2.1.1 有理数的加法（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学教学设计聚焦有理数加法交换律、结合律及其应用，通过复习有理数加法法则，结合对称口算题（如30+(-20)与(-20)+30）引导学生发现交换顺序结果不变，搭建小学运算律与有理数运算的联系支架。 此资料以“计算—验证—归纳”探究链为主线，培养抽象能力与推理意识，通过相反数结合、凑整等五种策略提升运算能力，教材例题2（10袋小麦称重）体现应用意识。助力学生形成结构化思维，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

2.1.1 有理数的加法（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本课选自人教版七年级上册第二章《有理数的运算》2.1 有理数的加法与减法2.1.1 有理数的加法（第2课时）：加法交换律、结合律及其在有理数范围内的应用。 2.内容解析 本课时在学生已掌握“同号相加、异号相加、与 相加”的基础上，进一步揭示有理数加法的本质规律——交换律 与结合律 。通过“计算—验证—归纳”的探究链，学生可体会从特殊算例到一般规律的抽象过程，形成“数形结合＋类比迁移”的思维模型。教学重点是两条运算律的迁移应用；难点是将运算律与“相反数结合、同号结合、同分母结合、凑整、同类型结合”五种策略有机整合，实现多加数的简便运算。运算律不仅提高计算效率，更折射出数学结构的对称与统一，具有重要的知识价值与方法价值。 1.教学目标 •理解并掌握有理数加法的交换律和结合律，知道它们在有理数范围内仍然成立； •能运用两条运算律进行多个有理数的简便运算，熟练掌握相反数结合、同号结合、同分母结合、凑整、同类型结合、拆分组合等技巧； •经历“计算—验证—归纳”的探究过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养合情推理能力。 2.目标解析 •①能口述并正确书写 ；②能在不少于两种情境中选用合适的结合方式完成简便运算，计算准确率≥90%。 •①能独立完成“举例→猜想→验证→归纳”四步；②能用数轴或代数式两种方法阐释交换律、结合律成立的原因。 •①主动纠错、比较不同算法，表现出追求高效计算的意识；②在讨论中能倾听同伴意见并进行合理补充。 3.重点难点 • 教学重点：有理数加法交换律、结合律的理解与迁移应用。 • 教学难点：利用运算律设计“零化”“整化”策略，实现多加数的高效组合。 基础状况：七年级学生已掌握整数、小数、分数的加法交换律、结合律，对有理数概念及加法法则亦较熟悉，但往往停留在机械套用公式阶段。 认知特点：对符号运算的抽象性尚感陌生，喜欢直观实例；对“凑整”“相反数结合”有直观好感，可作为突破口。 可能困难： 忽视“符号随数走”，交换、结合时易漏写括号； 对含分数、小数、正负混合的算式缺乏整体规划，导致计算路径冗长。 教学对策：通过同伴互评、数轴演示及错例分析强化符号意识；设置多元素材（整数＋分数＋小数）分层训练，引导学生用“五种简便策略”统摄运算过程。 创设情景，引入新课 旧知复习： 上节课我们学习了有理数的加法法则，谁能说一说有理数加法的三条法则是什么？进行有理数加法运算的一般步骤是什么？ ①有理数加法的三条法则： ①同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 ②异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 ③一个数同0相加仍得这个数 ②有理数加法运算的一般步骤： ①一看 看两个加数是同号，还是异号，有没有 0 ②二定 确定用法则的哪一条 ③三算 先定符号，再算绝对值 新课引入 快速计算下列各题 （1）30＋(－20)＝_____ （2）(－20)＋30＝____ （3）[8＋(－5)]＋(－4)＝______ （4）8＋[(－5)＋(－4)]＝_____ 观察上面的计算结果，你发现了什么？ (1)(2)交换了顺序,(3)(4)改变了运算顺序 交换计算顺序后，计算的结果依旧不变 在小学，我们学过加法交换律和结合律，对于有理数的加法，它们还成立吗？这就是我们今天要研究的内容。 【设计意图】通过对称口算体验“顺序改变—结果不变”，让学生产生探究动机，为抽象运算律作感性铺垫。 探究一：有理数加法交换律 1.探究思考 计算 30＋(－20)和(－20)＋30，所得的和相同吗？ 所得的和相同： 30+(−20)=30−20=10 (−20)+30=−20+30=10 再尝试计算几组有理数加法算式，交换加数位置后计算，它们的结果是否相同？ 2.知识小结 从上述计算中，你能得出什么结论？ 加法交换律： 有理数加法中，交换两个加数的位置，和不变. 字母表示： a+b=b+a 易错点：利用有理数的加法交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时需加括号. 如：−6.6+2+(−3.4)=2+(−6.6)+(−3.4) 3.新知巩固 计算： （1）（﹣17）+59+（﹣37）；（2）（﹣0.5）+3+（﹣5）． 【分析】合理利用加法交换律简化计算． 解：（1）（﹣17）+59+（﹣37） ＝[（﹣17）+（﹣37）]+59 ＝（﹣54）+59 ＝5 （2）（﹣0.5）+3+（﹣5） ＝（﹣0.5）+（﹣5）+3 ＝﹣6+3＝-3 【设计意图】让学生在多次“换一换比一比”中自悟交换律的普适性与符号随行原则，突破符号误换难点。 探究二：有理数加法结合律 1.新知探究 计算[8+(−5)]+(−4)和8+[(−5)+(−4)]，所得的和相同吗？ 所得的和相同： [8+(−5)]+(−4)=3+(−4)=−1 8+[(−5)+(−4)]=8+(−9)=−1 例如：[(−2)+5]+(−3)=0 (−2)+[5+(−3)]=0 所得的和相同 2.知识小结 加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 字母形式：(a+b)+c=a+(b+c) 注：运算律也适用于三个以上的有理数相加多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加. 3.例题讲解 例 利用有理数的加法运算律计算. (+16)+(−22)+(+34)+(−78) 解：原式=(+16)+(+34)+(−22)+(−78) =[(+16)+(+34)]+[(−22)+(−78)]  =(+50)+(−100) =−50  4.新知巩固 用简便方法计算： （1）−4+17+(−36)+73；（2）． 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． 解：（1）原式 =[(−4)+(−36)]+(17+73)=−40+90=50； （2）原式 =(−+)+(−)=1−=． 【设计意图】通过“调括号—看结果—写字母”三步，完成从特殊算式到一般结论的抽象，培养类比与符号感。 探究三：灵活运用运算律简化运算 1.相反数结合法 ①计算:+(−6). 解: +(−6) =[(+)+(−)]+[6+(−6)]+(−)（和为0的两数相结合） =0+0+(−) =−.（求和） 利用相反数相加为0的特点，结合交换律与结合律可以简化运算. ②变式训练 计算: (−2.5)+++(−1)+(−10) 解：=(−+)+(−)−10 =0+0−10 =−10 2.同号结合法 ①计算：(−3)+4+(+2)+(−6)+7+(−5)． 解： (−3)+4+(+2)+(−6)+7+(−5) =(−3)+(−6)+(−5)+4+(+2)+7 =[(−3)+(−6)+(−5)]+[4+(+2)+7] =(−14)+13（正数、负数分别结合） =−1. （求和） 将符号相同的数放在一起，有利于简化计算. ②变式训练 (−1.5)+(+2.3)+(−2.1)+3.2+(−3)+(−1) 解：原式=[(−1.5)+(−2.1)+(−3)+(−1)]+(2.3+3.2) =(−7.6)+5.5 =−2.1 3.凑整法 ①计算：3.5+(−16.7)+(+6.5)+(−3.3)． 解： 3.5+(−16.7)+(+6.5)+(−3.3) =[3.5+(+6.5)]+[(−16.7)+(−3.3)] =10+(−20)（和为整数的数相结合） =-10（求和） 含有小数和分数的计算，使得小数或者分数化为整数可以使得计算更加简便. ②变式训练 计算：33.1+(−10.7)+(+22.9)+ 解：原式=33.1−10.7+22.9+0.7 =(33.1+22.9)+(−10.7+0.7) =56+(−10) =46 4.同类结合法 ①计算:5+34+4+(−16)+(−6.8)+(−4.2). 解: 5+34+4+(−16)+(−6.8)+(−4.2) =[34+(−16)]+(5+4)+[(−6.8)+(−4.2)] =18+9+(−11)（同类型的数结合） =16. （求和） 当加数包含整数、分数、小数等不同类型时，可将同类型的数分别相加，再进行计算. ②变式训练 4+(−18)+(−14)+(−3.5)+(−12)+(−6.5) 解：=(4−14)+(−3.5−6.5)+(−18−12) =(−10)+(−10)+(−30) =−50 5.归纳总结 五种简便运算方法： ①相反数结合法（和为 0）； ②同号结合法（正正、负负分别结合）； ③同分母结合法（避免多次通分）； ④凑整法（和为整数）； ⑤同类型结合法（整数、分数、小数分别结合）. 