高中数学单元测试——第5章函数概念与性质（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第5章函数概念与性质较难版单元卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的分层设计，结合科技情境与新定义问题，全面考查函数核心素养，适配单元复习强化。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域、同一函数、奇偶性与单调性|基础概念辨析，如第3题考查函数同一性| |多选|3/18|函数图像、奇函数性质、新定义“P界函数”|第11题结合新定义考查函数性质，体现创新| |填空|3/15|分段函数求值、单调性参数范围|第14题考查存在性问题，强化逻辑推理| |解答|5/77|奇偶性求解析式、分段函数图像、机器人利润模型、“不动点”新定义|第17题以机器人生产为情境，第19题引入“不动点”，突出应用意识与创新思维|

高中数学单元测试 —— 第5章 函数概念与性质（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据函数的表达式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设一次函数，代入已知式，由恒等式知识求解． 【详解】设一次函数，则，由得，即，解得，. 故选：A． 5．（本题5分）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到为奇函数，图像关于原点对称，且时，可得，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 6．（本题5分）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，令，再结合对勾函数的性质，即可得解. 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 7．（本题5分）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为偶函数，可得函数在上的单调性，再结合函数的单调性解不等式. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 则函数在上单调递减，且 又， 所以， 解得或， 即. 8．（本题5分）定义在上的偶函数满足：对任意有则当时，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，对任意有， 则对任意有 所以在上递减，由于是偶函数，所以在上递增， 则，因为， 所以，即. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列图象中可以作为函数图象的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】ACD 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】根据函数的定义，对于B中存在一个的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象， ACD符合函数定义． 故选：ACD. 10．（本题6分）函数是定义在上的奇函数，下列说法中正确的是（   ） A． B．若在上为增函数，则在上为减函数 C．若在上有最小值，则在上有最大值1 D．，使 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 对于B：因为是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 则在上为增函数，故B错误； 对于C：因为是定义在上的奇函数，则的图象关于原点对称， 又在上有最小值，所以在上有最大值，故C正确； 对于D：因为是定义在上的奇函数，则，都有，故D错误. 故选：AC 11．（本题6分）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（   ） A． B．的最小值为 C．在上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据题意得出的解析式，即可判断ABC；求得的解析式，作出函数的图象，由图象判断D． 【详解】根据题意，由，解得， ，所以，故A正确； 当时，， 且在上单调递增，在上单调递减， ，所以， 即的值域为，故B正确，C错误； 因为，则的图象如图所示， 由图可知的图象关轴对称，所以函数为偶函数，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）若函数，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据解析式，代入得，即可求解. 【详解】由，得，解得， 故答案为：. 13．（本题5分）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 四、解答题 15．（本题13分）已知定义在R上的偶函数，当,时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)在,上的最大值是，最小值是． 【分析】（1）根据题意，设，则，分析可得的解析式，结合函数为偶函数，分析可得答案； （2）由（1）的结论可得函数的解析式，分析其在,的单调性，进而分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，设，则，则， 又由为偶函数，则 （2）由（1）的结论：， 在,上单调递增，在,上单调递减， 则；， 函数在,上的最大值是，最小值是． 16．（本题15分）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)5 (2) (3)减区间为，增区间为；值域为 【分析】（1）先求，再求可得答案； （2）分段作出图象即可； （3）根据图象写出单调区间，根据单调性求出值域． 【详解】（1）因为，所以， 所以． （2）草图如下： （3）由图可知，减区间为，增区间为； 当时，；当时，为减函数， 所以； 当时，为增函数， 所以； 所以的值域为． 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18．（本题17分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若成立的一个充分不必要条件是，求的最大值. 【答案】(1)， (2) 在区间上单调递增. 证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，，， 故， 所以. 所以在区间上单调递增. (3). 【分析】（1）由题可得：，，代入函数计算即可； （2）利用单调性的定义即可证明； （3）结合奇偶性和单调性可将转化为，求出的范围，根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， 所以， 又，所以，解得， 所以，经检验满足题意. （2）略 （3）等价于， 因为是定义在上的奇函数，所以原不等式转化为. 因为，所以， 当时，,原不等式为,即，不成立， 当时，， 又因为在区间上单调递增， 所以原不等式等价于，即，解得或， 又因为，所以或. 由，得. 又因为，所以. 因为成立的一个充分不必要条件是， 所以或， 所以，解得， 所以的最大值为. 19．（本题17分）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可； （2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可； （ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可. 【详解】（1）， 则不动点满足，即， 整理得， 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，无解， 所以的不动点为. （2）（i）， 当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当，即时，，解得或， 时，，在上只有一个零点1， 时，，在上只有一个零点1， 所以的取值范围为. （ii）令，整理得， 则 ，解得， ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：一元二次方程根的分布问题： （1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素； （2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $可学科网·轻测 www.zxxk.com 高中数学单元测试一一 第5章函数概念与性质 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.（本题5分)已知岳，则2=) 1 A.-2 C.2 D 2.(本题5分)函数 (x)24 x-5的定义域为() A.0,+∞) B.D,5U(6+o）c(←，5) D 3.(本题5分)下列各组函数不是同一个函数的是() A.f)=F与8)=F B.f()=与g(x)=F 0f=2x与86创-3 D.f(x)=x-2ax-18(a)=x-2@x-l 4.(本题5分)已知f()是一次函数，且fG-)=3x-5,则f:)=( A.3x-2 B.2x+3 C.3x+2 D 4x 5.(本题5分)函数f四=x+1的图像大致为（） 试卷第1页，共3页 1/6 让教与学更高效 (较难版02) 4 (5,+oo）) 2x-3 x y= 6东腿5)致1+x在区同2上的值做为《 n. 7.(本题5分)已知儿因是定义在R上的偶函数，且)在[0四)上单调递增 f2)=3.则不等式)>3的解集为《) A.（-0,-2U(2,+o) B.(2,2) c.2,+w）D (-0,-2]U[2,+0) 8。(本题5分)定义在R上的偶函数f满是：对任意5(0,0：≠小有 (G-x)[f)厂f(]小>0则当neN时，有(） A.f(-n)<f(n-l)<f(n+) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 二、多选题 9.(本题6分)下列图象中可以作为函数图象的是() 试卷第2页，共3页 画学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 VA 10,(本题6分)函数/()是完义在R上的奇函数，下列说法中正确的是() A.f(0)=0 B.若在L四)上为增函数，则因)在0，上为减函数 c.若f因在0+w)上有最小值1，则（在仁，0上有最大值1 D.3reR,使f()-f() 山，（本腿6分》设函数儿闪的定义减为R,对于任意给定的正数P,定义函数 f(x),f(x)≤p, f() p,f(x)>p,则你f(x)为f(x)的“P界函数”.若函数f(x)=x2+2x,则 () A.5(2)=3 B.的最小值为1 c.(x)在山上单调递减 D.-)为偶函数 三、填空题 试卷第3页，共3页 3/6 12.(本腰5分)若两数)2x+1,且2m-1)=7,则m 1-a)x,x≤2， f(x)= 13.(本题5分)已知函数 -x2+ax+a,x>2在R上单调递减，则a的取值范围是- 14.(本题5分)已知函数 (x)=x2+5x+8g(x)=mx+3-5m 若对任意的e4,2] 总存在，使儿）8()成立，则实数m的取值范国是 四、解答题 ,当e,0时，f)=+4-1 f(x) 15.(本题13分)已知定义在R上的偶函数 (1)求函数f(x)在(0，+)上的解析式： 2求西数在2]上的最大值和最小值。 x2+1,0≤x≤2 16.(本题15分)已知函数四)-1-x-2≤x<0 3,x<-2 -5-4-3-2-10 12x a求[-1的值： ②四在华标系中同出（四的草图， 试卷第4页，共3页 命学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)写出函数 f(x) 的单调区间和值域 17.(本题15分)某厂家开发了一种新型机器人.根据开发及生产费用，该款机器人以每 台700元的价格投入市场.设该款机器人的产量为×（单位：千台），若*G(0,30) ,则 需投入生产费用 10r+300x+40）万元：若xc[B0,+w） 则需投入生产费用 701x+1600 5000 万元.假设销量等于产量。 (I)求售出该款机器人所获利润'（单位：万元）关于x的函数关系式.（利润=售价-生产 费用) (2)当x为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18,(本题17分)已知函数f(:)=+ x2+1是定义在R上的奇函数，且f(-1)=1· (1)求a,b的值： (②别断（四在区间化+w)上的单调性，并用定义证明， 吧知1>子，若(2-4+代+>0成立的一个充分不必要张件是21-m1,求m 的最大值 19.(本题17分)对于定义在R上的函数四，若∈R,使得(G)成立，则称 。为函数 的不动点. @考f)=-+1,求”=的不动点 ,求 (2)对于二次函数/)=2r-(2+a)x+a-】 (i)当0<x<2时，函数8(x)=f(x)+2有唯一的不动点，求实数a的取值范围： 试卷第5页，共3页 5/6 点+2x++2x (i)若函数f(x)有两个不相等的不动点，戈，且x,>0,求”为 的最小 值 试卷第6页，共3页