由， 则， 选项B正确. 选项C：结合函数图象可知，直线与图象有3个交点， 则或，因此C错误. 选项D：要让在上的值域为，需要覆盖到函数值和，同时不能出现大于0的部分， 函数值为的唯一位置是； 由，函数值为的最左点是，最右点是， 要使值域为，区间需包含最小值点，最大区间为， 长度为，因此D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知函数，满足的的值为________. 【答案】或 【分析】根据题意，由分段函数解析式可得，则，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数， 当时，， 当时，， 若，必有，则，解得， 若，必有，则，解得或. 故答案为：或 13．若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】分别求出二次函数、分式函数在区间上单调递减的的取值范围，取交集即可得到结果. 【详解】由题意，函数的图象对应的抛物线开口向下，对称轴为直线， 故在上单调递减， 若在区间上单调递减，则，解得； 若函数在区间上单调递减， 则，且或，即或. 综上，实数的取值范围是. 14．已知函数是定义在上的单调函数，且对，都有.若，则___________；若关于的方程有两不等实根，则的取值范围是___________. 【答案】 ； . 【分析】根据的单调性可令为常数，再结合已知条件，求得以及，即可结合已知条件，求得；画出的图象，数形结合，即可求得参数的范围. 【详解】根据题意，为常数，不妨令其为，故，且，则，解得，故； 若，即，解得； 若，即，由题可知，与的图象有两个不同的交点， 在同一直角坐标系下，两个函数图象如下所示： 数形结合可知，，当时满足题意，故的取值范围是：. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)4 (2) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明如下： ，，且， 有. 由，，得，，所以， 又由，得，所以. 若，则，所以， 即，所以在上单调递增； 若，当，时，，所以， 即，所以在上单调递减； 当，时，，即， 即，所以在上单调递增. 故当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）由基本不等式，求出函数最小值； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此的最小值为4. （2）略 16．（15分）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 17．（15分）已知函数，. (1)，用表示，中的最小者，记作，当时，分别用图象法和解析法表示函数，并写出的单调递增区间； (2)设，，求的最小值. 【答案】(1) 解析法表示，，单调递增区间为和； (2) 【分析】（1）时，，先求出两函数的交点坐标，从而得到函数图象，并根据图象写出解析式； （2）得到，，根据对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性得到最小值，得到答案. 【详解】（1）时，， 当时，，解得，负值舍去， 当时，，解得或（舍去）， 画出的图象，如图所示， 解析法表示，， 由图象可得，单调递增区间为和； （2），， 当，即时，此时最小值为， 当，即时，此时最小值为， 当，即时，此时最小值为， 综上所述： 18．（17分）设，已知，． （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设对任意的，及任意的，存在实数满足，求的范围． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据，即可求得的值； （2）当时，令，利用放缩法求得函数，即可证得； （3）先求的值域，得到，再根据，当时，求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数时奇函数，可得，可得， 当时，函数，可得, 所以为奇函数，满足题意，所以． （2）当时，令， 则 ， 所以． （3）先求的值域， 由，可得，得到， 即，解得． 所以． 又由任意的，当时，可得， 所以，所以， 即． 19．（17分）对于定义在实数集上的函数，若存在满足，则称为的一阶不动点；若满足，则称为的二阶不动点．记的一阶不动点集合为，二阶不动点集合为．已知． (1)当时，求集合与； (2)若，求实数的取值范围； (3)证明：对任意，不存在定义在上的函数，使得，对任意恒成立． 【答案】(1)， (2) (3)令， 题设等价于． 解法一：因为，方程的判别式为， 故该方程有两个不同的实根，记为，，由韦达定理可得． 又由于，所以． 因此，．① 即将，互相交换． 设，， 由及①，得，．② 再对，使用题设关系：，． 所以，也是被互相交换的一对实数． 下面说明只有这一对互换的实数． 若，且，则． 而． 若，则，这是一阶不动点，不可能属于由两个不同实数组成的互换对． 因此互换点必须满足． 该方程的两个实根恰为，．于是．③ 由③，把集合映到自身，并且，分别为其中两个不同的元素． 因此只有两种可能：或， 无论哪一种，都有． 但由题设和①，可知． 由于，矛盾． 故对任意，不存在满足条件的函数． 解法二：仍令，并假设存在满足． 由， 可知．④ 当时，方程有两个不同实根，，且，． 设， 由④，若，则，从而， 故也是的二阶不动点． 另一方面，若是的一阶不动点，则． 由④得，而时，，再结合可推出矛盾． 因此不能落在的一阶不动点中，只能仍落在中，于是． 由于，，可知在上既不能为恒等映射，也不能为交换映射， 但只有两个元素，映到自身的双射只有这两种，矛盾． 因此，对任意，不存在满足条件的函数. 【分析】（1）根据一阶、二阶不动点定义列出对应方程，因式分解求解方程，即可得到两个不动点集合； （2）对二阶不动点方程因式分解，要使两个集合相等，要求新增方程不产生不属于一阶不动点的实根，分类判别即可求得参数的取值范围； （3）解法一：找出函数互相交换的一对实根，假设存在函数，推导映射关系，导出矛盾，完成反证； 解法二：利用复合可交换性质，分析二元集合上映射仅有两种可能，两种均与题设冲突，反证得到结论. 【详解】（1）当时，， 一阶不动点满足，即，解得：或，故． 二阶不动点满足，即， 因式分解得，解得：或或， 因此． （2）一阶不动点满足， 由，有，所以． 又， 因此． 要使，方程不能产生新的实根． 若该方程无实根，则，即， 结合，得； 若该方程有实根且其根均属于， 设为两个方程，的公共实根， 两式相减得，所以，代入任一方程得， 此时，只有实根，且为方程的根，故符合条件． 综上，． （3）略 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念与性质（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A A C A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．或 13． 14．； . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此的最小值为4. (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明如下： ，，且， 有. 由，，得，，所以， 又由，得，所以. 若，则，所以， 即，所以在上单调递增； 若，当，时，，所以， 即，所以在上单调递减； 当，时，，即， 即，所以在上单调递增. 故当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 16．（15分） 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 17．（15分） 【详解】（1）时，， 当时，，解得，负值舍去， 当时，，解得或（舍去）， 画出的图象，如图所示， 解析法表示，， 由图象可得，单调递增区间为和； （2），， 当，即时，此时最小值为， 当，即时，此时最小值为， 当，即时，此时最小值为， 综上所述： 18．（17分） 【详解】（1）由题意，函数时奇函数，可得，可得， 当时，函数，可得, 所以为奇函数，满足题意，所以． （2）当时，令， 则 ， 所以． （3）先求的值域， 由，可得，得到， 即，解得． 所以． 又由任意的，当时，可得， 所以，所以， 即． 19．（17分） 【详解】（1）当时，， 一阶不动点满足，即，解得：或，故． 二阶不动点满足，即， 因式分解得，解得：或或， 因此． （2）一阶不动点满足， 由，有，所以． 又， 因此． 要使，方程不能产生新的实根． 若该方程无实根，则，即， 结合，得； 若该方程有实根且其根均属于， 设为两个方程，的公共实根， 两式相减得，所以，代入任一方程得， 此时，只有实根，且为方程的根，故符合条件． 综上，． (3)令， 题设等价于． 解法一：因为，方程的判别式为， 故该方程有两个不同的实根，记为，，由韦达定理可得． 又由于，所以． 因此，．① 即将，互相交换． 设，， 由及①，得，．② 再对，使用题设关系：，． 所以，也是被互相交换的一对实数． 下面说明只有这一对互换的实数． 若，且，则． 而． 若，则，这是一阶不动点，不可能属于由两个不同实数组成的互换对． 因此互换点必须满足． 该方程的两个实根恰为，．于是．③ 由③，把集合映到自身，并且，分别为其中两个不同的元素． 因此只有两种可能：或， 无论哪一种，都有． 但由题设和①，可知． 由于，矛盾． 故对任意，不存在满足条件的函数． 解法二：仍令，并假设存在满足． 由， 可知．④ 当时，方程有两个不同实根，，且，． 设， 由④，若，则，从而， 故也是的二阶不动点． 另一方面，若是的一阶不动点，则． 由④得，而时，，再结合可推出矛盾． 因此不能落在的一阶不动点中，只能仍落在中，于是． 由于，，可知在上既不能为恒等映射，也不能为交换映射， 但只有两个元素，映到自身的双射只有这两种，矛盾． 因此，对任意，不存在满足条件的函数. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $