26.1二次函数的概念课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过回顾函数定义及正比例、一次函数旧知导入，衔接前后知识，为理解二次函数概念搭建学习支架，引导学生从实例中抽象数量关系。 其亮点在于以矩形面积、球队比赛等实际问题为载体，通过观察归纳式子共同点，培养抽象能力和模型意识，结合例题精讲与分层练习强化判断方法，小结清晰梳理定义要点，助力学生提升数学思维，方便教师高效教学。

九 年级 数学 学科学案（附页1） 九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容：26.1 二次函数的概念 课型：新授课 教学随笔 课标要求： 1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2. 能根据实际问题列出二次函数解析式，会判断二次函数。 学科素养： 1. 抽象能力：经历观察式子、归纳概念的过程。 2. 模型观念：从实际问题中建立二次函数模型。 3. 应用意识：体会数学与生活的密切联系。 课后反思： 学习目标： 1. 理解二次函数的概念，会辨别二次函数，并能说出二次项系数、一次项系数和常数项。 2. 能从实际问题中列出二次函数解析式，牢记 a≠0 的限制条件。 3. 经历观察、归纳概念的过程，体会数学建模思想，提升抽象概括能力。 学习重难点： 重点：二次函数的概念；判断二次函数并写出各项系数。 难点：从实际问题中建立二次函数模型；理解 a≠0 及 b、c 的取值。 学习过程： 一、温故知新（3分钟） 1. 在一个变化过程中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有____________的值与其对应，我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2. 我们已经学过的函数：正比例函数________、一次函数____________（k≠0）。 二、探究新知（20分钟） 问题1：用长为 40 m 的细绳围成一个矩形，其面积 y（单位：m²）随一边长 x（单位：m）变化，y 与 x 之间有什么关系？（另一边长为________，关系式为________①） 问题2：n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛，场次数 m 与球队数 n 之间的关系：____________② 问题3：某种产品现在的年产量是 20 t，今后两年每年都比上一年增产 x 倍，两年后产量 y（单位：t）与 x 之间的关系：____________③ 思考：观察①②③有什么共同点？（①右边都是________；②自变量最高次数都是________；③二次项系数________。） 归纳：一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 思考：为什么要限制 a≠0？b、c 可以为 0 吗？此时二次函数有哪些特殊形式？ 在 y=ax²+bx+c（a≠0）中，二次项为________，一次项为________，常数项为________；判断二次函数时，应先把解析式化为________形式。 例题1：当 m 取何值时，函数 y=(m2+m)xm²-2m-1+(m-5)x+m2 是关于 x 的二次函数？并求出这个二次函数的解析式。 三、课堂练习（10分钟） 1. 下列函数中，哪些一定是二次函数？为什么？ (1)y=-5x2 (2)y=x3+2x2+1 (3)y=(x-1)2-(x+1)(x-2) (4)y=ax2+4x+5 (5)y=x2-1/x2。 2. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)y=8x2-16x+8 (2)y=x2 (3)y=-½x2+5x (4)y=2(x-1)2-5。 3. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于底面半径 r 的函数解析式。 4. 一种产品某年的销售量为 8 万件，后两年年平均下降率为 x，写出两年后年销售量 y（万件）关于 x 的函数解析式。 5. 如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为 y m²，写出 y 关于 x 的函数解析式。 6. 已知直角三角形两条直角边的和为 10 cm，设一条直角边的长为 x cm，面积为 S cm²，求 S 与 x 之间的函数关系式。 7. 请你提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示。 四、课堂小结（3分钟） 1. 二次函数的一般形式：y=____________（a≠0）。 2. 判断二次函数的三个条件：①关系式是________；②自变量最高次数是________；③二次项系数________0。 五、作业布置（2分钟） 寻找生活中的二次函数：搜集 2 个生活实例，自己设定变量并列出二次函数解析式（化为一般形式，标注自变量取值范围），简短写下感悟。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 初中数学人教版九年级上册 通过实例理解二次函数概念，会辨别二次函数，准确找出二次项系数、一次项系数和常数项. 能够从实际问题中提炼数量关系，列出二次函数关系式，牢记a≠0这一限定条件. 经历分析实例、观察式子、归纳概念的过程，提升抽象概括能力，建立数学模型解决实际问题. 感受二次函数来源于生活，体会数学实用价值，激发主动探究数学的学习兴趣. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 正比例函数：y=kx(k是常数，k≠0). 一次函数：y=kx+b(k，b是常数，k≠0). 什么是函数？ 目前，我们已经学习了哪几种类型的函数？ 它们之间的关系可以表示为y=x(20-x)，即y=-x2+20x ① 矩形的一边长x和面积y都是变量，且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？ 面积y x 20-x 活动一：探究二次函数的概念 1 探究新知 在②式中，对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 活动一：探究二次函数的概念 2 m是n的函数吗？ 探究新知 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 活动一：探究二次函数的概念 这种产品的原产量是20t，一年后的产量是： . 两年后的产量是 . 20(1+x)2t 整理得： y=20x2+40x+20 ③ 20(1+x)t 在③式中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 3 y是x的函数吗？ 探究新知 观察函数①②③，它们有什么共同点？ 活动一：探究二次函数的概念 1.解析式右边都是整式 2.自变量x的最高次数都是2 3.二次项系数不为0 一般地，形如y=ax2+bx+c (abc是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 二次函数 二次函数解析式必须同时满足这三个条件. 4 探究新知 活动一：探究二次函数的概念 判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为最简形式，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件： 1.函数的关系式是整式； 2.自变量的最高次数是2； 3.二次项系数不等于0. 探究新知 活动二：探究二次函数的一般形式 为什么二次函数的一般形式 y=ax2 + bx + c 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？ 当a=0时，可写成y=bx+c； 不是二次函数 当 a≠0，b=0时， y=ax²+c； 当 a≠0，c=0时， y=ax²+bx； 三种特殊形式 当 a≠0，b=c=0时， y=ax². 二次函数 a≠0 是必备条件，b，c 可以为任意实数. 5 探究新知 活动二：探究二次函数的一般形式 二次函数的一般形式： 二次项系数 一次项系数 y = a x2 ＋ b x ＋ c (a≠0) 二次项 一次项 常数项 ①a≠0； ②系数和项均包含前面的符号； ③必须先化为二次函数的一般形式，才能找出各项系数. x是自变量 探究新知 例题精讲 辨别二次函数 下列函数中，哪些一定是二次函数？为什么？ x 的最高次数是 3，不是二次函数 y＝(x-1)2-(x+1)(x-2)＝-x+3，不是二次函数 a可能为0 ，不一定是二次函数 有分式，不是二次函数 课堂练习 实际问题中的二次函数 (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x. 写出两年后产品的年销售量y (单位： 万件)关于x的函数解析式. (2)一年后产品的年销售量为8(1-x)万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件，所以y=8(1-x)2，即y=8x2-16x+8. 6 课堂练习 建立二次函数模型 建立二次函数模型的一般步骤： ①审题：读懂题意，区分已知条件与未知条件，理清变量之间的数量关系； ②找关系：找出两个未知量之间的等量关系式； ③列式：设好变量字母，列出函数解析式，切记标明自变量取值范围. 建立二次函数模型和一元二次方程模型思路相近，区别是要用含一个自变量的代数式去表示因变量. 课堂练习 2.如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为 y m2.写出y关于x的函数解析式. 解：y=(30+x)(20+x) 整理得，y=x2+50x+600 30m xm 20m xm 已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm． (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为xcm，面积为Scm2，求S与x之间的函数关系式． 例题精讲 已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm． (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为xcm，面积为Scm2，求S与x之间的函数关系式． 例题精讲 3.提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示. 解：答案不唯一. 如：正方体的棱长为xcm，表面积为ycm2， 写出y关于x的函数解析式y=6x2 课堂小结 $