26.4《实际问题与二次函数》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册第26章26.4实际问题与二次函数同步练，分层清晰，从基础应用到中考综合，覆盖二次函数实际问题全题型，强化模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|单一知识点应用（最大高度、面积、利润、抛物线形问题等）|直接对应知识点，如竖直上抛最大高度计算，强化运算能力与概念理解| |进阶思维题|综合知识应用（动态几何、利润与方程结合、自变量取值范围）|含动点问题等提升题，如矩形运动面积最值，发展推理能力与几何直观| |中考链接题|中考真题综合（函数与几何综合、实际应用）|对接中考题型，如利润最值与抛物线几何综合，培养应用意识与创新意识|

人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 本节知识点总结 1. 最大高度问题（运动轨迹）： 小球竖直上抛、跳水运动员重心高度等问题，其高度h与时间t的关系为二次函数h = at² + bt + c（a<0），当t = -时，h取得最大值。 2. 最大面积问题（几何应用）： 利用墙和篱笆围成矩形菜园等问题，设一边长为x，面积S为x的二次函数，求S的最大值。注意自变量x的取值范围要符合实际意义（边长为正）。 3. 最大利润问题（经济应用）： 商品涨价/降价与利润的关系：利润 = 单件利润 × 销售量。 设涨价（或降价）x元，利润W为x的二次函数，求W的最大值。 注意：①单价为正整数时，需取最接近顶点的整数；②分别讨论涨价和降价两种情况，比较哪种情况利润更大。 4. 抛物线形实际问题： 抛物线形拱桥、隧道、投篮轨迹等问题，先建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，再利用解析式解决实际问题（如水面宽度、船能否通过等）。 5. 建立坐标系的常用方法： ①以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴； ②以抛物线与x轴的一个交点为原点； ③以地面为x轴，对称轴为y轴。 6. 重要提醒： ①求二次函数最值时，必须先求出自变量的取值范围； ②若顶点在取值范围内，则最值在顶点处取得； ③若顶点不在取值范围内，则根据函数的增减性确定最值； ④实际问题中，长度、面积、利润等必须为非负数； ⑤解出结果后必须检验是否符合实际意义。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 最大高度问题（运动轨迹） 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）将一个小球以20m/s的初速度从地面竖直向上抛出，小球的高度h（m）与时间t（s）满足关系式 h = -5t² + 20t。求小球上升的最大高度。 2．（2024秋·上海浦东·单元测）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，运动员的重心高度y（m）与起跳后的时间x（s）满足关系式 y = -5x² + 5x + 10。求运动员起跳后重心的最大高度。 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（m）与小球运动时间t（s）之间的关系式为h = 30t - 5t²。小球运动的最大高度是多少？小球从抛出到落地需要多长时间？ 题型02 最大面积问题（几何应用） 4．（2024秋·江苏南京·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m。设矩形菜园平行于墙的一边长为x m，面积为S m²。（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·单元测）用长为20m的篱笆围成一个矩形花圃，一边靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为x m，花圃面积为y m²。求y的最大值。 6．（2024秋·山东济南·月考）在一个边长为20cm的正方形铁皮的四个角上各剪去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。求盒子的侧面积S与x的函数关系式，并求S的最大值。 题型03 最大利润问题（经济应用） 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期中）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。设销售单价提高x元，利润为W元。（1）求W与x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，才能在半月内获得最大利润？ 8．（2024秋·四川成都·单元测）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件。如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件。设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为W元。（1）求W与x的函数关系式；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 9．（2024-2025九年级上·河北石家庄·月考）某商店经营一种小商品，进价为每件20元。据市场调查，销售单价是30元时，平均每天的销售量是40件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件。设每件商品降价x元，平均每天的利润为W元。（1）求W与x的函数关系式；（2）每件商品降价多少元时，平均每天的利润最大？ 题型04 抛物线形拱桥问题 10．（2024秋·陕西西安·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当水面宽为20m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面4m。建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式。 11．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·单元测）一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m。水面下降1m后，水面宽度是多少？ 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）某公园有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20m，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4m。以O为原点，建立平面直角坐标系。（1）求抛物线的解析式；（2）若水位上升1m，求此时水面的宽度。 题型05 建立坐标系求二次函数解析式 13．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）如图，有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m。现把它的图形放在平面直角坐标系中，若以桥拱的最高点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，求抛物线的解析式。 14．（2024秋·安徽合肥·单元测）某抛物线形隧道的截面如图所示，隧道的最大高度为6m，底部宽度为12m。以底部所在直线为x轴，底部中点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式。 15．（2024-2025九年级上·福建福州·月考）小明在一次投篮练习中，篮球的运动路线是抛物线的一部分。已知篮球出手时的高度为2m，篮筐的高度为3m，篮球在出手后水平距离4m处达到最高点4m。以出手点为原点，水平方向为x轴建立坐标系，求篮球运动路线的抛物线解析式。 题型06 利用解析式解决实际问题 16．（2024秋·江西南昌·期中）一座抛物线形拱桥，其解析式为 y = -1/25 x²（以拱顶为原点）。当水面宽为30m时，求水面到拱顶的距离。 17．（2024-2025九年级上·天津南开·单元测）某抛物线形隧道的截面解析式为 y = - x² + 6（以底部中点为原点）。一辆高4m、宽2m的货车能否从该隧道内通过？请说明理由。 18．（2024秋·河南郑州·月考）某运动员投篮时，篮球的运动路线满足 y = -0.2x² + 1.6x + 2（以出手点为原点，x为水平距离，y为高度）。问篮球在水平距离多少m处，高度达到3m？ 题型07 自变量取值范围的实际意义 19．（2024-2025九年级上·云南昆明·期中）用长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，设垂直于墙的一边长为x m，面积为S m²。则S与x的函数关系式中，自变量x的取值范围是（　　） A．x>0 B．0<x<20 C．0<x≤20 D．0<x<40 20．（2024秋·广西南宁·单元测）某商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可卖出100件。若每件涨价x元，则每天少卖10x件。设每天利润为W元，则W与x的函数关系式为_____，自变量x的取值范围是______。 21．（2024-2025九年级上·贵州贵阳·月考）从地面竖直向上抛出一小球，高度h(m)与时间t(s)满足 h = -5t² + 20t。则小球在运动过程中，高度h不低于15m的时间共有（　　） A．1s B．2s C．3s D．4s 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）某商店销售一种商品，每件进价为60元，当售价为每件80元时，每天可售出100件。经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出10件。设每件降价x元，每天的利润为W元。要使每天获得的利润最大，每件应降价（　　） A．3元 B．5元 C．8元 D．10元 2．（2024秋·上海闵行·月考）用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃，设垂直于墙的一边长为x m，面积为y m²。则y的最大值为（　　） A．18m² B．20m² C． m² D． m² 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）某抛物线形拱桥，以水面为x轴，拱桥对称轴为y轴建立平面直角坐标系，其解析式为 y = - x² + 4。当水面宽为8m时，水面到拱顶的距离为（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 4．（2024秋·江苏苏州·期中）将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个。若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个。设降价x元，每天利润为W元，则W与x的函数关系式为（　　） A．W = -x² + 10x + 600 B．W = -x² + 50x + 600 C．W = x² - 10x + 600 D．W = x² - 50x + 600 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动。设运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm²。则S的最大值为（　　） A．36cm² B．48cm² C．72cm² D．96cm² 6．（2024秋·山东青岛·单元测）某工厂生产的某种产品，当年产量为x件时，总成本为(30000+200x)元，售价为每件500元。若要使工厂不亏本，则年产量x至少为（　　） A．50件 B．100件 C．150件 D．200件 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）用一根长为40cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为______cm²。 8．（2024秋·四川成都·期中）某商品每件进价为40元，售价为每件60元时，每天可卖出300件。经市场调查，售价每上涨1元，每天少卖10件。则每件售价定为______元时，每天的利润最大。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）从地面竖直向上抛出一小球，高度h(m)与时间t(s)满足 h = -5t² + 30t。则小球在抛出后______s时达到最高点，最高点高度为______m。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）某抛物线形拱桥，以拱顶为原点建立坐标系，解析式为 y = -0.04x²。当水面到拱顶的距离为9m时，水面的宽度为______m。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）用长为24m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙长为10m。设平行于墙的一边长为x m，则x的取值范围是______，养鸡场的最大面积为______m²。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件。经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件。设销售单价提高x元，每天利润为W元。 （1）求W与x的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，拱桥最高点O到水面AB的距离为4m。以O为原点建立坐标系。 （1）求抛物线的解析式； （2）现有一艘载有救援物资的小船，船宽4m，船顶为矩形，船顶高出水面1.5m。问：水位上升多少m时，小船开始不能通过桥洞？ 14．（2024秋·福建福州·单元测）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。设P、Q两点同时出发，运动时间为t s（0<t<6）。 （1）设△PBQ的面积为S cm²，求S与t的函数关系式； （2）当t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）某商店销售一种商品，每件进价为40元，当售价为每件60元时，每天可售出100件。经市场调查，售价每降低1元，每天可多售出10件。设每件降价x元，每天的利润为W元。则W与x的函数关系式为（　　） A．W = -10x² + 100x + 2000 B．W = -10x² + 200x + 2000 C．W = 10x² - 100x + 2000 D．W = 10x² - 200x + 2000 2．（2024·江苏苏州中考）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/件）：50，60，80；周销售量y（件）：100，80，40；周销售利润w（元）：1000，1600，1600。则该商品的进价为（　　） A．30元/件 B．35元/件 C．40元/件 D．45元/件 3．（2024·浙江杭州中考）设函数y = (x-1)² + 2，当x=___1___时，y取得最小值。 4．（2024·山东济南中考）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件。试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大。 5．（2024·湖北武汉中考）某商店销售一种商品，每件进价为40元。经市场调查，当售价为每件50元时，每天可售出200件；售价每提高1元，每天少售出10件。设每件售价为x元，每天的利润为W元。 （1）求W与x的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 6．（2024·广东广州中考）如图，抛物线y = -x² + bx + c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S。求S的最大值。 7．（2024·陕西中考）某农作物的生长率p与温度t有关，经测算，p与t满足函数关系p = -0.01t² + 0.4t - 3（15≤t≤25）。 （1）当t为何值时，该农作物的生长率最大？最大生长率是多少？ （2）若要求生长率不低于0.75，求温度t的取值范围。 8．（2024·重庆中考）某工厂设计了一款产品，成本为每件20元。投放市场进行试销，经调查，当销售单价为30元时，每天的销售量为200件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。设销售单价为x元，每天的利润为W元。 （1）求W与x的函数关系式； （2）若物价部门规定该产品的销售单价不得高于38元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 9．（2024·天津中考）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。设垂直于墙的一边长为x m，菜园的面积为S m²。 （1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 10．（2024·河南中考）某商店销售一种商品，每件进价为30元。经市场调查，当售价为每件40元时，每天可售出100件；售价每降低1元，每天可多售出20件。设每件降价x元，每天的利润为W元。 （1）求W与x的函数关系式； （2）当每件降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）若每件降价不超过3元，当每件降价多少元时，每天的利润最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 本节知识点总结 1. 最大高度问题（运动轨迹）： 小球竖直上抛、跳水运动员重心高度等问题，其高度h与时间t的关系为二次函数h = at² + bt + c（a<0），当t = -时，h取得最大值。 2. 最大面积问题（几何应用）： 利用墙和篱笆围成矩形菜园等问题，设一边长为x，面积S为x的二次函数，求S的最大值。注意自变量x的取值范围要符合实际意义（边长为正）。 3. 最大利润问题（经济应用）： 商品涨价/降价与利润的关系：利润 = 单件利润 × 销售量。 设涨价（或降价）x元，利润W为x的二次函数，求W的最大值。 注意：①单价为正整数时，需取最接近顶点的整数；②分别讨论涨价和降价两种情况，比较哪种情况利润更大。 4. 抛物线形实际问题： 抛物线形拱桥、隧道、投篮轨迹等问题，先建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，再利用解析式解决实际问题（如水面宽度、船能否通过等）。 5. 建立坐标系的常用方法： ①以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴； ②以抛物线与x轴的一个交点为原点； ③以地面为x轴，对称轴为y轴。 6. 重要提醒： ①求二次函数最值时，必须先求出自变量的取值范围； ②若顶点在取值范围内，则最值在顶点处取得； ③若顶点不在取值范围内，则根据函数的增减性确定最值； ④实际问题中，长度、面积、利润等必须为非负数； ⑤解出结果后必须检验是否符合实际意义。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 最大高度问题（运动轨迹） 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）将一个小球以20m/s的初速度从地面竖直向上抛出，小球的高度h（m）与时间t（s）满足关系式 h = -5t² + 20t。求小球上升的最大高度。 【答案】最大高度为20m 【分析】二次函数h = -5t² + 20t，a=-5<0，开口向下，顶点处取得最大值。 【详解】解：h = -5t² + 20t = -5(t² - 4t) = -5(t - 2)² + 20。 ∵ a = -5 < 0，∴ 当 t = 2 时，h取得最大值，h最大 = 20。 检验：t = 2 > 0，符合实际意义。 答：小球上升的最大高度为20m。 2．（2024秋·上海浦东·单元测）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，运动员的重心高度y（m）与起跳后的时间x（s）满足关系式 y = -5x² + 5x + 10。求运动员起跳后重心的最大高度。 【答案】最大高度为11.25m 【分析】二次函数y = -5x² + 5x + 10，a=-5<0，顶点处取得最大值。 【详解】解：y = -5x² + 5x + 10 = -5(x² - x) + 10 = -5(x - 0.5)² + 11.25。 ∵ a = -5 < 0，∴ 当 x = 0.5 时，y取得最大值，y最大 = 11.25。 检验：x = 0.5 > 0，符合实际意义。 答：运动员起跳后重心的最大高度为11.25m。 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（m）与小球运动时间t（s）之间的关系式为h = 30t - 5t²。小球运动的最大高度是多少？小球从抛出到落地需要多长时间？ 【答案】最大高度45m，落地时间6s 【分析】配方求顶点得最大高度；令h=0求落地时间。 【详解】解：（1）h = 30t - 5t² = -5(t² - 6t) = -5(t - 3)² + 45。 ∵ a = -5 < 0，∴ 当 t = 3 时，h最大 = 45。 （2）令 h = 0，即 30t - 5t² = 0，5t(6 - t) = 0， 解得 t₁ = 0（抛出时刻），t₂ = 6（落地时刻）。 检验：t = 6 > 0，符合实际意义。 答：小球运动的最大高度是45m，从抛出到落地需要6s。 题型02 最大面积问题（几何应用） 4．（2024秋·江苏南京·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m。设矩形菜园平行于墙的一边长为x m，面积为S m²。（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）S = -x² + 15x，0<x≤18；（2）x=15时，最大面积112.5m² 【分析】平行于墙的边长为x，则垂直于墙的边长为，面积S=x·。 【详解】解：（1）设平行于墙的一边长为x m，则垂直于墙的一边长为 m。 S = x · = -x² + 15x。 自变量取值范围：∵ 墙长18m，∴ 0 < x ≤ 18。 （2）S = -x² + 15x = -(x² - 30x) = -(x - 15)² + 112.5。 ∵ a = - < 0，对称轴 x = 15，且 15 在 0 < x ≤ 18 范围内， ∴ 当 x = 15 时，S最大 = 112.5。 检验：x = 15 ≤ 18，符合墙长限制；= 7.5 > 0，边长为正。 答：当x为15m时，菜园面积最大，最大面积是112.5m²。 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·单元测）用长为20m的篱笆围成一个矩形花圃，一边靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为x m，花圃面积为y m²。求y的最大值。 【答案】y的最大值为50m² 【分析】垂直于墙的边长为x，则平行于墙的边长为20-2x，面积y=x(20-2x)。 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为 (20 - 2x) m。 y = x(20 - 2x) = -2x² + 20x = -2(x - 5)² + 50。 自变量取值范围：∵ 20 - 2x > 0，∴ 0 < x < 10。 ∵ a = -2 < 0，对称轴 x = 5，且 5 在 0 < x < 10 范围内， ∴ 当 x = 5 时，y最大 = 50。 检验：x = 5 > 0，20 - 2×5 = 10 > 0，符合实际意义。 答：y的最大值为50m²。 6．（2024秋·山东济南·月考）在一个边长为20cm的正方形铁皮的四个角上各剪去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。求盒子的侧面积S与x的函数关系式，并求S的最大值。 【答案】S = -8x² + 80x，最大值为200cm² 【分析】折成的长方体底面边长为(20-2x)，高为x，侧面积=4×底面边长×高。 【详解】解：折成的长方体盒子底面边长为 (20 - 2x) cm，高为 x cm。 侧面积 S = 4 × (20 - 2x) × x = 80x - 8x² = -8x² + 80x。 自变量取值范围：∵ 20 - 2x > 0，∴ 0 < x < 10。 S = -8(x² - 10x) = -8(x - 5)² + 200。 ∵ a = -8 < 0，对称轴 x = 5，且 5 在 0 < x < 10 范围内， ∴ 当 x = 5 时，S最大 = 200。 检验：x = 5 > 0，20 - 2×5 = 10 > 0，符合实际意义。 答：S与x的函数关系式为S = -8x² + 80x，S的最大值为200cm²。 题型03 最大利润问题（经济应用） 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期中）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。设销售单价提高x元，利润为W元。（1）求W与x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，才能在半月内获得最大利润？ 【答案】（1）W = -20x² + 200x + 4000；（2）单价35元时利润最大 【分析】单件利润=30+x-20=10+x，销售量=400-20x，利润=单件利润×销售量。 【详解】解：（1）设销售单价提高x元，则单件利润为 (30 + x - 20) = (10 + x) 元， 销售量为 (400 - 20x) 件。 W = (10 + x)(400 - 20x) = -20x² + 200x + 4000。 自变量取值范围：∵ 400 - 20x ≥ 0，∴ 0 ≤ x ≤ 20。 （2）W = -20x² + 200x + 4000 = -20(x - 5)² + 4500。 ∵ a = -20 < 0，对称轴 x = 5，且 5 在 0 ≤ x ≤ 20 范围内， ∴ 当 x = 5 时，W最大 = 4500。 此时销售单价为 30 + 5 = 35 元。 检验：x = 5 ≥ 0，400 - 20×5 = 300 > 0，符合实际意义。 答：当销售单价定为35元时，才能在半月内获得最大利润。 8．（2024秋·四川成都·单元测）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件。如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件。设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为W元。（1）求W与x的函数关系式；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）W = -10x² + 110x + 2100；（2）售价55.5元时最大利润2402.5元 【分析】单件利润=50+x-40=10+x，销售量=210-10x，利润=单件利润×销售量。 【详解】解：（1）设每件商品的售价上涨x元，则单件利润为 (50 + x - 40) = (10 + x) 元， 销售量为 (210 - 10x) 件。 W = (10 + x)(210 - 10x) = -10x² + 110x + 2100。 自变量取值范围：∵ 210 - 10x ≥ 0，∴ 0 ≤ x ≤ 21。 （2）W = -10x² + 110x + 2100 = -10(x - 5.5)² + 2402.5。 ∵ a = -10 < 0，对称轴 x = 5.5，且 5.5 在 0 ≤ x ≤ 21 范围内， ∴ 当 x = 5.5 时，W最大 = 2402.5。 此时售价为 50 + 5.5 = 55.5 元。 检验：x = 5.5 ≥ 0，210 - 10×5.5 = 155 > 0，符合实际意义。 答：每件商品的售价定为55.5元时，每个月可获得最大利润，最大利润是2402.5元。 9．（2024-2025九年级上·河北石家庄·月考）某商店经营一种小商品，进价为每件20元。据市场调查，销售单价是30元时，平均每天的销售量是40件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件。设每件商品降价x元，平均每天的利润为W元。（1）求W与x的函数关系式；（2）每件商品降价多少元时，平均每天的利润最大？ 【答案】（1）W = -10x² + 60x + 400；（2）降价3元时利润最大 【分析】单件利润=30-x-20=10-x，销售量=40+10x，利润=单件利润×销售量。 【详解】解：（1）设每件商品降价x元，则单件利润为 (30 - x - 20) = (10 - x) 元， 销售量为 (40 + 10x) 件。 W = (10 - x)(40 + 10x) = -10x² + 60x + 400。 自变量取值范围：∵ 10 - x ≥ 0（不能亏本），∴ 0 ≤ x ≤ 10。 （2）W = -10x² + 60x + 400 = -10(x - 3)² + 490。 ∵ a = -10 < 0，对称轴 x = 3，且 3 在 0 ≤ x ≤ 10 范围内， ∴ 当 x = 3 时，W最大 = 490。 检验：x = 3 ≥ 0，10 - 3 = 7 > 0，40 + 10×3 = 70 > 0，符合实际意义。 答：每件商品降价3元时，平均每天的利润最大。 题型04 抛物线形拱桥问题 10．（2024秋·陕西西安·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当水面宽为20m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面4m。建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式。 【答案】y = -0.04x² + 4 【分析】以拱顶为原点，对称轴为y轴建立坐标系，抛物线顶点为(0,0)，A点(-10,-4)。 【详解】解：由题意，抛物线的顶点坐标为 (0, 0)，且过点 (-10, -4)。 设抛物线的解析式为 y = ax² 。 将点 (-10, -4) 代入得：-4 = a×(-10)² ，即 100a = -4，解得 a = -0.04。 ∴ 抛物线的解析式为 y = -0.04x² 。 11．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·单元测）一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m。水面下降1m后，水面宽度是多少？ 【答案】水面宽度为2 m（约4.9m） 【分析】建立坐标系求解析式，再令y=-1求x，水面宽度为2|x|。 【详解】解：以拱顶为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系。 由题意，抛物线顶点为 (0, 0)，且过点 (2, -2)。 设抛物线解析式为 y = ax²。 将 (2, -2) 代入得：-2 = 4a，解得 a = -0.5。 ∴ y = -0.5x²。 水面下降1m后，水面的纵坐标为 y = -2 - 1 = -3。 令 y = -3，即 -0.5x² = -3，解得 x² = 6，x = ±。 ∴ 水面宽度为 2 m。 答：水面下降1m后，水面宽度是2 m。 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）某公园有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20m，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4m。以O为原点，建立平面直角坐标系。（1）求抛物线的解析式；（2）若水位上升1m，求此时水面的宽度。 【答案】（1）y = -0.04x²；（2）水面宽度为10 m 【分析】顶点在原点，过点(10,-4)，求解析式；水位上升1m后y=-3，求x。 【详解】解：（1）以拱顶O为原点，对称轴为y轴建立坐标系。 由题意，抛物线顶点为 (0, 0)，且过点 (10, -4)。 设抛物线解析式为 y = ax²。 将 (10, -4) 代入得：-4 = 100a，解得 a = -0.04。 ∴ 抛物线的解析式为 y = -0.04x²。 （2）水位上升1m后，水面的纵坐标为 y = -4 + 1 = -3。 令 y = -3，即 -0.04x² = -3，解得 x² = 75，x = ±5。 ∴ 水面宽度为 2×5 = 10 m。 答：（1）抛物线的解析式为y = -0.04x²；（2）此时水面的宽度为10 m。 题型05 建立坐标系求二次函数解析式 13．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）如图，有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m。现把它的图形放在平面直角坐标系中，若以桥拱的最高点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，求抛物线的解析式。 【答案】y = -0.04x² 【分析】顶点在原点，跨度40m则过点(20,-16)，代入求a。 【详解】解：以桥拱最高点为原点，对称轴为y轴建立坐标系。 由题意，抛物线顶点为 (0, 0)，跨度为40m，最大高度为16m， ∴ 抛物线过点 (20, -16)。 设抛物线解析式为 y = ax²。 将 (20, -16) 代入得：-16 = 400a，解得 a = -0.04。 ∴ 抛物线的解析式为 y = -0.04x²。 14．（2024秋·安徽合肥·单元测）某抛物线形隧道的截面如图所示，隧道的最大高度为6m，底部宽度为12m。以底部所在直线为x轴，底部中点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式。 【答案】y = - x² + 6 【分析】顶点为(0,6)，过点(6,0)，设顶点式求解。 【详解】解：以底部中点为原点，底部所在直线为x轴建立坐标系。 由题意，抛物线顶点为 (0, 6)，且过点 (6, 0)。 设抛物线解析式为 y = ax² + 6。 将 (6, 0) 代入得：0 = 36a + 6，解得 a = -。 ∴ 抛物线的解析式为 y = - x² + 6。 15．（2024-2025九年级上·福建福州·月考）小明在一次投篮练习中，篮球的运动路线是抛物线的一部分。已知篮球出手时的高度为2m，篮筐的高度为3m，篮球在出手后水平距离4m处达到最高点4m。以出手点为原点，水平方向为x轴建立坐标系，求篮球运动路线的抛物线解析式。 【答案】y = - (x-4)² + 4 【分析】顶点为(4,4)，过点(0,2)，设顶点式求解。 【详解】解：以出手点为原点，水平方向为x轴建立坐标系。 由题意，抛物线顶点为 (4, 4)，且过点 (0, 2)。 设抛物线解析式为 y = a(x - 4)² + 4。 将 (0, 2) 代入得：2 = a(0 - 4)² + 4，即 16a = -2，解得 a = -。 ∴ 抛物线的解析式为 y = - (x - 4)² + 4。 题型06 利用解析式解决实际问题 16．（2024秋·江西南昌·期中）一座抛物线形拱桥，其解析式为 y = -1/25 x²（以拱顶为原点）。当水面宽为30m时，求水面到拱顶的距离。 【答案】水面到拱顶的距离为9m 【分析】水面宽30m则x=±15，代入解析式求y，距离为|y|。 【详解】解：当水面宽为30m时，水面与抛物线交点的横坐标为 x = ±15。 将 x = 15 代入 y = -1/25 x² 得： y = -1/25 × 15² = -1/25 × 225 = -9。 ∴ 水面到拱顶的距离为 |y| = 9m。 答：水面到拱顶的距离为9m。 17．（2024-2025九年级上·天津南开·单元测）某抛物线形隧道的截面解析式为 y = - x² + 6（以底部中点为原点）。一辆高4m、宽2m的货车能否从该隧道内通过？请说明理由。 【答案】能通过 【分析】货车从中间通过时，x=±1，代入求y，若y≥4则能通过。 【详解】解：货车从隧道中间通过时，货车边缘对应的横坐标为 x = ±1。 将 x = 1 代入 y = - x² + 6 得： y = -× 1 + 6 = ≈ 5.83。 ∵ 5.83 > 4，即隧道在x=1处的高度大于货车高度4m， ∴ 货车能从该隧道内通过。 答：货车能从该隧道内通过。 18．（2024秋·河南郑州·月考）某运动员投篮时，篮球的运动路线满足 y = -0.2x² + 1.6x + 2（以出手点为原点，x为水平距离，y为高度）。问篮球在水平距离多少m处，高度达到3m？ 【答案】水平距离为(4-√11)m或(4+√11)m 【分析】令y=3，解一元二次方程-0.2x²+1.6x+2=3。 【详解】解：令 y = 3，即 -0.2x² + 1.6x + 2 = 3， 整理得 0.2x² - 1.6x + 1 = 0，两边乘5得 x² - 8x + 5 = 0， 解得 x = = = 4 ± 。 检验：x = 4 ± > 0，符合实际意义。 答：篮球在水平距离为(4-)m或(4+)m处，高度达到3m。 题型07 自变量取值范围的实际意义 19．（2024-2025九年级上·云南昆明·期中）用长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，设垂直于墙的一边长为x m，面积为S m²。则S与x的函数关系式中，自变量x的取值范围是（　　） A．x>0 B．0<x<20 C．0<x≤20 D．0<x<40 【答案】B 【分析】垂直于墙的边长为x，则平行于墙的边长为40-2x，必须大于0。 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为 (40 - 2x) m。 ∵ 边长必须为正，∴ x > 0 且 40 - 2x > 0，解得 0 < x < 20。 故选：B。 20．（2024秋·广西南宁·单元测）某商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可卖出100件。若每件涨价x元，则每天少卖10x件。设每天利润为W元，则W与x的函数关系式为__W = -10x² + 200x + 1000____，自变量x的取值范围是___0≤x≤10___。 【答案】W = -10x² + 200x + 1000；0≤x≤10 【分析】单件利润=40+x-30=10+x，销售量=100-10x，利润=单件利润×销售量。 【详解】解：单件利润为 (40 + x - 30) = (10 + x) 元，销售量为 (100 - 10x) 件。 W = (10 + x)(100 - 10x) = -10x² + 200x + 1000。 自变量取值范围：∵ 100 - 10x ≥ 0，∴ 0 ≤ x ≤ 10。 21．（2024-2025九年级上·贵州贵阳·月考）从地面竖直向上抛出一小球，高度h(m)与时间t(s)满足 h = -5t² + 20t。则小球在运动过程中，高度h不低于15m的时间共有（　　） A．1s B．2s C．3s D．4s 【答案】B 【分析】令h≥15，解不等式-5t²+20t≥15，求t的范围。 【详解】解：令 h ≥ 15，即 -5t² + 20t ≥ 15， 整理得 t² - 4t + 3 ≤ 0，即 (t - 1)(t - 3) ≤ 0， 解得 1 ≤ t ≤ 3。 ∴ 高度不低于15m的时间为 3 - 1 = 2s。 故选：B。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）某商店销售一种商品，每件进价为60元，当售价为每件80元时，每天可售出100件。经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出10件。设每件降价x元，每天的利润为W元。要使每天获得的利润最大，每件应降价（　　） A．3元 B．5元 C．8元 D．10元 【答案】B 【分析】W=(80-x-60)(100+10x)=(20-x)(100+10x)=-10x²+100x+2000，顶点x=5。 【详解】解：W = (20 - x)(100 + 10x) = -10x² + 100x + 2000 = -10(x - 5)² + 2250。 ∵ a = -10 < 0，∴ 当 x = 5 时，W最大。 故选：B。 2．（2024秋·上海闵行·月考）用长为18m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃，设垂直于墙的一边长为x m，面积为y m²。则y的最大值为（　　） A．18m² B．20m² C． m² D． m² 【答案】D 【分析】一面靠墙，篱笆围三边，垂直于墙的边长为x，则平行于墙的边长为18-2x，y=x(18-2x)。 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为 (18 - 2x) m。 y = x(18 - 2x) = -2x² + 18x = -2(x - 4.5)² + 40.5 = -2(x - 4.5)² + 。 自变量取值范围：0 < x < 9。 ∵ a = -2 < 0，对称轴 x = 4.5，且 4.5 在 0 < x < 9 范围内， ∴ 当 x = 4.5 时，y最大 = 。 故选：D。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）某抛物线形拱桥，以水面为x轴，拱桥对称轴为y轴建立平面直角坐标系，其解析式为 y = - x² + 4。当水面宽为8m时，水面到拱顶的距离为（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 【答案】C 【分析】水面宽8m则x=±4，代入求y，水面到拱顶距离为顶点y值减去水面y值。 【详解】解：抛物线 y = - x² + 4 的顶点坐标为 (0, 4)，即拱顶高度为4m。 当水面宽为8m时，水面与抛物线交点的横坐标为 x = ±4。 将 x = 4 代入得：y = - × 16 + 4 = 0。 即水面在 x 轴上（y=0），拱顶高度为4m。 ∴ 水面到拱顶的距离为 4m。 故选：C。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个。若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个。设降价x元，每天利润为W元，则W与x的函数关系式为（　　） A．W = -x² + 10x + 600 B．W = -x² + 50x + 600 C．W = x² - 10x + 600 D．W = x² - 50x + 600 【答案】A 【分析】单件利润=100-x-70=30-x，销售量=20+x，W=(30-x)(20+x)。 【详解】解：单件利润为 (100 - x - 70) = (30 - x) 元， 销售量为 (20 + x) 个。 W = (30 - x)(20 + x) = -x² + 10x + 600。 故选：A。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动。设运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm²。则S的最大值为（　　） A．36cm² B．48cm² C．72cm² D．96cm² 【答案】A 【分析】PB=12-2t，BQ=4t，S=×PB×BQ=(12-2t)×4t=-4t²+24t。 【详解】解：由题意，PB = 12 - 2t，BQ = 4t。 S = ½ × PB × BQ = (12 - 2t)×4t = -4t² + 24t = -4(t - 3)² + 36。 自变量取值范围：0 ≤ t ≤ 6。 ∵ a = -4 < 0，对称轴 t = 3，且 3 在 0 ≤ t ≤ 6 范围内， ∴ 当 t = 3 时，S最大 = 36。 故选：A。 6．（2024秋·山东青岛·单元测）某工厂生产的某种产品，当年产量为x件时，总成本为(30000+200x)元，售价为每件500元。若要使工厂不亏本，则年产量x至少为（　　） A．50件 B．100件 C．150件 D．200件 【答案】B 【分析】不亏本即收入≥成本，500x≥30000+200x。 【详解】解：收入为 500x 元，成本为 (30000 + 200x) 元。 不亏本则 500x ≥ 30000 + 200x， 300x ≥ 30000，解得 x ≥ 100。 ∴ 年产量至少为100件。故选：B。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）用一根长为40cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为___100___cm²。 【答案】100 【分析】设长为x，则宽为20-x，面积S=x(20-x)，最大值在x=10时取得。 【详解】解：设矩形的长为x cm，则宽为 (20 - x) cm。 S = x(20 - x) = -x² + 20x = -(x - 10)² + 100。 当 x = 10 时，S最大 = 100。 8．（2024秋·四川成都·期中）某商品每件进价为40元，售价为每件60元时，每天可卖出300件。经市场调查，售价每上涨1元，每天少卖10件。则每件售价定为__65____元时，每天的利润最大。 【答案】65 【分析】设涨价x元，W=(60+x-40)(300-10x)=(20+x)(300-10x)=-10x²+100x+6000，顶点x=5。 【详解】解：设涨价x元，则单件利润为 (20 + x) 元，销售量为 (300 - 10x) 件。 W = (20 + x)(300 - 10x) = -10x² + 100x + 6000 = -10(x - 5)² + 6250。 当 x = 5 时，W最大，此时售价为 60 + 5 = 65 元。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）从地面竖直向上抛出一小球，高度h(m)与时间t(s)满足 h = -5t² + 30t。则小球在抛出后__3____s时达到最高点，最高点高度为___45___m。 【答案】3；45 【分析】配方h=-5(t-3)²+45，顶点(3,45)。 【详解】解：h = -5t² + 30t = -5(t² - 6t) = -5(t - 3)² + 45。 当 t = 3 时，h最大 = 45。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）某抛物线形拱桥，以拱顶为原点建立坐标系，解析式为 y = -0.04x²。当水面到拱顶的距离为9m时，水面的宽度为__30____m。 【答案】30 【分析】水面到拱顶距离9m则y=-9，代入求x。 【详解】解：当水面到拱顶的距离为9m时，y = -9。 令 -0.04x² = -9，解得 x² = 225，x = ±15。 ∴ 水面宽度为 2×15 = 30m。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）用长为24m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙长为10m。设平行于墙的一边长为x m，则x的取值范围是__0<x≤10____，养鸡场的最大面积为___70___m²。 【答案】0<x≤10；70 【分析】平行于墙的边长x≤10，垂直于墙的边长(24-x)/2>0，面积S=x(24-x)/2。 【详解】解：∵ 墙长10m，∴ 0 < x ≤ 10。 S = x(24 - x)/2 = -½x² + 12x = -½(x - 12)² + 72。 对称轴 x = 12，不在 0 < x ≤ 10 范围内。 ∵ a = -½ < 0，在 0 < x ≤ 10 上，S随x的增大而增大， ∴ 当 x = 10 时，S最大 = 10× = 10×7 = 70。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件。经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件。设销售单价提高x元，每天利润为W元。 （1）求W与x的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）W = -10x² + 80x + 200；（2）单价14元时最大利润360元 【分析】单件利润=10+x-8=2+x，销售量=100-10x，W=(2+x)(100-10x)。 【详解】解：（1）设销售单价提高x元，则单件利润为 (10 + x - 8) = (2 + x) 元， 销售量为 (100 - 10x) 件。 W = (2 + x)(100 - 10x) = -10x² + 80x + 200。 自变量取值范围：0 ≤ x ≤ 10。 （2）W = -10x² + 80x + 200 = -10(x - 4)² + 360。 ∵ a = -10 < 0，对称轴 x = 4，且 4 在 0 ≤ x ≤ 10 范围内， ∴ 当 x = 4 时，W最大 = 360。 此时销售单价为 10 + 4 = 14 元。 检验：x = 4 ≥ 0，100 - 10×4 = 60 > 0，符合实际意义。 答：销售单价定为14元时，每天获得的利润最大，最大利润是360元。 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，拱桥最高点O到水面AB的距离为4m。以O为原点建立坐标系。 （1）求抛物线的解析式； （2）现有一艘载有救援物资的小船，船宽4m，船顶为矩形，船顶高出水面1.5m。问：水位上升多少m时，小船开始不能通过桥洞？ 【答案】（1）y = -0.04x²；（2）水位上升1.1m时小船开始不能通过 【分析】（1）顶点(0,0)，过(10,-4)；（2）船宽4m则x=±2，求y，船顶高度限制。 【详解】解：（1）以拱顶O为原点，对称轴为y轴建立坐标系。 由题意，抛物线顶点为 (0, 0)，且过点 (10, -4)。 设 y = ax²，将 (10, -4) 代入得：-4 = 100a，a = -0.04。 ∴ y = -0.04x²。 （2）船宽4m，从中间通过时，船边缘对应的横坐标为 x = ±2。 将 x = 2 代入 y = -0.04x² 得：y = -0.04×4 = -0.16。 即桥洞在x=2处的高度比拱顶低0.16m。 正常水位时，水面在 y = -4 处，桥洞在x=2处的净空高度为 |-0.16 - (-4)| = 3.84m。 船顶高出水面1.5m，设水位上升h m后小船开始不能通过， 此时水面在 y = -4 + h 处，桥洞在x=2处的净空高度为 |-0.16 - (-4 + h)| = 3.84 - h。 令 3.84 - h = 1.5，解得 h = 2.34。 等等，让我重新理解。水位上升h后，水面y=-4+h，船顶y=-4+h+1.5=-2.5+h。 桥洞在x=2处y=-0.16。船顶不能超过桥洞，即-2.5+h ≤ -0.16，h ≤ 2.34。 所以水位上升2.34m时小船开始不能通过。 答：水位上升2.34m时，小船开始不能通过桥洞。 14．（2024秋·福建福州·单元测）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【答案】（1）降价10元或20元；（2）降价15元时盈利最多 【分析】（1）设降价x元，(40-x)(20+2x)=1200；（2）求W=(40-x)(20+2x)的最大值。 【详解】解：（1）设每件衬衫降价x元，则单件盈利 (40 - x) 元，销售量为 (20 + 2x) 件。 由题意得：(40 - x)(20 + 2x) = 1200， 展开得：800 + 80x - 20x - 2x² = 1200， 整理得：x² - 30x + 200 = 0， 即 (x - 10)(x - 20) = 0，解得 x₁ = 10，x₂ = 20。 检验：x=10时，40-10=30>0，20+20=40>0； x=20时，40-20=20>0，20+40=60>0，均符合实际意义。 答：每件衬衫应降价10元或20元。 （2）设每天盈利为W元，则 W = (40 - x)(20 + 2x) = -2x² + 60x + 800。 W = -2(x - 15)² + 1250。 ∵ a = -2 < 0，∴ 当 x = 15 时，W最大 = 1250。 检验：x=15时，40-15=25>0，20+30=50>0，符合实际意义。 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。设P、Q两点同时出发，运动时间为t s（0<t<6）。 （1）设△PBQ的面积为S cm²，求S与t的函数关系式； （2）当t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）S = -t² + 6t；（2）t=3时最大面积9cm² 【分析】PB=6-t，BQ=2t，S=½×PB×BQ。 【详解】解：（1）由题意，PB = 6 - t，BQ = 2t。 S = × PB × BQ = (6 - t)×2t = -t² + 6t。 自变量取值范围：0 < t < 6。 （2）S = -t² + 6t = -(t - 3)² + 9。 ∵ a = -1 < 0，对称轴 t = 3，且 3 在 0 < t < 6 范围内， ∴ 当 t = 3 时，S最大 = 9。 检验：t=3时，PB=3>0，BQ=6<12，符合实际意义。 答：（1）S与t的函数关系式为S = -t² + 6t；（2）当t=3s时，△PBQ的面积最大，最大面积是9cm²。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）某商店销售一种商品，每件进价为40元，当售价为每件60元时，每天可售出100件。经市场调查，售价每降低1元，每天可多售出10件。设每件降价x元，每天的利润为W元。则W与x的函数关系式为（　　） A．W = -10x² + 100x + 2000 B．W = -10x² + 200x + 2000 C．W = 10x² - 100x + 2000 D．W = 10x² - 200x + 2000 【答案】A 【分析】单件利润=60-x-40=20-x，销售量=100+10x，W=(20-x)(100+10x)。 【详解】解：设每件降价x元，则单件利润为 (60 - x - 40) = (20 - x) 元， 销售量为 (100 + 10x) 件。 W = (20 - x)(100 + 10x) = -10x² + 100x + 2000。 故选：A。 2．（2024·江苏苏州中考）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/件）：50，60，80；周销售量y（件）：100，80，40；周销售利润w（元）：1000，1600，1600。则该商品的进价为（　　） A．30元/件 B．35元/件 C．40元/件 D．45元/件 【答案】C 【分析】利润=（售价-进价）×销售量，代入第一组数据求进价。 【详解】解：设进价为a元/件。 由第一组数据：(50 - a)×100 = 1000， 50 - a = 10，解得 a = 40。 验证：(60-40)×80 = 20×80 = 1600，正确； (80-40)×40 = 40×40 = 1600，正确。 故选：C。 3．（2024·浙江杭州中考）设函数y = (x-1)² + 2，当x=___1___时，y取得最小值。 【答案】1 【分析】顶点式y=a(x-h)²+k，当x=h时取得最值。 【详解】解：y = (x - 1)² + 2 是顶点式，顶点坐标为 (1, 2)。 ∵ a = 1 > 0，∴ 当 x = 1 时，y取得最小值2。 4．（2024·山东济南中考）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件。试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大。 【答案】（1）w = -10x² + 700x - 10000；（2）单价35元时利润最大 【分析】（1）销售量=250-10(x-25)=500-10x，利润=(x-20)(500-10x)；（2）配方求顶点。 【详解】解：（1）由题意，销售量为 250 - 10(x - 25) = 500 - 10x 件。 w = (x - 20)(500 - 10x) = -10x² + 700x - 10000。 自变量取值范围：x ≥ 25，且 500 - 10x ≥ 0，即 25 ≤ x ≤ 50。 （2）w = -10x² + 700x - 10000 = -10(x - 35)² + 2250。 ∵ a = -10 < 0，对称轴 x = 35，且 35 在 25 ≤ x ≤ 50 范围内， ∴ 当 x = 35 时，w最大 = 2250。 答：（1）函数关系式为w = -10x² + 700x - 10000；（2）销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大。 5．（2024·湖北武汉中考）某商店销售一种商品，每件进价为40元。经市场调查，当售价为每件50元时，每天可售出200件；售价每提高1元，每天少售出10件。设每件售价为x元，每天的利润为W元。 （1）求W与x的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）W = -10x² + 1100x - 28000；（2）售价55元时最大利润2250元 【分析】（1）销售量=200-10(x-50)=700-10x，W=(x-40)(700-10x)；（2）配方求顶点。 【详解】解：（1）由题意，销售量为 200 - 10(x - 50) = 700 - 10x 件。 W = (x - 40)(700 - 10x) = -10x² + 1100x - 28000。 自变量取值范围：x ≥ 50，且 700 - 10x ≥ 0，即 50 ≤ x ≤ 70。 （2）W = -10x² + 1100x - 28000 = -10(x - 55)² + 2250。 ∵ a = -10 < 0，对称轴 x = 55，且 55 在 50 ≤ x ≤ 70 范围内， ∴ 当 x = 55 时，W最大 = 2250。 答：（1）W与x的函数关系式为W = -10x² + 1100x - 28000；（2）当每件售价定为55元时，每天的利润最大，最大利润是2250元。 6．（2024·广东广州中考）如图，抛物线y = -x² + bx + c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S。求S的最大值。 【答案】（1）y = -x² + 2x + 3；（2）S的最大值为27/8 【分析】（1）代入两点求b、c；（2）先求BC解析式，用铅垂高法求面积。 【详解】解：（1）将 A(-1, 0)、B(3, 0) 代入 y = -x² + bx + c： -1 - b + c = 0，-9 + 3b + c = 0， 解得 b = 2，c = 3。 ∴ 抛物线的解析式为 y = -x² + 2x + 3。 （2）由（1）知 C(0, 3)。设直线BC的解析式为 y = kx + 3， 将 B(3, 0) 代入得：0 = 3k + 3，k = -1。 ∴ 直线BC：y = -x + 3。 点P(m, -m² + 2m + 3)，过P作x轴垂线交BC于点Q(m, -m + 3)。 PQ = (-m² + 2m + 3) - (-m + 3) = -m² + 3m。 S = × PQ × OB = × (-m² + 3m) × 3 = - m² + m。 S = - (m -)² + 。 当 m = 时，S最大 = 。 答：（1）抛物线的解析式为y = -x² + 2x + 3；（2）S的最大值为。 7．（2024·陕西中考）某农作物的生长率p与温度t有关，经测算，p与t满足函数关系p = -0.01t² + 0.4t - 3（15≤t≤25）。 （1）当t为何值时，该农作物的生长率最大？最大生长率是多少？ （2）若要求生长率不低于0.75，求温度t的取值范围。 【答案】（1）t=20时最大生长率1；（2）15≤t≤25 【分析】（1）配方求顶点；（2）令p≥0.75解不等式。 【详解】解：（1）p = -0.01t² + 0.4t - 3 = -0.01(t² - 40t) - 3 = -0.01(t - 20)² + 4 - 3 = -0.01(t - 20)² + 1。 ∵ a = -0.01 < 0，对称轴 t = 20，且 20 在 15 ≤ t ≤ 25 范围内， ∴ 当 t = 20 时，p最大 = 1。 （2）令 p ≥ 0.75，即 -0.01(t - 20)² + 1 ≥ 0.75， ∴ -0.01(t - 20)² ≥ -0.25，(t - 20)² ≤ 25， ∴ -5 ≤ t - 20 ≤ 5，即 15 ≤ t ≤ 25。 又 ∵ 15 ≤ t ≤ 25，∴ 温度t的取值范围是 15 ≤ t ≤ 25。 答：（1）当t=20时，生长率最大，最大生长率为1；（2）温度t的取值范围是15≤t≤25。 8．（2024·重庆中考）某工厂设计了一款产品，成本为每件20元。投放市场进行试销，经调查，当销售单价为30元时，每天的销售量为200件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。设销售单价为x元，每天的利润为W元。 （1）求W与x的函数关系式； （2）若物价部门规定该产品的销售单价不得高于38元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）W = -10x² + 700x - 10000；（2）单价38元时最大利润2160元 【分析】（1）销售量=200-10(x-30)=500-10x，W=(x-20)(500-10x)；（2）对称轴x=35，但x≤38，35在范围内，顶点处最大。 【详解】解：（1）由题意，销售量为 200 - 10(x - 30) = 500 - 10x 件。 W = (x - 20)(500 - 10x) = -10x² + 700x - 10000。 自变量取值范围：30 ≤ x ≤ 50（由销售量非负），又x ≤ 38，∴ 30 ≤ x ≤ 38。 （2）W = -10x² + 700x - 10000 = -10(x - 35)² + 2250。 ∵ a = -10 < 0，对称轴 x = 35，且 35 在 30 ≤ x ≤ 38 范围内， ∴ 当 x = 35 时，W最大 = 2250。 答：（1）W与x的函数关系式为W = -10x² + 700x - 10000；（2）当销售单价定为35元时，每天的利润最大，最大利润是2250元。 9．（2024·天津中考）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。设垂直于墙的一边长为x m，菜园的面积为S m²。 （1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）S = -2x² + 30x，6≤x<15；（2）x=7.5时最大面积112.5m² 【分析】（1）平行于墙的边长=30-2x，需≤18且>0，得6≤x<15；（2）配方求顶点。 【详解】解：（1）设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为 (30 - 2x) m。 S = x(30 - 2x) = -2x² + 30x。 自变量取值范围：∵ 0 < 30 - 2x ≤ 18，∴ 6 ≤ x < 15。 （2）S = -2x² + 30x = -2(x - 7.5)² + 112.5。 ∵ a = -2 < 0，对称轴 x = 7.5，且 7.5 在 6 ≤ x < 15 范围内， ∴ 当 x = 7.5 时，S最大 = 112.5。 检验：x=7.5时，30-2×7.5=15≤18，符合墙长限制。 答：（1）S与x的函数关系式为S = -2x² + 30x，自变量x的取值范围是6≤x<15；（2）当x=7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m²。 10．（2024·河南中考）某商店销售一种商品，每件进价为30元。经市场调查，当售价为每件40元时，每天可售出100件；售价每降低1元，每天可多售出20件。设每件降价x元，每天的利润为W元。 （1）求W与x的函数关系式； （2）当每件降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）若每件降价不超过3元，当每件降价多少元时，每天的利润最大？ 【答案】（1）W = -20x² + 100x + 1000；（2）降价2.5元时最大利润1125元；（3）降价3元时 【分析】（1）单件利润=10-x，销售量=100+20x；（2）配方求顶点；（3）x≤3，顶点x=2.5在范围内，仍在顶点处最大。 【详解】解：（1）设每件降价x元，则单件利润为 (40 - x - 30) = (10 - x) 元， 销售量为 (100 + 20x) 件。 W = (10 - x)(100 + 20x) = -20x² + 100x + 1000。 自变量取值范围：0 ≤ x ≤ 10。 （2）W = -20x² + 100x + 1000 = -20(x - 2.5)² + 1125。 ∵ a = -20 < 0，对称轴 x = 2.5，且 2.5 在 0 ≤ x ≤ 10 范围内， ∴ 当 x = 2.5 时，W最大 = 1125。 （3）若 x ≤ 3，对称轴 x = 2.5 仍在 0 ≤ x ≤ 3 范围内， ∴ 当 x = 2.5 时，W最大 = 1125。 答：（1）W与x的函数关系式为W = -20x² + 100x + 1000；（2）当每件降价2.5元时，每天的利润最大，最大利润是1125元；（3）若每件降价不超过3元，当每件降价2.5元时，每天的利润最大。 学科网（北京）股份有限公司 $