6.例题探究 教材例题1 计算：（1）8+(−6)+(−8)； （2）16+(−25)+24+(−35). 【分析】运用加法交换律与结合律重新组合加数，优先合并互为相反数、同号数实现简便运算. 解：(1) 8+(−6)+(−8) =[8+(−8)]+(−6)=0+(−6) =−6； （2）16+(−25)+24+(−35) =(16+24)+[(−25)+(−35)] =40+(−60) =−20. 教材例题2 10 袋小麦称后记录(单位：kg)如图 2.1-3 所示. 10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以 50 kg 为质量标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？ 【分析】以 50kg 为基准，把每袋质量转化为相对于标准量的正负差值，先求差值总和，再求出小麦总质量. 解法1：先计算10袋小麦一共多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5． 再计算总计超过多少千克： 502.5−50×10=2.5． 解法2：把每袋小麦超过50 kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数． 10袋小麦对应的数分别为 +0.5，+0.5，+0.8，−0.5，+0.6，+0.7，−0.8，−0.6，+0.9，+0.4． 0.5+0.5+0.8+(−0.5)+0.6+0.7+(−0.8)+(−0.6)+0.9+0.4 =[0.5+(−0.5)]+[0.8+(−0.8)]+[0.6+(−0.6)]+(0.5+0.7+0.9+0.4) =2.5． 50×10+2.5=502.5． 答：10袋小麦一共502.5 kg，总计超过2.5 kg． 【设计意图】在解决多样算式的过程中渗透运算律的综合应用，提升灵活计算与结构化思维能力。 1.计算: (−2.25)+(−)+(−4)+2 【分析】此题考查有理数的加减法, 根据有理数加法交换律交换加数位置, 根据简便算法计算即可. 解： (−2.25)+(−)+(−4)+2 =[(−2.25)+(−4)]+[2+(−)] =−6+2 =−4. 2.填空：(−12)+(+2)+(−5)+(+13)+(+4) ＝(−12)+(−5)+(+2)+(+13)+(+4)（加法______律） ＝[(−12)+(−5)]+[(+2)+(+13)+(+4)]（加法______律） ＝（______）＋（______）＝______． 解：交换，结合，-17，19，2 3. 计算： (1)(−23)+(+58)+(−17)； (2)(−2.8)+(−3.6)+3.6； 【分析】利用加法交换律、结合律，优先合并同号加数或互为相反数，简化有理数加法运算． 解：（1）(−23)+(+58)+(−17) =[(−23)+(−17)]+(+58) =(−40)+58 =18． （2）(−2.8)+(−3.6)+3.6 =(−2.8)+[(−3.6)+3.6] =(−2.8)+0 =−2.8． 4.计算：(1)(+1.25)+(−)+(−)+(+1) (2)(−34)+(+8)+(+5)+(−23) (1) 解：(+1.25)+(−)+(−)+(+1) =−−+ = (2) 解：(−34)+(+8)+(+5)+(−23) =−34+8+5−23 =−44 5.定义新运算 “△”，根据运算规律完成作答： (+4)△(+6)=+10，(−7)△(−2)=+9，(−5)△(+8)=−13，(+6)△(−3)=−9，0△(+5)=5，(−9)△0=9． (1)归纳 “△” 运算法则：两数进行△运算时，_________；任何数与0进行△运算时，___________． (2)计算：[(−4)△(+3)]△(−2)； 【分析】根据已知运算法则即可得到规律；根据规律求解即可. 解：（1）由已知运算可得，两数进行△运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与0进行△运算时，结果为这个数的绝对值； （2）[(−4)△(+3)]△(−2)=(−7)△(−2) =9 【设计意图】通过“多步运算 结构重组 规律探究”三环节，引导学生在熟练运用交换律、结合律的同时，综合运用“相反数结合、同号结合、凑整、同类型结合”等多种技巧，提高运算效率，发展迁移能力。 主板书 2.1.1 有理数的加法（第2课时） 探究一：有理数加法交换律 探究二：有理数加法结合律 探究三：灵活运用运算律简化运算 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $