专题03 二次根式63道计算题专项训练（9大题型）-2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 聚焦二次根式9大核心题型63题，以题载法构建从概念化简到新定义运算的递进式训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式化简|7题（含数轴化简）|最简根式转化法|概念生成→性质应用| |四则运算|22题（含混合运算）|运算法则分层应用|法则推导→分步运算| |条件求值|8题（含整体代入）|代数变形技巧|已知条件→代数式转化| |分母有理化|7题（含材料阅读）|有理化因式法|分母化简→分式运算| |比较大小|7题（含作差法）|分子有理化策略|根式性质→大小比较| |实数运算|6题（含混合/新定义）|新运算规则迁移|知识拓展→综合应用|

第03讲 二次根式63道计算题专项训练（9大题型） 题型一 二次根式的化简 题型二 二次根式乘除运算 题型三 二次根式加减运算 题型四 二次根式混合运算 题型五 条件求值计算 题型六 分母有理化计算 题型七 比较二次根式的大小类计算 题型八 实数的混合运算 题型九 实数的新定义运算 【经典计算题一 二次根式的化简】 1．（2026·浙江台州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】根据零指数幂、二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级下·新疆和田·阶段检测）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的性质化简成最简根式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列各式化为最简二次根式．(字母均为正数) （1）；    （2）4；    （3）2；    （4）. 【答案】(1)；（2） ；（3）；(4). 【分析】根据最简二次根式的定义和最简二次根式必须满足两个条件进行化简计算即可． 【详解】解:(1)； (2)原式； (3)原式； (4)原式． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 4．（25-26八年级·上海奉贤·期中）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 5．（25-26八年级下·河南漯河·阶段检测）已知x，y为实数，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简二次根式，代数式求值，先根据二次根式被开方数的非负性求出x的值，进而求出y值，再代入求值即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 6．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】0 【分析】根据数轴确定a，b，c的正负性，再判断（a+c），（b﹣c）得正负性，然后用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：由数轴可知：a＜0，c＜0, b＞0，且 所以：a+c＜0，b﹣c＞0， 原式＝|a|﹣|a+c|+|b﹣c|﹣|b|， ＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b， ＝0． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质和化简，以及数轴上数的大小比较，运用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，解答此题得关键判断a，b，c的符号与大小． 7．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 【经典计算题二 二次根式乘除运算】 8．（25-26八年级下·北京·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：． 9．（25-26八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式乘除运算法则，分别计算系数部分和被开方数部分，再化简即可得到结果． 【详解】解： ． 10．（25-26八年级下·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可； （2）原式根据多项式乘多项式运算法则和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26八年级下·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 13．（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 14．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）计算：“”，其中“”部分印刷不清楚． ………………第一步 …………第二步 …………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)若“”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第______步开始出错的，正确的结果应该是______； (2)若原式的计算结果为，求“”代表的数． 【答案】(1)二，； (2)． 【分析】（）嘉淇的运算过程第二步出错，按照先计算乘除，再计算减法求解即可； （）由题意得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）他是从第二步开始出错的， 正确解法： ， 故答案为：二，； （2）解：若原式的计算结果为， 则， ∴． 【经典计算题三 二次根式加减运算】 15．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：． ． 16．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 17．（25-26八年级下·北京·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 18．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)（）． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）先化简二次根式到最简，再合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先化简二次根式到最简，再合并同类二次根式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（26-27八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（25-26八年级下·吉林·期末）已知，． (1)_______，_______． (2)求的值． 【答案】(1)，2 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴． 【经典计算题四 二次根式混合运算】 22．（25-26八年级下·陕西延安·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 23．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 28．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）按要求解答下列各小题： (1)化简； (2)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式分母有理化法则、二次根式的乘法法则，以及二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先求出，，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【经典计算题五 条件求值计算】 29．（25-26八年级下·北京大兴·期末）计算：已知，求的值． 【答案】 【分析】将代数式化为，再代入数值计算即可. 【详解】解：∵， ∴ . 30．（25-26八年级下·新疆克拉玛依·期中）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算出的值. 再计算得到的值． 【详解】解：，， ， ． 31．（25-26八年级下·吉林·阶段检测）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 32．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）化简：，并求出时式子的值． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 将代入原式得：． 33．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】（1）直接代入，利用平方差公式求解； （2）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：， ∴ ． 34．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解，整体代入法进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2） ． 35．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______． (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用分母有理化计算； (2)先分母有理化，然后合并即可； (3)先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）解： ； （3）， ， ∴，即． ∴． ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式． 【经典计算题六 分母有理化计算】 36．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再合并即可； （2）分子与分母都乘以即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可； （2）分子分母同时乘以即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 38．（2026·福建三明·二模）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 当时， 原式． 39．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知；，求：的值 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，分母有理数化，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 40．（2025·贵州·一模）已知：，，当时，求值． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简分式得到最简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 当时， 所以． 41．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 42．（2026·河北沧州·模拟预测）有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 【答案】化简过程不正确； 原式 ， 当 时，原式． 【详解】略 【经典计算题七 比较二次根式的大小类计算】 43．（25-26七年级下·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】下根据绝对值和算术平方根的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据绝对值和算术平方根的性质进行化简是解题的关键． 44．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，．试比较a与b的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，先将a分母有理化，即分子和分母都乘以，再根据平方差公式计算，并比较． 【详解】解：，， 所以． 45．（25-26七年级下·浙江台州·期中）（1）用“<”“>”“=”填空：__________ （2）由上可知：①________；②_________ （3）计算：（结果保留根号） ． 【答案】（1）＜，＜；（2）；；（3） 【分析】（1）根据被开方数越大，则算术平方根越大解答； （2）根据绝对值的性质，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0解答； （3）先根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后进行加减即可得解． 【详解】解：（1）∵1＜2＜3， ∴＜＜； （2）①∵， ∴； ②∵＜， ∴； （3） = =． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质与实数的运算，熟记绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键． 46．（25-26七年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_________________________(为正整数)． (2)利用上面的规律，计算 (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，即可写出第个等式； （2）根据规律将各项分母有理化即可求解； （3）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） （3）) 【点睛】本题考查了分母有理化，掌握平方差公式是解题的关键． 47．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)（为正整数）___________． (2)___________．（结果不含根号） (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)22 (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式， 对于（1），根据分母有理化的定义解答； 对于（2），先根据平方差公式将分母有理化，再合并同类二次根式； 对于（3），先求出两个数的倒数，再比较可得答案. 【详解】（1）解：原式. 故答案为：； （2）解：原式 ； 故答案为：22； （3）解：,理由如下：； . ∵， ∴， ∴. 48．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 49．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)解：，理由如下： ∵，，且， ∴． 【分析】本题考查的是分母有理化： （1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案； （2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）略 【经典计算题八 实数的混合运算】 50．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 51．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 52．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： ． 53．（25-26七年级下·青海玉树·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根，立方根计算即可； 【详解】解：原式． 54．（2026·湖北·模拟预测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 55．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号后再依次做加减运算即可； （2）先分别计算算术平方根、绝对值，再依次做加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 56．（25-26七年级下·甘肃定西·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题九 实数的新定义运算】 57．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确应用分数的性质将原式变形是解题关键． 根据题意将原式变形，进而根据分式的性质化简得出答案． 【详解】解： ． 58．（2026七年级上·全国·专题练习）（1）规定新运算，例如：．求的值； （2）当时，求代数式的值． 【答案】（1）-8（2）13 【分析】（1）根据新定义进行计算即可； （2）去括号，合并同类项之后代入的值即可． 【详解】解：（1） ． （2）原式 ． 当时， 原式． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． 59．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）对于有理数，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)定义的新运算“”是否满足交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2) (3) 解：∵， ∴“”满足交换律； 【分析】本题考查了新定义运算，读懂运算规则是解题关键． （1），即可求解； （2）先算，再计算，即可求解； （3）验证与是否相等即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）略 60．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数新定义运算； （1）由，代入，即可； （2）先求，代入即可； （3）由，，即可得，解得即可． 【详解】（1）解：由， 得； （2）由， 得； （3）由， ， ， 得， 得． 61．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1)3 (2) (3)不具有 ∵，， ∵， ∴， ∴， 所以这种新运算“*”不具有交换律. 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解题意是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）先计算，再计算即可求解； （3）验证是否成立即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： （3）略 62．（25-26七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． （1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）解：， 又， 故； （2）解：∵， 故； （3）解：∵， 故， ． 