1.1.1　空间向量及其线性运算（第1课时)同步练习题 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“例题精练+基础夯实”分层设计，通过典型情境问题与基础题型结合，构建从概念辨析到运算应用的知识巩固路径，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|空间向量概念（模、相等、垂直）、线性运算化简、基底表示|结合长方体、正三棱柱情境，通过3道例题实现从单一概念到综合运算的过渡| |基础夯实|概念辨析、线性运算、向量表示应用|设置单选（6题）、多选（3题）、填空（3题），覆盖基础考点与简单综合，适配新授课巩固需求|

1.1.1　空间向量及其线性运算 （第1课时：空间向量的概念及线性运算） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】在长方体中，，写出由顶点构成的向量中： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由长方体体对角线相等，得到与模相等的向量； （2）结合题意，图形及相等向量定义可得答案； （3）由图结合长方体特征可写出与垂直的向量. 【详解】（1）由长方体体对角线相等，可得与模相等的向量有： ； （2）由图，与相等的向量有； （3）由图与垂直的向量有： 【例2】如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 【答案】(1)，如图所示 (2) 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则以及向量的运算法则化简，再根据向量关系在图中标出对应向量， （2）先对向量式子进行变形，再利用正三棱柱的性质和勾股定理求解. 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 【例3】如图，在长方体中，点M，N分别是，的中点，点O为的中点．设，，，用，，表示下列向量： (1)，，，； (2)，． 【答案】(1)； ； ； ； (2)； . 【分析】根据图形和空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）； ； ； ； （2）； . 【基础夯实】 一、单选题 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 2．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 3．在正方体中，已知下列各式：①；②；③；④，其中运算的结果为的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用向量的加法化简①②③④中的向量，即可得解. 【详解】如下图所示： 对于①，，①不满足； 对于②，，②满足； 对于③，，③满足； 对于④，，④满足. 故选：C. 4．如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 5．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 6．在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案. 【详解】连接，因为，分别是的中点， 所以 ， 故． 故选：A 二、多选题 7．下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 8．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】解：A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋； B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝； C中，＋＋＝＋； D中，－＋－＝＋＋＋. 故选：BD. 9．已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 三、填空题 10．已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量________.（用、、表示） 【答案】 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可. 【详解】如图所示， . 故答案为：. 11．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 12．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，线段EF的长度为1，则______. 【答案】 【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解. 【详解】    因为E，F分别为AD，BC的中点，所以 所以， . 故答案为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1　空间向量及其线性运算 （第1课时：空间向量的概念及线性运算） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】在长方体中，，写出由顶点构成的向量中： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量. 【例2】如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 【例3】如图，在长方体中，点M，N分别是，的中点，点O为的中点．设，，，用，，表示下列向量： (1)，，，； (2)，． 【基础夯实】 一、单选题 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，已知下列各式：①；②；③；④，其中运算的结果为的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 6．在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 8．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（    ） A． B． C． D． 9．已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量________.（用、、表示） 11．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 12．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，线段EF的长度为1，则______. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $