专题02 二次根式运算重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理二次根式运算的4个核心知识点，涵盖加减、乘除及混合运算的法则与步骤，配合即时训练呈现知识脉络，清晰分布重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，14个基础题型覆盖同类二次根式、分母有理化等，2个提高题型聚焦新定义运算与阅读理解，结合高空抛物时间计算等实例培养运算能力与应用意识，自我检测助力分层提升，支持教师精准教学。

专题02 二次根式的运算重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、同类二次根式 1 题型二、二次根式的乘法 2 题型三、二次根式的除法 3 题型四、二次根式的乘除混合运算 4 题型五、分母有理化 5 题型六、二次根式的加减运算 6 题型七、二次根式的混合运算 7 题型八、比较二次根式的大小 8 题型九、已知字母的值，化简求值 9 题型十、已知条件式，化简求值 10 题型十一、二次根式的应用 11 题型十二、实数的混合运算 12 题型十三、与实数运算相关的规律题 13 题型十四、新定义下的实数运算 14 第二部分·练提高题型 题型一、二次根式的新定义运算 1 题型二、二次根式的阅读理解类问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则，二次根式的性质逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：、，故该选项错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不能直接合并，故该选项错误，不符合题意； 、，故该选项错误，不符合题意； 、根据二次根式的性质，当时，， ∵， ∴，故该选项正确，符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________； （2）___________． 【答案】 0 【分析】本题考查二次根式的加减法，正确化简二次根式是解答本题的关键． （1）原式化简，再合并即可； （2）原式化简，再合并即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：(1)；(2)0． 知识点02 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开方数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式合并法则、二次根式乘法法则、带分数开方的运算方法逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，，∴A错误； B选项：，∴B错误； C选项：∵，∴C正确； D选项：，∴，而，，∴D错误． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法等知识点，解题关键是掌握二次根式的乘法． 根据二次根式的乘法法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点03 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相除，等于各个被开方数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式. 2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算，则中的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘法运算解答即可求解，掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中的数是， 故答案为：． 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）计算×＋的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式乘法法则计算乘法，再化简二次根式后相加，即可得到结果． 【详解】解：×＋ ． 2．（2026·广东梅州·二模）计算：______． 【答案】 【分析】先化简二次根式、计算二次根式除法，然后合并即可． 【详解】解：． 【基础题型一 同类二次根式】 【例1】（25-26八年级上·四川德阳·期中）与可以合并的二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为5的二次根式，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为10，与被开方数不同，不能合并，不符合题意； B．是最简二次根式，被开方数为15，与被开方数不同，不能合并，不符合题意； C．，化简后被开方数为5，与被开方数相同，可以合并，符合题意； D．，是整数，不能与合并，不符合题意． 【例2】（25-26八年级下·江西赣州·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． 1．（25-26八年级下·广西钦州·期中）下列二次根式中，可与进行合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化为最简二次根式，判断被开方数即可得到结果． 【详解】解：∵ 化简后被开方数相同的同类二次根式可以合并，的被开方数是， 化简各选项得： A． 是最简二次根式，被开方数为，不符合要求； B． 是最简二次根式，被开方数为，不符合要求； C． ，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以合并，符合要求； D． ，是整数，不符合要求． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：两个最简二次根式 与 能合并， 与 的被开方数相同， ， 解得：． 故答案为：. 3．（24-25八年级下·陕西渭南·阶段检测）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，最简二次根式和是同类二次根式，可得，即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 的值为4． 【基础题型二 二次根式的乘法】 【例1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，无法合并，，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，符合题意； 选项D：，不符合题意． 【例2】（25-26八年级下·四川德阳·期中）计算的结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，利用二次根式乘法法则，先合并被开方数相乘，再化简得到结果． 【详解】解：根据二次根式乘法法则可得 ． 1．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：，选项式子计算错误； B：，选项式子计算错误； C：，选项式子计算错误； D：，选项式子计算正确． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）计算：________． 【答案】 【详解】解： 3．（25-26八年级下·新疆塔城·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，运用二次根式的乘除运算法则、合并同类二次根式法则、平方差公式，按法则逐步计算即可. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：. （4）解：. 【基础题型三 二次根式的除法】 【例1】（26-27八年级上·四川绵阳·期中）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 【例2】（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式. 2．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算的结果等于______． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则计算． 【详解】解： ． 【基础题型四 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 【例2】（2026·河北沧州·模拟预测）计算的结果为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 【详解】解：原式． 1．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 【基础题型五 分母有理化】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 【例2】（2026·上海杨浦·模拟预测）分母有理化后的结果是______ 【答案】 【分析】要去掉分母中的根号得到有理化结果，给原式分子分母同乘分母的二次根式化简即可． 【详解】解：给的分子分母同时乘以， 可得． 1．（25-26八年级下·云南昭通·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题利用分母有理化化简每一项，再通过裂项相消消去中间项得到结果，用到平方差公式进行分母有理化． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·上海·期末）已知，，，，比较、、的大小___________． 【答案】 【分析】对，，分别取倒数，分母有理化后比较倒数的大小，再根据正数的倒数越大，原数越小得到最终大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ，即， ∵正数中，倒数越大，原数越小， ∴． 3．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， ． 【基础题型六 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级下·天津·阶段检测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别化简计算A、B、C、D四个选项的等式左右两边，对比两边数值是否相等，以此判断运算是否正确． 【详解】解：选项A，，故A项错误． 选项B，与不是同类二次根式，无法合并化简， ，故B项错误． 选项C，，故C项正确． 选项D，，故D项错误． 【例2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：________________． 【答案】/ 【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：． 1．（25-26八年级下·青海西宁·阶段检测）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意； 不能合并，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 2．（2026·山西大同·模拟预测）计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·甘肃武威·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【基础题型七 二次根式的混合运算】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期末）已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据无理数的性质，等式中整数与无理数的系数对应相等，逐项推导即可判断． 【详解】①，，若， ，整理得， 均为正整数，开方开不尽，是无理数， ，即 ，， ，可得， 故不存在正整数同时满足和，故①错误． ②若，，代入得，整理得， 左边是正整数乘无理数，结果为无理数，右边是正整数的和，结果为有理数， 无理数不等于有理数， 不存在满足条件的，故②错误． ③当时，，展开得， ， ， 是正整数， ，得，同理， ，不存在正整数满足等式，故③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为． 【例2】（26-27八年级上·天津河西·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 1．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据运算程序列出算式，按顺序进行计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 2．（26-27八年级上·四川绵阳·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 3．（26-27八年级上·全国·单元复习）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，去括号没有变号 (2)解： ； (3)二次根式运算时要化到最简形式（答案不唯一） 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则的解答过程，即可判断出错的地方以及出错原因； （2）根据二次根式的性质和运算法则即可求出正确答案； （3）根据二次根式的性质合理建议即可． 【详解】（1）解：小明同学在计算去括号的时候忽略了括号前是负号， 去括号时应该变号， 第一步出错，出错的原因是去括号没有变号． （2）略 （3）解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，因此建议二次根式运算的结果要化成最简二次根式． 【基础题型八 比较二次根式的大小】 【例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正数的算术平方根的性质即可求解，当时，若，则． 【详解】∵四个选项中二次根式的被开方数都是正数，且， ∴， ∴值最大的是． 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）比较大小：________．（填“、”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 将化为，进而比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；②34 (3)a的值是，b的值为 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的含义可得答案； （2）①由，可得，进一步可得结论；②先把各项分母有理化，再合并即可. （3）把条件化为，再结合实数的性质进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. （2）解：①∵， ， 而， ∴， ∴； ② . （3）解：∵， ∴， 即， ， 解得， 即a的值是，b的值为． 【基础题型九 已知字母的值，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原式变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【例2】（25-26八年级下·福建福州·期中）若，求的值为______． 【答案】5 【分析】先进行分母有理化，再将代数式进行因式分解后，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 1．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知，则代数式的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．将代数式转化为，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选D． 2．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值．由题意得出，，再将式子变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：由已知，，， 则， ， ． 故答案为：8． 3．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】(1)， (2)1， (3)12或28 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ， ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、． （3）解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 【基础题型十 已知条件式，化简求值】 【例1】（26-27八年级上·河南周口·期中）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的变形，由已知和式推导差式的平方，再开方求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【例2】（25-26八年级下·江苏徐州·期末）若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先将所求多项式因式分解，再把已知的和的值整体代入计算即可求解． 【详解】解： 当，时 原式 1．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 2．（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）已知，求________． 【答案】 【分析】将进行平方，再将整体代入求值即可． 【详解】解： 将代入得： ∴（负值舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是整体代入法求值． 3．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)设，则_________． 【答案】(1) (2)      证明：        ， ∴猜想成立； (3)2027 【分析】（1）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可； （2）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可得到猜想，然后，再进行证明即可； （3）根据阅读材料发现的规律，通过分母有理化先化简，得到的值，再将的值代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：，             ；     （2）略 （3）解：根据阅读材料规律，得 ， ∴． 【基础题型十一 二次根式的应用】 【例1】（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 【答案】C 【分析】直接将代入公式，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 【例2】（2026·浙江绍兴·一模）魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若（其中a为正整数，整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为____．（结果保留两位小数） 【答案】9.85 【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将 改写为 的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，． ，． 将表示为，此时． 若取，则，． 因此取，， 代入近似公式，得： ． 1．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ）． A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】依据题意，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，则剩下的面积用大正方形的面积减去和的和即可． 【详解】解：由图知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和， 即， 则大正方形的面积为：， 故剩下部分的面积． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据公式计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 3．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 【答案】(1) (2)面积差为 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）分别计算出长方形和的面积，用长方形的面积减去小长方形的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴长方形ABCD的周长为：． （2）解：由题可得：长方形的面积 长方形的面积为：， ∴剩余部分的面积为：， ， ∴面积差为． 【基础题型十二 实数的混合运算】 【例1】（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）计算的结果为（    ） A．11 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）____________． 【答案】/ 【详解】解： ． 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）实数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数的性质，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数的倒数是， 故选：D． 2．（2026七年级下·湖南长沙·模拟预测）计算__________． 【答案】 【分析】先将其它三个数用和2014相关的数表示，再根据乘法结合律整理得出完全平方公式，然后根据算术平方根的性质开方，最后根据乘方法则计算得出答案． 【详解】解：原式， ． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)无理数的平方一定是正数； (2)两个无理数的积仍为无理数． 【答案】(1)正确，理由：因为无理数不为0， 所以无理数的平方一定是正数； (2)错误，理由：因为，结果是有理数，所以两个无理数的积不一定是无理数． 【分析】（1）根据无理数不为0，以及偶次方的非负性，即可解答； （2）找两个无理数乘积为有理数的，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型十三 与实数运算相关的规律题】 【例1】（25-26八年级下·云南文山·期末）有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第个数的通用表达式，再代入计算即可得到结果． 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）将1，，，按下列规律排列，若规定表示第m排从左至右第n个数，例如，表示．那么，表示和的数的积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知，第排有个数，以、、、四个数字为一组进行循环，前排共有个数字，进而确定与的数字，求积即可． 【详解】解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，第排有个数，从第一排到第排共有：个数，且每四个数一个循环，表示第排第5个数， ∵前4排共有个数， ∴为第个数， ， ∴表示的数是； ∵表示第10排第8个数即第53个数， ， ∴表示的数为， ∴表示和的数的积是； 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 【答案】 【分析】（1）根据前4个等式写出第5个等式即可； （2）根据前5个等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1个等式为，即 第2个等式为，即， 第3个等式为，即， 第4个等式为，即， 第5个等式为，即， 归纳推得：第n个等式为，其中n为正整数． 3．（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 【基础题型十四 新定义下的实数运算】 【例1】（2026·上海杨浦·模拟预测）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定（     ） A．1 B． 2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定，再根据新定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】 【分析】第一空根据“幸福数”的定义求出，再计算；第二空根据“幸福数”的定义表示出，化简后结合完全平方数和数位数字的要求，找出所有符合条件的“幸福数”，计算最大值与最小值的差． 【详解】解：∵“幸福数”满足千位数字与十位数字之差、百位数字与个位数字之差都为， ∴， 解得， ∴； 设四位“幸福数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据定义得十位数字，个位数字， ∵，是数位上的数字，需满足，，且，， ∴，，即，， ， ∵是完全平方数， ∴设，其中为正整数， 代入得， 化简得， 由，，得，即， 整理得，符合条件的正整数对应的为，，，，， 对应分别为，，，，， 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，得，不符合数位要求，舍去； 当时，，，，，数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； ∴符合条件的中，最大值为，最小值为，差为． 1．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）在平面直角坐标系中，任意两点，，规定运算： （1）； （2）； （3）当且时，，有下列四个命题：①若，，则，；②若，则；③若，则；④对任意点M、N、P，均有成立，其中错误的命题的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】①因为，，所以，，即，，故①正确； ②设，则，；而，所以，，则，，所以，故②正确； ③设，则，，而，则，不能得到，，所以不能判断，故③不正确； ④因为，，所以，故④正确． 综上所述，错误的命题为③共1个， 故选：D． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）约定：对于正整数，若两个正整数，满足，称，是关于的“完美数组”，将这个“完美数组”记为．如： 关于的“完美数组”共有组，分别是，．关于的“完美数组”是________，已知关于正整数的“完美数组”为，其中的，满足，则关于正整数的“完美数组”的组数共有________组． 【答案】 【分析】根据定义化简等式，结合正整数性质推导出完美数组满足，再分别计算所求结果． 【详解】解：根据“完美数组”定义，对于关于的完美数组，满足，，且，，均为正整数， 对等式因式分解得：， ∴ 或 ， ∵，，，均为正整数， ∴，不可能等于， ∴，整理得． 当时，则有，只有，符合条件， ∴关于的完美数组为； ∵关于正整数的“完美数组”为， ∴，． ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 即， ∴，解得， ∵是正整数， ∴可取，共种取值，每种对应唯一符合条件的，因此共有组． 3．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料，即可解决； （2）先确定循环周期为4，将指数2027除以4求得余数为3，可知，即可求解； （3）先算一个周期的和为0，再用总项数2027除以4得到506个周期余3项，可知剩余项为，根据总和＝周期和×周期数＋剩余项和，即可求解； （4）先确定总项数为12，再用总项数12除以4得到3个完整周期，根据每个周期的和为0 ，即可求解． 【详解】（1）解：，则的平方根为； （2）解：∵，，，，，，… ∴循环周期为4， ∴， ∴， （3）解：∵一个周期内4项和为：，且从到共2027项， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：∵从到共项， ∴， ∴． 【提高题型一 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数运算、二次根式的化简等知识．根据二次根式的性质化简逐项进行解答判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴或， 解得或， 故①错误； ②进行“新运算操作”得到， ∵在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ∴， 则， ∵在数轴上和的距离为8， ∴在数轴上找不到一个数，使得到和的距离之和为6， ∴无解， 故②错误， a，b，c的“新运算操作”结果为， 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 根据a，b，c的取值范围，化简结果可能存在的不同表达式共有8种． 故③错误， 故选：A 【例2】（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）用“#”定义一种新运算，根据定义的这种新运算得到下列各式：1#3＝5×1＋3＝8；3#（﹣1）＝5×3－1＝14；5#6＝5×5＋6＝31；（﹣6）#（﹣3）＝5×（﹣6）－3＝﹣33，若a，b是有理数，则这个定义的新运算是a#b＝______（用含a、b的代数式表示） 【答案】5a+b/ 【分析】由具体的实例抽象归纳出新定义的运算法则即可. 【详解】解： 1#3＝5×1＋3＝8； 3#（﹣1）＝5×3－1＝14； 5#6＝5×5＋6＝31； （﹣6）#（﹣3）＝5×（﹣6）－3＝﹣33， a#b＝ 故答案为： 【点睛】本题考查的是新定义运算，理解题意，确定新定义运算的运算法则是解本题的关键. 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下结果为4．计算如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，求⊕2的值； （2）请你定义一种新运算，使得实数和1在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】（1）3；（2）见解析 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）根据题意确定出所求新运算即可 【详解】解：（1）⊕2＝|2|+1 ＝21 ＝3； （2）定义：a*b＝﹣20（a﹣b），（答案不唯一）， *（1）＝﹣20×（1） ＝﹣20×（﹣1） ＝20． 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）（1）定义新运算：对于任意实数，，都有． 例如，．求的值； （2）请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2021．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】（1）-13；（2）见解析 【分析】（1）新定义的运算法则等于第一个数与这两个数的和积减去1，模仿计算即可； （2）注意到这两个数的积为1，所以再加2020即为2021． 【详解】解：（1）原式 ； （2）定义新运算：对于任意实数，，都有． ． 【点睛】本题考查了实数的运算，（2）问注意到这两个数的积为1是解题的关键． 3．（25-26八年级下·重庆江津·期末）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴ 【提高题型二 二次根式的阅读理解类问题】 【例1】（2026·河南南阳·模拟预测）阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：，，，，，，，则（　　） A．1 B． C．i D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得出变化规律，进而求出答案． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴每4个数据一循环， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了新定义，正确理解题意是解题关键． 【例2】（2026·辽宁盘锦·一模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：________． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，正确化简二次根式是解题关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·阶段检测）阅读理解题，下面我们观察： ．反之所以所以． 完成下列各题： (1)把写成的形式； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义，以及完全平方公式是解题关键． 2．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）阅读理解题：已知，将其分母有理化．小明同学是这样解答的：． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据题意可直接进行分母有理化； （2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解； （3）先分母有理化，然后再进行代值求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）阅读理解题： 已知a=，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： a==． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)若a=，求2a2+8a+1的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果； （3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案． 【详解】（1）解：=； （2）原式=-1+++…+ =； （3）∵a===， ∴a+2=， ∴（a+2）2=5， 即a2+4a+4=5， ∴a2+4a=1， ∴2a2+8a+1=2（a2+4a）+1=2×1+1=3． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，正确变形和运用整体思想是解此题的关键． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）已知最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，同类二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．最简二次根式与可以合并，说明与是同类二次根式，先将化为最简二次根式，然后让两式的被开方数相等即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， 即， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，由此计算即可得出结果，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴ ． 5．（25-26八年级下·安徽池州·期末）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，从而可得，求出矩形的面积为，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为，， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为， ∴该口袋公园的总面积为． 6．（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 7．（25-26八年级上·四川达州·期中）已知，则的值是_______． 【答案】或 【分析】 本题考查了二次根式的化简求值，此题的难点在于需考虑两种情况．由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：，；，． 【详解】 解：当，时， 原式； 当，时， 原式． 故答案为：或 ． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期中）若x，y为实数，且，求______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴原式． 9．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 10．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，用 4 张一样大小的长方形纸片排成一个正方形 ，长方形纸片的长 ， 图中空白部分是一个面积为 5 的小正方形，则正方形 的面积为_____． 【答案】125 【详解】解：∵空白部分是一个面积为 5 的小正方形， ∴空白部分小正方形的边长为， ∵长方形纸片的长 ， ， 正方形面积为. 11．（25-26八年级下·北京·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则解答即可； （2）根据二次根式的乘除运算求解即可； 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ； 12．（25-26八年级下·浙江湖州·阶段检测）已知二次根式， (1)如果该二次根式，求a的值； (2)已知为最简二次根式，且与能够合并． ①求a的值； ②求． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）两边同时平方得关于的方程，求解即可； （2）①根据同类二次根式的意义可求出的值， ②根据①的结论确定二次根式，根据二次根式的乘法运算，进一步得出答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ （2）①∵ 又∵为最简二次根式，且与能够合并，， ∴ ② 【点睛】本题考查了最简二次根式，二次根式的乘法运算，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 13．（25-26八年级下·云南·期中）某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化化简即可； （2）先利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； ，， ， ． 14．（25-26八年级下·四川南充·期中）已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)44 (3)3 【分析】（1）分子分母同乘以即可； （2）将每一项都进行分母有理化，再计算加减法即可； （3）先将的值进行分母有理化，再利用完全平方公式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：原式 ． （3）解：∵， ∴ ． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、同类二次根式 1 题型二、二次根式的乘法 2 题型三、二次根式的除法 3 题型四、二次根式的乘除混合运算 4 题型五、分母有理化 5 题型六、二次根式的加减运算 6 题型七、二次根式的混合运算 7 题型八、比较二次根式的大小 8 题型九、已知字母的值，化简求值 9 题型十、已知条件式，化简求值 10 题型十一、二次根式的应用 11 题型十二、实数的混合运算 12 题型十三、与实数运算相关的规律题 13 题型十四、新定义下的实数运算 14 第二部分·练提高题型 题型一、二次根式的新定义运算 1 题型二、二次根式的阅读理解类问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________； （2）___________． 知识点02 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开方数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）___________． 知识点03 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相除，等于各个被开方数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算，则中的数是______． 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）计算×＋的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东梅州·二模）计算：______． 【基础题型一 同类二次根式】 【例1】（25-26八年级上·四川德阳·期中）与可以合并的二次根式是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江西赣州·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 1．（25-26八年级下·广西钦州·期中）下列二次根式中，可与进行合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·阶段检测）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【基础题型二 二次根式的乘法】 【例1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·四川德阳·期中）计算的结果是_____． 1．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）计算：________． 3．（25-26八年级下·新疆塔城·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型三 二次根式的除法】 【例1】（26-27八年级上·四川绵阳·期中）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【例2】（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算的结果等于______． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期末）计算：． 【基础题型四 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河北沧州·模拟预测）计算的结果为____________． 1．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【基础题型五 分母有理化】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·上海杨浦·模拟预测）分母有理化后的结果是______ 1．（25-26八年级下·云南昭通·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 2．（25-26七年级下·上海·期末）已知，，，，比较、、的大小___________． 3．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【基础题型六 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级下·天津·阶段检测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：________________． 1．（25-26八年级下·青海西宁·阶段检测）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西大同·模拟预测）计算：__________． 3．（25-26八年级下·甘肃武威·期末）计算： (1) (2) 【基础题型七 二次根式的混合运算】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期末）已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（26-27八年级上·天津河西·期中）计算：______． 1．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·四川绵阳·期中）计算：______． 3．（26-27八年级上·全国·单元复习）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【基础题型八 比较二次根式的大小】 【例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列二次根式中，值最大的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）比较大小：________．（填“、”或“”） 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【基础题型九 已知字母的值，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·福建福州·期中）若，求的值为______． 1．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知，则代数式的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为______． 3．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【基础题型十 已知条件式，化简求值】 【例1】（26-27八年级上·河南周口·期中）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏徐州·期末）若，，则的值为_____． 1．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 2．（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）已知，求________． 3．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)设，则_________．                 【基础题型十一 二次根式的应用】 【例1】（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 【例2】（2026·浙江绍兴·一模）魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若（其中a为正整数，整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为____．（结果保留两位小数） 1．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ）． A．50 B．55 C．60 D．65 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为______． 3．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 【基础题型十二 实数的混合运算】 【例1】（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）计算的结果为（    ） A．11 B． C．1 D． 【例2】（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）____________． 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）实数的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·湖南长沙·模拟预测）计算__________． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)无理数的平方一定是正数； (2)两个无理数的积仍为无理数． 【基础题型十三 与实数运算相关的规律题】 【例1】（25-26八年级下·云南文山·期末）有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）将1，，，按下列规律排列，若规定表示第m排从左至右第n个数，例如，表示．那么，表示和的数的积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 3．（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【基础题型十四 新定义下的实数运算】 【例1】（2026·上海杨浦·模拟预测）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定（     ） A．1 B． 2 C．3 D．4 【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 1．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）在平面直角坐标系中，任意两点，，规定运算： （1）； （2）； （3）当且时，，有下列四个命题：①若，，则，；②若，则；③若，则；④对任意点M、N、P，均有成立，其中错误的命题的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）约定：对于正整数，若两个正整数，满足，称，是关于的“完美数组”，将这个“完美数组”记为．如： 关于的“完美数组”共有组，分别是，．关于的“完美数组”是________，已知关于正整数的“完美数组”为，其中的，满足，则关于正整数的“完美数组”的组数共有________组． 3．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 【提高题型一 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）用“#”定义一种新运算，根据定义的这种新运算得到下列各式：1#3＝5×1＋3＝8；3#（﹣1）＝5×3－1＝14；5#6＝5×5＋6＝31；（﹣6）#（﹣3）＝5×（﹣6）－3＝﹣33，若a，b是有理数，则这个定义的新运算是a#b＝______（用含a、b的代数式表示） 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下结果为4．计算如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，求⊕2的值； （2）请你定义一种新运算，使得实数和1在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）（1）定义新运算：对于任意实数，，都有． 例如，．求的值； （2）请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2021．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 3．（25-26八年级下·重庆江津·期末）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【提高题型二 二次根式的阅读理解类问题】 【例1】（2026·河南南阳·模拟预测）阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：，，，，，，，则（　　） A．1 B． C．i D． 【例2】（2026·辽宁盘锦·一模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：________． 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·阶段检测）阅读理解题，下面我们观察： ．反之所以所以． 完成下列各题： (1)把写成的形式； (2)化简：； (3)化简：． 2．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）阅读理解题：已知，将其分母有理化．小明同学是这样解答的：． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）阅读理解题： 已知a=，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： a==． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)若a=，求2a2+8a+1的值． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）已知最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽池州·期末）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______． 7．（25-26八年级上·四川达州·期中）已知，则的值是_______． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期中）若x，y为实数，且，求______． 9．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 10．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，用 4 张一样大小的长方形纸片排成一个正方形 ，长方形纸片的长 ， 图中空白部分是一个面积为 5 的小正方形，则正方形 的面积为_____． 11．（25-26八年级下·北京·期中）计算 (1) (2) 12．（25-26八年级下·浙江湖州·阶段检测）已知二次根式， (1)如果该二次根式，求a的值； (2)已知为最简二次根式，且与能够合并． ①求a的值； ②求． 13．（25-26八年级下·云南·期中）某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 14．（25-26八年级下·四川南充·期中）已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 学科网（北京）股份有限公司 $