63．（25-26七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查实数的新定义运算，根据题意解答是解题的关键． （1）根据，分别求出、的值即可； （2）把与的实部、虚部分别相加，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1；i． （2）解：原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次根式63道计算题专项训练（9大题型） 题型一 二次根式的化简 题型二 二次根式乘除运算 题型三 二次根式加减运算 题型四 二次根式混合运算 题型五 条件求值计算 题型六 分母有理化计算 题型七 比较二次根式的大小类计算 题型八 实数的混合运算 题型九 实数的新定义运算 【经典计算题一 二次根式的化简】 1．（2026·浙江台州·模拟预测）计算：． 2．（25-26八年级下·新疆和田·阶段检测）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列各式化为最简二次根式．(字母均为正数) （1）；    （2）4；    （3）2；    （4）. 4．（25-26八年级·上海奉贤·期中）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 5．（25-26八年级下·河南漯河·阶段检测）已知x，y为实数，且，求代数式的值． 6．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简． 7．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【经典计算题二 二次根式乘除运算】 8．（25-26八年级下·北京·期末）计算：． 9．（25-26八年级上·上海·期中）计算：． 10．（25-26八年级下·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 11．（25-26八年级下·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) (3) 13．（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 14．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）计算：“”，其中“”部分印刷不清楚． ………………第一步 …………第二步 …………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)若“”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第______步开始出错的，正确的结果应该是______； (2)若原式的计算结果为，求“”代表的数． 【经典计算题三 二次根式加减运算】 15．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）计算：． 16．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： 17．（25-26八年级下·北京·期中）计算：． 18．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)（）． 19．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 20．（26-27八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（25-26八年级下·吉林·期末）已知，． (1)_______，_______． (2)求的值． 【经典计算题四 二次根式混合运算】 22．（25-26八年级下·陕西延安·期末）计算： 23．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）计算： (1) (2) 24．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 25．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 26．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)； (2) 27．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 28．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）按要求解答下列各小题： (1)化简； (2)已知：，，求代数式的值． 【经典计算题五 条件求值计算】 29．（25-26八年级下·北京大兴·期末）计算：已知，求的值． 30．（25-26八年级下·新疆克拉玛依·期中）已知：，，求代数式的值． 31．（25-26八年级下·吉林·阶段检测）已知，，求代数式的值． 32．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）化简：，并求出时式子的值． 33．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 34．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 35．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______． (2)化简； (3)若，求的值． 【经典计算题六 分母有理化计算】 36．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2) 37．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2) 38．（2026·福建三明·二模）先化简再求值：，其中． 39．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知；，求：的值 40．（2025·贵州·一模）已知：，，当时，求值． 41．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 42．（2026·河北沧州·模拟预测）有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 【经典计算题七 比较二次根式的大小类计算】 43．（25-26七年级下·上海·期中）计算： 44．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，．试比较a与b的大小． 45．（25-26七年级下·浙江台州·期中）（1）用“<”“>”“=”填空：__________ （2）由上可知：①________；②_________ （3）计算：（结果保留根号） ． 46．（25-26七年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_________________________(为正整数)． (2)利用上面的规律，计算 (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 47．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)（为正整数）___________． (2)___________．（结果不含根号） (3)比较与的大小，并说明理由． 48．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 49．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【经典计算题八 实数的混合运算】 50．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 51．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）计算：． 52．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）计算： 53．（25-26七年级下·青海玉树·期末）计算：． 54．（2026·湖北·模拟预测）计算：． 55．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）计算： (1)； (2)． 56．（25-26七年级下·甘肃定西·期中）计算 (1) (2) 【经典计算题九 实数的新定义运算】 57．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 58．（2026七年级上·全国·专题练习）（1）规定新运算，例如：．求的值； （2）当时，求代数式的值． 59．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）对于有理数，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)定义的新运算“”是否满足交换律？请写出你的探究过程． 60．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． 61．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 62．（25-26七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 63．（25-26七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $