第26章 二次函数 基础过关自测卷 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 第26章二次函数基础过关自测卷，聚焦单元核心知识，通过基础巩固与实际应用结合，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数系数、顶点坐标、图象平移等|如第1题考系数识别，第3题考顶点坐标，夯实基础概念| |填空题|4/12|对称轴、二次函数定义、最值等|如11题求对称轴，13题求最小值，强化概念理解| |解答题|7/58|解析式转化、实际问题建模等|如17题蔬菜大棚抛物线建模、20题销售利润问题，体现数学建模与应用意识，梯度从计算到实际问题解决|

第26章 二次函数基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 2．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得． 3．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 4．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 5．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 6．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 7．对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 8．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 抛物线中，， ∴ 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 抛物线对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴． 9．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 10．如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当或时，， 所以若，则x的取值范围为或． 故选：C． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．抛物线的对称轴是______． 【答案】y轴 【分析】根据抛物线的性质：，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，即可得的对称轴． 【详解】解：根据抛物线的性质得：抛物线的对称轴是轴． 12．当______时，函数是二次函数． 【答案】3 【分析】根据二次函数的定义，最高次项次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 13．二次函数的最小值为___________． 【答案】 【分析】二次函数二次项系数大于0，开口向上，最小值为顶点的纵坐标，可通过配方计算得到． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 14．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于零求出的取值范围，任取范围内一个值即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）略 16．已知抛物线． (1)将抛物线解析式转化为的形式； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的性质，二次函数的增减性，二次函数的图象平移，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）使用配方法求解即可； （2）根据二次函数图象的开口方向以及对称轴求解即可； （3）根据图象平移的规则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，函数图象的开口方向向下， 又对称轴， 当时，随的增大而增大； （3）解：∵将抛物线向左平移1个单位长度， 此时解析式为， ∵再向下平移2个单位长度， ∴解析式为． 17．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 18．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． (1)求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求菜园面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意列不等式求出的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ， 即； （2）由（1）知，， 当时，有最大值，最大值是． 19．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 20．某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 21．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）根据解析式画出图像即可； （3）求出当时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵抛物线过点，代入得： ， ∴； （2）略； （3）解：当时， ； 当时， ； ∵抛物线开口向下，顶点坐标， 即当时，的最大值为4， ∴抛物线上点到轴的距离不大于2时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B．C．D． 5．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 6．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 7．对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 8．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A．B．C． D． 9．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或D．或 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．抛物线的对称轴是______． 12．当______时，函数是二次函数． 13．二次函数的最小值为___________． 14．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 16．已知抛物线． (1)将抛物线解析式转化为的形式； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式． 17．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 18．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． (1)求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求菜园面积的最大值． 19．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 20．某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 21．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $