第26章 二次函数 单元自测卷 -2026-2027学年人教版九年级数学上册
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摘要：
**基本信息**
本卷为初中数学二次函数单元能力提升卷，以真实情境（如羽毛球运动、丢沙包游戏）为载体，覆盖定义、图像性质、最值等核心知识，适配单元复习，提升综合应用能力。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|单选|10/30|二次函数定义、顶点坐标、图像与不等式|结合运动轨迹考最值（如羽毛球高度），体现数学眼光|
|填空|4/12|抛物线与坐标轴交点、顶点距离|设计杯子模型题，渗透几何直观与空间观念|
|解答|7/58|解析式求解、面积计算、实际应用（丢沙包）|综合题含分类讨论（如直角三角形存在性），发展推理能力与模型意识|
内容正文：
第26章 二次函数能力提升自测卷
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（ ）
A． B．或0 C．1 D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义知，，解得的值，在选项中逐个排除即可．
【详解】解： 函数是关于的二次函数，
．
且．
2．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的顶点式可得答案，即二次函数的顶点坐标为．
【详解】解：∵二次函数，
∴顶点坐标为．
3．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答．
【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下，
∴当时，可取最大值为，
当时，，
当时，，
∴当时，结合图象知函数y的取值范围是．
4．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为，
∴，即，
∴抛物线的对称轴为直线.
5．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米
【答案】A
【分析】求羽毛球最大高度即求二次函数的最大值，可化为顶点式求解．
【详解】解：，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为米．
6．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（ ）
A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4
【答案】C
【分析】先求出抛物线对称轴为，再根据“抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大”逐项判断即可．
【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，
抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，
选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意；
选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意；
选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意；
选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意．
7．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】C
【详解】解：对于二次函数，令，则，
∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∵对于一次函数，令，则，
∴一次函数的图象与y轴的交点为，
∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上，
．
则不等式可变形为，
即，
∴由图象可得，它的解集是．
8．已知某二次函数的图象如图所示，与轴的一个交点是，下列结论中①；②；③；④；其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由二次函数的图象得出，，由二次函数的对称轴公式得出，即可判断①③；求出二次函数的图象与轴的另一个交点是，即可判断②；由图象可得，当时，，再结合，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线，
∴，，，
∴，，故③正确；
∴，故①错误；
∵二次函数的图象与轴的一个交点是，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点是，
∴当时，，故②错误；
由图象可得，当时，，
∵，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有③④，共个．
9．当时，函数的最小值为1，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．或2
【答案】D
【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值．
【详解】解：，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为．
当时，函数的最小值为1，
分两种情况讨论：
①如图1，当时，即时，
最小值在处取得，
∴，即，解得或，
∵，
∴．
②如图2，当时，
最小值在处取得，
∴，解得或，
∵，
∴．
综上，的值为或．
10．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
【答案】D
【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果．
【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
分三种情况讨论：
①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值，
可得 ，解得或，，舍去，得；
②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解；
③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值，
可得 ，解得或，，舍去，得；
综上，的值为或．
二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．二次函数的图象与轴交点坐标是________．
【答案】
【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标．
【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，
∴ 令，代入二次函数解析式，
得，
∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________．
【答案】
【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可．
【详解】解：∵与轴只有一个交点，
∴，对称轴为直线，
∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点，
∴，两点的纵坐标相同，设为，
则时，，
解得：，
∴点A的横坐标是，点的横坐标是，
∵，
∴，
解得：．
即点M到直线l的距离为．
13．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____．
【答案】
11
【分析】首先由求出D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．
【详解】解：，
抛物线顶点的坐标为，
，
点的横坐标为，
把代入，得到，
，
．
14．如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______．
【答案】
【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，
∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称，
∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，
∴．
三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知函数是关于的二次函数．
(1)求的值．
(2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可；
（2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得；
（2）解：由（1）得二次函数解析式为：，
这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
16．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点P在射线上；
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，解得或，
∴点P的坐标为；
如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接，
同理可证明，
∴，
∵，
∴，
∴点P在射线上；
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，解得或，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可.
