25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，涵盖循环问题、销售问题、数字问题三大类型，通过篮球赛安排、握手次数等具体情境导入，承接方程解法知识，以问题探究与变式训练为支架，构建“解法-应用”的完整学习脉络。 其亮点在于以现实问题为载体，引导学生用数学眼光观察数量关系，通过问题链设计培养推理能力（数学思维），用方程模型精准表达关系（数学语言）。如销售问题结合利润公式分析降价与销量关系，循环问题区分单循环与主客场赛制，课堂小结明确解题步骤与类型。助力学生提升应用能力，为教师提供结构化、情境化的教学资源。

25.3 实际问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 第3课时 循环问题、销售问题、数字问题 人教版九年级上册 问题：某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一 场，故根据题意得 解得 x1＝6，x2＝−5(舍去)．∴x＝6. 答：共有6个班级参赛． 探究点1：循环问题 新知探究 例1 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？ 解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x −1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得 解得 x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴x＝5. 答：共有5个人参加聚会． 方法指导：握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2. 探究点1：循环问题 新知探究 【变式题】某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得 解得 x1＝9，x2＝−8(舍去)．∴x＝9. 答：共有9个班级参赛． 方法指导：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系. 探究点1：循环问题 新知探究 填空：假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时，可卖100件. (1)此时的利润w= 元； (2)若售价涨了1元，每件利润为_____元，同时少卖了10件，销售量为_____件，利润w=_____元; (3)若售价涨了2元，每件利润为_____元，同时少卖了20件，销售量为____件，利润w=_____元; 100 2 90 180 3 80 240 探究点2：销售问题 新知探究 (4)若售价涨了3元，每件利润为____元，同时少卖了30件，销售量为____件，利润w=______元; (5)若售价涨了x元，每件利润为________元，同时少卖了____件，销售量为__________ 件，利润w=______________元. 4 (1+x) 70 (100−10x) 10x 280 (1+x)(100−10x) 想一想 若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？ 解：设售价涨了x元， 依题意得(1+x)(100−10x)=300， 解得x1=4,x2=5. 即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润. 探究点2：销售问题 新知探究 ∴x=4. 变式训练 假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？ 解：设售价涨了x元， 依题意得(4+x)(100−5x)=640， 解得x1=4,x2=12. ∵售价不高于成本价的2.5倍， 即x+12≤2.5×8. ∴x≤8. 题目中有限定条件时，要注意取舍. 注意 即每千克糖应涨价4元. 探究点2：销售问题 新知探究 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得： （40−x)(20+2x)=1200 整理得，x2−30x+200=0 解方程得，x1=10，x2=20 答：每件衬衫应降价10元或20元. 例2 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 探究点2：销售问题 新知探究 增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 变式训练 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得： （40−x)(20+2x)=1200 整理得，x2−30x+200=0 解方程得，x1=10，x2=20 因为要尽快减少库存，所以x=10舍去. 答：每件衬衫应降价20元. 探究点2：销售问题 新知探究 1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润； 2.根据利润=销量×单件利润列方程； 3.解方程； 4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍； 5.作答. 解决销售中的“每...每...”问题的一般步骤 探究点2：销售问题 【归纳总结】 新知探究 问题： 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 解：设这个两位数个位数字为 x ，则十位数字为(x−3)，根据题意得 解得 x1＝5，x2＝6． 答：这个两位数是25或36. ∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3. 方法指导：解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数. 探究点3：数字问题 新知探究 知识点1　循环问题 1. 在一次会议上，每2个参加会议的人都互相握手1次，有人统计一共握了66次手，则这次参加会议的人数为（　C　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2. 若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话1次，共通话21次.设这些朋友一共x人，则可列方程为  x（x－1）＝21　. C x（x－1）＝21 随堂练习 3. 要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每2个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排6天，每天安排6场比赛，问：比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 解：∵ 赛程计划安排6天，每天安排6场比赛，∴ 共6×6＝36（场）比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛.∵ 每2个队之间只有1场比赛，∴ 可列方程为 x（x－1）＝36，解得x1＝9，x2＝－8（舍去）. ∴ 比赛组织者应邀请9个队参赛 知识点2　销售问题 4. 新情境 市场营销 某商店销售一批服装，每件进价为100元，原售价为150元，每天可售出20件.若每件降价x元（x为正整数），则每天的销量增加2x件，每天的利润为1600元.下列方程正确的是（　C　） C A. （150－x）（20＋2x）＝1600 B. （10－x）（20＋2x）＝1600 C. （150－x－100）（20＋2x）＝1600 D. （50－x）（20－2x）＝1600 5. 某水果店销售苹果，若按每千克8元的价格销售，每天可卖出50千克；若每千克每降价1元，则每天可多卖出10千克.现要使每天的销售额为400元（销售额＝售价×销量），设每千克降价x元，则可列方程为 　（8－x）（50＋10x）＝400　，解得x的值为 　3或0　. （8－x）（50＋10x）＝400　 3或0　 6. 新情境 数学文化 我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.试问：6210文能买多少株椽？ 解：设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x－1）文.依题意，得3（x－1）x＝6210，即（x－46）（x＋45）＝0.解得x1＝46，x2＝－45（舍去）.∴ 6210文能买46株椽 知识点3　数字问题 7. 两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（　B　） A. x（x－2）＝99 B. x（x＋2）＝99 C. x（x－1）＝99 D. （2x－1）（2x＋1）＝99 B 8. 一个正整数，它的平方比它的3倍大10，设这个正整数为 x，则可列方程为 　x2－3x－10＝0　，解得 x＝ 　5　（舍去负根）. 9. 已知两个正整数的和为17，积为66，求这两个正整数. 解：设其中一个正整数为x，则另一个数为17－x.依题意，得x（17－x）＝66.解得x1＝6，x2＝11.当x＝6时，另一个数为17－6＝11；当x＝11时，另一个数为17－11＝6.∴ 这两个正整数分别为6和11 x2－3x－10＝0　 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 新情境 游戏活动 印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏.八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里.其余十二高声喊，充满活跃的空气.告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是x，根据题意可列出的方程是（　D　） D A. （8x）2＝x－12 B. （8x）2＝x＋12 C. x＝ －12 D. x＝ ＋12 11. 某航空公司有若干个飞机场，每2个飞机场之间都开辟了1条航线，一共开辟了28条航线，该航空公司共有 　8　个飞机场. 12. 一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数. 解：设原来的两位数的十位数字为x.根据题意，得x（10x＋x＋4）＋10＝10（x＋4）＋x.整理，得11x2－7x－30＝0，解得x1＝2，x2＝－ （不合题意，舍去）.∴ x＋4＝6.∴ 原来的两位数为26 8　 13. （易错题）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出20双，每双盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双. （1） 若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ 解：（1） 由题意，得2×20＋20＝60（双）.∴ 若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出60双鞋子 （2） 若商场每天要盈利1750元，且让顾客尽可能多地得到实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 解：（2） 设每双鞋子应降价x元.根据题意，得（50－x）（20＋2x）＝1750.整理，得x2－40x＋375＝0，解得x1＝15，x2＝25.∵ 让顾客尽可能多地得到实惠，∴ x应取25.∴ 每双鞋子应降价25元 14. 新情境 市场营销 某运动品牌销售一款运动鞋.已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，平均每天能售出200双.经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋的销量y（双）与降低价格x（元/双）之间存在如图所示的函数关系. 解：（1） 设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.将（0，200），（10，300）代入，得 解得 ∴ y关于x的函数解析式为y＝10x＋200 （第14题） （1） 求y关于x的函数解析式. （2） 若公司希望销售这款运动鞋平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ 解：（2） 由题意，得（100－60－x）（10x＋200）＝8910，即x2－20x＋91＝0，解得x1＝7，x2＝13.∵ 优惠力度最大，∴ x＝13.∴ 100－x＝87.∴ 每双运动鞋的售价应该定为87元 （第14题） （3） 若要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50％，则公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由. 解：（3） 公司每天能获得9000元的利润　由题意，得（100－60－x）（10x＋200）＝9000.整理，得x2－20x＋100＝0.∴ x1＝x2＝10.∵ 每双运动鞋的利润不低于成本价的50％，∴ 100－60－x≥60×50％.∴ x≤10.∴ x＝10符合题意.∴ 100－x＝90.∴ 公司每天能获得9000元的利润，此时定价为90元/双 （第14题） 列一元二次方程解应用题 与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方要检验根的合理性. 数字问题 循环问题 销售问题 关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数. 握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.主客场赛制要注意每两个班之间都进行两场比赛. 常用公式：总利润=单件利润×销量=(售价−进价)×销量 步骤 类型 课堂小结 $