25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的循环问题与销售问题，通过握手次数实例（2人到x人）及利润公式导入，从具体到抽象搭建学习支架，引导学生建立方程模型。 其亮点是以生活实例（互赠照片、降价销售等）为载体，培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。采用探究式教学，课堂小结系统分类公式及应用，助力学生提升解决实际问题能力，为教师提供结构化教学资源。

人教版九年级上册 25.3 实际问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 第3课时 循环问题与销售问题 1. (1)2人两两握手，每人和他人握手___次，共握手___次； (2)3人两两握手，每人和他人握手___次，共握手___次； (3)4人两两握手，每人和他人握手___次，共握手___次； (4)x人两两握手，每人和他人握手________次，共握 手_________次. 1 1 2 3 3 6 (x－1) x(x－1) 导入新知 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 每两支球队之间比赛2场. 分析：如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1). 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300，那么 n(n–1)=300. 解方程，得 n = . 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 探索新知 解：设毕业晚会上一共有x位同学， 依题意，得x(x－1)＝90. 即x2－x－90＝0， 解得x1＝10，x2＝－9(不合题意，舍去). 答：毕业晚会上一共有10位同学. 1. 毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业晚会上一共有多少位同学？ 对应练习 2. 元旦期间，某交流群每两个成员之间都单独互发一条祝福短信，共发出30条短信，求这个群的人数. 解：设这个群的人数为x人. 依题意，得x(x－1)＝30， 解得x1＝6，x2＝－5(不合题意，舍去). 答：这个群的人数为6人. 对应练习 循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下： 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题、比赛问题（每两队之间赛一场） n(n−1) 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、比赛问题（每两队之间赛两场） n(n−1) 知识点1 循环问题 2. (1)某商品的进价是100元，售价是150元，则该商品的单件利润为____元. (2)某件商品的利润为5元/件，销售量为100件，则该商品总利润为______元. 1.(1)利润＝实际售价－成本； (2)总利润＝单位利润×销售量. 50 500 导入新知 探究4 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 分析：设每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 解：设当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 根据题意，得(40−x)(20+2x)= 1200. 整理，得 x2−30x+200=0. 解得x1=10，x2=20. 因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得 x≤15. 所以 x2=20 应舍去. 所以 x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元. 某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元. 商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利. 经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果需要盈利700元，那么每件降价多少元？ 解：设每件降价x元，则每件盈利(40－x)元，平均每天 可售出(10＋2x)件. 依题意，得(40－x)(10＋2x)＝700， 解得x1＝5，x2＝30. 答：每件降价5元或30元. 对应练习 销售问题中常见的几个等量关系： （1）利润 = 售价 − 进价； （2）利润率 = ×100% = ×100%； （3）售价 = 进价×（1+利润率）； （4）总利润 = 总售价−总成本=单件利润×销售总量. 知识点2 销售问题 1.循环问题： (1)互赠问题(特征：甲 乙)：若每两人之间进行2次活动，则x人共进行了x(x－1)次活动； (2)握手问题(特征：甲 乙)：若每两人之间进行1次活动，则x人共进行了 x(x－1)次活动； (3)x人握手总次数＝ x人互赠总次数× . → ⇆ 课堂小结 2.销售问题： (1)关系式：(售价－成本)×销售量＝总利润； (2)一般都是设涨价(或降价)x元，然后间接求定价或进货量. 课堂小结 1. 春节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红 包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包， 若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共 有(　B　) A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 B 课堂练习 A层 基础练 2. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的有 人. 3. (教材P24习题T3·改编)某足球联赛采用双循环赛制，如果赛 季结束后共比赛72场，那么共有 支球队参加比赛. 11　 9　 A层 基础练 4. 为了陶冶情操，开发智力，丰富课余生活，学校成立了课 外“象棋班”.开班仪式上，班内同学一一握手自我介绍(即每 位同学都和班内其他同学握手).老师对握手次数做了统计，全 班共握手105次，问：该“象棋班”共有多少名学生？ 解：设该“象棋班”共有x名学生，则每名学生应握(x－1) 次手. 由题意，得 x(x－1)＝105. 解得x1＝15，x2＝－14(不合题意，舍去). 答：该“象棋班”共有15名学生. 解：设该“象棋班”共有x名学生，则每名学生应握(x－1) 次手. 由题意，得 x(x－1)＝105. 解得x1＝15，x2＝－14(不合题意，舍去). 答：该“象棋班”共有15名学生. A层 基础练 5. 商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每 天售出30件，经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均 每天可多售出2件. (1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 件，每天 盈利 元. 40　 1 800　 A层 基础练 (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场 通过销售这种商品每天盈利可达到2 100元？ (2)解：设每件商品降价x元. 依题意，得(250－x－200)(30＋2x)＝2 100. 解得x1＝20，x2＝15. ∵为了让顾客得到更多的实惠， ∴x＝20. 答：每件商品降价20元时，商场每天盈利可达2 100元. (2)解：设每件商品降价x元. 依题意，得(250－x－200)(30＋2x)＝2 100. 解得x1＝20，x2＝15. ∵为了让顾客得到更多的实惠， ∴x＝20. 答：每件商品降价20元时，商场每天盈利可达2 100元. 5. 商场销售某种商品，进价200元，每件售价250元，平均每 天售出30件，经调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均 每天可多售出2件. A层 基础练 6. 电商时代使得网购更加便捷和普及.小张响应国家号召，自 主创业，开了家淘宝店.他购进一种成本为100元/件的新商 品，在试销中发现销售单价x(单位：元/件)与每天销售量y(单 位：件)之间满足如图所示的关系. (1)求y与x之间的函数关系式； 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0). 由题意，得 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋180. B层 提升练 (2)若某天小张销售该产品获得的利润为1 200元，求当天的销 售单价. (2)由题意，得(－x＋180)(x－100)＝1 200. 解得x1＝120，x2＝160. 答：当天的销售单价为120元/件或160元/件. (2)由题意，得(－x＋180)(x－100)＝1 200. 解得x1＝120，x2＝160. 答：当天的销售单价为120元/件或160元/件. 6. 电商时代使得网购更加便捷和普及.小张响应国家号召，自 主创业，开了家淘宝店.他购进一种成本为100元/件的新商 品，在试销中发现销售单价x(单位：元/件)与每天销售量y(单 位：件)之间满足如图所示的关系. B层 提升练 7. 水果店的张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千 克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100 kg.通过调 查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出 20 kg.为保证每天至少售出260 kg，张阿姨决定降价销售. (1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量 是 kg；(用含x的代数式表示) (100＋200x)　 C层 拓展练 (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每千克的售 价降低多少元？ (2)解：由题意，得(4－2－x)(100＋200x)＝300. 答：张阿姨需将每千克的售价降低1元. (2)解：由题意，得(4－2－x)(100＋200x)＝300. 解得x1＝0.5，x2＝1. 当x＝0.5时，100＋200x＝200＜260，不合题意，舍去； 当x＝1时，100＋200x＝300＞260，符合题意. 答：张阿姨需将每千克的售价降低1元. 7. 水果店的张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千 克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100 kg.通过调 查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出 20 kg.为保证每天至少售出260 kg，张阿姨决定降价销售. C层 拓展练 $