【详解】（1）解：设函数的表达式为，
将点代入得，解得，
故二次函数的表达式为，
即；
（2）解：∵，
∴当时，，
．
∵A点坐标为，对称轴为直线，
，
设直线的解析式为，
把代入，得，解得，
∴直线函数表达式为，
把代入得，
过点M作y轴的平行线交于点H，则点，
∴．
18．综合与实践——丢沙包中的数学
【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励．
小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动．
【活动过程】
活动1：发现模型
兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）．
活动2：应用模型
(1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心．
(2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面．
小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米．
【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系：
由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点，
设抛物线的解析式为，其中，
将点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得或（不符合题意，舍去），
∵，
∴沙包不能正好命中靶心．
(2)沙包达到最高点时距离地面米
【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得；
（2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可．
【详解】（1）略．
（2）解：建立如图所示的平面直角坐标系：
由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，
设抛物线的解析式为，其中，
将点，代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，
即沙包达到最高点时距离地面米．
19．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点．
(1)试求a，b所满足的关系式；
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值；
(3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在实数a，使得为直角三角形．
理由如下：
①由图可知，A为直角顶点，不可能；
②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能；
③若B为直角顶点，则，
令，可得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，整理得，
解得，
由（2）可知，，
∴，不合题意，舍去；
综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形．
【分析】（1）把点和点代入，即可求解；
（2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解；
（3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，得，
∴．
（2）解：由（1）可知，
∴顶点M的纵坐标为，
∵，
∴
∴，
整理得，
解得，
由图象可知，
∵顶点M在第二象限，
∴对称轴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
（3）略
20．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值；
(3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)能，点Q的坐标为或
【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式．
（2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值．
（3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于，
∴，
∴点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
即．
（2）解：如图所示，设，直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，，点D，E都在直线上，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
分别将点的坐标代入直线，
得，，
∴ ，
，
∴当时，取得最大值，最大值是3．
（3）解：能，理由如下：
∵，
∴，
若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形，
①当以为边时，则且，
∵点在直线下方，如图所示，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得：，（与A重合，舍去），
∴，，
∴；
②当以为对角线时，连接交于点G，则，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点M，于点N，则，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（与A重合，舍去），
∴．
综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或．
21．如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，．
(1)求a，c的值；
(2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值；
(3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围．
【答案】(1)a，c的值分别为
(2)或2
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）分三种情况考虑即可；
（3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，，
∴，
解得，
即a，c的值分别为；
（2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为，
当时，；当时，；
当时，，
则当时，函数值随自变量的增大而增大，
∴，
解得（舍去）或；
当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意；
当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值，
∴，
解得（舍去）或；
综上，满足题意的值为或2；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下，
当时，则，，
作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧，
令，解得或，
∴，，
令，解得或，
∴，，
∵，
∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上，
①当点N在曲线段上时，
把，分别代入，
得，
两式相减，整理得，
∴，
当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值，
当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时，
当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时，
∴；
②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时，
取得最大值，且为，
当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为，
∴；
综上，或．
1
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第26章 二次函数能力提升自测卷
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（ ）
A． B．或0 C．1 D．4
2．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
4．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米
6．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（ ）
A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4
7．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．已知某二次函数的图象如图所示，与轴的一个交点是，下列结论中①；②；③；④；其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．当时，函数的最小值为1，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．或2
10．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．二次函数的图象与轴交点坐标是________．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________．
13．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____．
14．如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______．
三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知函数是关于的二次函数．
(1)求的值．
(2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
16．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求的面积．
18．综合与实践——丢沙包中的数学
【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励．
小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动．
【活动过程】
活动1：发现模型
兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）．
活动2：应用模型
(1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心．
(2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面．
小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米．
19．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点．
(1)试求a，b所满足的关系式；
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值；
(3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值；
(3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
21．如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，．
(1)求a，c的值；
(2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值；
(3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围．
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