第20章 二次根式 章节（10知识点回顾+20题型巩固）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册满分全攻略备考系列

第20章 二次根式 章节（10知识点回顾+20题型巩固） 目录 知识梳理 1.二次根式的概念 2．二次根式有意义的条件 3.二次根式的性质 4.化简二次根式 5.最简二次根式 6.同类二次根式 7.合并同类二次根式 8.二次根式的加法和减法 9.二次根式的乘法和除法 10.分母有理化 题型巩固 一、二次根式的识别 二、求二次根式的值 三、求二次根式中的参数 四、二次根式有意义的条件 五、利用二次根式的性质化简 六、复合二次根式的化简 七、最简二次根式的判断 八、化为最简二次根式 九、已知最简二次根式求参数 十、同类二次根式 十一、二次根式的乘法 十二、二次根式的除法 十三、二次根式的乘除混合运算 十四、二次根式的加减运算 十五、二次根式的混合运算 十六、分母有理化 十七、已知字母的值，化简求值 十八、已知条件式，化简求值 十九、比较二次根式的大小 二十、二次根式的应用 知识梳理 知识点1.二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 知识点2.二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 知识点3.二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 知识点4.化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 知识点5.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 知识点6.同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 知识点7.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 知识点8.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 知识点9.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 知识点10.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 题型巩固 题型一、二次根式的识别 1．下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二、求二次根式的值 3．下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 4．计算＝ ． 5．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型三、求二次根式中的参数 6．下列各式:， (b2) ,  , , ,其中是二次根式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个. D．5个 7．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 8．已知是整数，求自然数n的值． 题型四、二次根式有意义的条件 9．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 题型五、利用二次根式的性质化简 11．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）若，则 ． 12．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 13．（24-25八年级·上海·假期作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六、复合二次根式的化简 14．计算： 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 16．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 题型七、最简二次根式的判断 17．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 19．（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 题型八、化为最简二次根式 20．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 21．（22-23八年级上·上海静安·期中）化简： 22．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型九、已知最简二次根式求参数 23．若最简二次根式与能够合并，则a的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 24．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 题型十、同类二次根式 25．（24-25八年级上·上海·期末）下列二次根式中与是同类二次根式是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·上海·期中）在，，，中不是的同类二次根式的有 ． 27．分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 题型十一、二次根式的乘法 28．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： ． 29．计算：． 题型十二、二次根式的除法 30．已知长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·上海松江·期末）计算： ． 32．计算： 题型十三、二次根式的乘除混合运算 33．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（22-23八年级上·上海·单元测试）计算： ． 35．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 题型十四、二次根式的加减运算 36．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 38．（24-25八年级·上海·假期作业）合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十五、二次根式的混合运算 39．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·上海·假期作业）计算： ． 41．（24-25八年级上·上海·期末）计算： 题型十六、分母有理化 42．（24-25八年级上·上海闵行·期中）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 43．（23-24八年级上·上海杨浦·期中） 的一个有理化因式是（   ）． A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·上海·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级上·上海·阶段练习）写出的一个有理化因式 ． 46．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）当，时，求的值． 题型十七、已知字母的值，化简求值 47．已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 ． 48．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 49．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知，求的值． 题型十八、已知条件式，化简求值 50.化简（y＜0）的结果是（　　） A．y B．y C．﹣y D．﹣y 51．已知则的值是 . 52．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 题型十九、比较二次根式的大小 53．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 54．比较大小： 55．比较与的大小． 题型二十、二次根式的应用 56．已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”： . 57．（22-23八年级·上海·假期作业）如图所示，在面积为的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．    58．观察下列各式，........请按照上述三个等式及其变化过程，回答下列问题． （1）猜想________________. （2）猜想_____________________=. （3）试猜想第N个等式为_____________________________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 章节（10知识点回顾+20题型巩固） 目录 知识梳理 1.二次根式的概念 2．二次根式有意义的条件 3.二次根式的性质 4.化简二次根式 5.最简二次根式 6.同类二次根式 7.合并同类二次根式 8.二次根式的加法和减法 9.二次根式的乘法和除法 10.分母有理化 题型巩固 一、二次根式的识别 二、求二次根式的值 三、求二次根式中的参数 四、二次根式有意义的条件 五、利用二次根式的性质化简 六、复合二次根式的化简 七、最简二次根式的判断 八、化为最简二次根式 九、已知最简二次根式求参数 十、同类二次根式 十一、二次根式的乘法 十二、二次根式的除法 十三、二次根式的乘除混合运算 十四、二次根式的加减运算 十五、二次根式的混合运算 十六、分母有理化 十七、已知字母的值，化简求值 十八、已知条件式，化简求值 十九、比较二次根式的大小 二十、二次根式的应用 知识梳理 知识点1.二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 知识点2.二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 知识点3.二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 知识点4.化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 知识点5.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 知识点6.同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式． 知识点7.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式.) 知识点8.二次根式的加法和减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 知识点9.二次根式的乘法和除法 二次根式相乘：； 二次根式相除： 知识点10.分母有理化 1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。 题型巩固 题型一、二次根式的识别 1．下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 题型二、求二次根式的值 3．下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不符合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、2是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数． 4．计算＝ ． 【答案】1 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：原式， 故答案为1 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 5．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型三、求二次根式中的参数 6．下列各式:， (b2) ,  , , ,其中是二次根式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个. D．5个 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据形如（a≥0）的式子是二次根式，可得答案． 【详解】， (b2)，，符合二次根式的形式，故是二次根式； 的被开方数小于等于0，当小于0时无意义，不是二次根式； 被开方数不确定，不是二次根式； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数，根指数是2． 7．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 【答案】4 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案． 【详解】解：当5m+8=7时，m=-，不合题意， 当=2，即5m+8=28时，m=4， ∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，把各二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的二次根式称为同类二次根式． 8．已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 题型四、二次根式有意义的条件 9．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 10．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， 则， 总小于0， ， ， 故答案为：． 题型五、利用二次根式的性质化简 11．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）若，则 ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 12．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再根据化简即可. （2）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再化简即可. （3）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a-1的符号，再化简即可. 【详解】（1）      ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． 13．（24-25八年级·上海·假期作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解． 【详解】（1）解：由二次根式非负性，可得， ∴原式 ； （2）解：由二次根式非负性，结合，可得， ∴ 原式 ； （3）解：原式= ； （4）解：由二次根式非负性，即有，可得， ∴原式 ． 题型六、复合二次根式的化简 14．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式把式子化简，再进行计算． 【详解】解： ． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 题型七、最简二次根式的判断 17．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，被开方数含有能开得尽的因式，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意； 故选：A． 18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 【答案】1 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 则最简二次根式有1个， 故答案为：1． 19．（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点睛】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 题型八、化为最简二次根式 20．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式， B．与是同类二次根式， C．与不是同类二次根式， D．与不是同类二次根式， 故选：B． 21．（22-23八年级上·上海静安·期中）化简： 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据二次根式有意义的条件可得到，进而根据二次根式乘除的运算法则和最简二次根式的定义计算即可． 【详解】∵，，， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，牢记二次根式有意义的条件（被开方数大于等于）、二次根式的乘除的运算法则和最简二次根式的定义是解题的关键． 22．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【知识点】化为最简二次根式 【分析】（1）先将带分数化为分数再开方． （2）直接开方再分母有理化； （3）直接开方即可． （4）将小数化为分数后再开方． （5）通分后再开方． （6）通分后再开方，然后再分母有理化． 【详解】解：（1）原式==； （2）原式=x2=x； （3）原式==； （4）原式==ab； （5）原式==； （6）原式==． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错． 题型九、已知最简二次根式求参数 23．若最简二次根式与能够合并，则a的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】根据最简同类二次根式可以合并，即被开方数相同即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并， ∴， 解得：． 故选C． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的定义．解题的关键是熟知同类最简二次根式的被开方数相同． 24．（24-25八年级上·上海·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题主要考查同类二次根式及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴； 故答案为9． 题型十、同类二次根式 25．（24-25八年级上·上海·期末）下列二次根式中与是同类二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式，叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与是同类二次根式，符合题意； C、，与不是同类二次根式，不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选B． 26．（24-25八年级上·上海·期中）在，，，中不是的同类二次根式的有 ． 【答案】， 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．将各个二次根式分别化简即可求解． 【详解】解：，，，， ，不是的同类二次根式， 故答案为：，． 27．分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 【答案】(1) (2) 【知识点】同类二次根式 【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案； （2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案． 【详解】（1）∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2， 解得． （2）∵二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2n2， 解得a＝． 【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 题型十一、二次根式的乘法 28．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解 ． 故答案为：． 29．计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 题型十二、二次根式的除法 30．已知长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据题意可得算式，再计算即可． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握：． 31．（24-25八年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 32．计算： 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 题型十三、二次根式的乘除混合运算 33．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】分别根据二次根式的加减乘除运算法则，直接求解各选项即可． 【详解】解：A．，无法计算，故选项A错误， B. ，故选项B错误， C. ，故选项C正确， D. ，故选D错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 34．（22-23八年级上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】     ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 35．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 题型十四、二次根式的加减运算 36．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减法，根据二次根式的运算法则逐项计算可得正确结果. 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 37．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，先运用二次根式性质化简，再根据二次根式的加减混合运算进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 38．（24-25八年级·上海·假期作业）合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． （1）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十五、二次根式的混合运算 39．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A. 与不属于同类二次根式，不能运算，故A选项运算错误，不符合题意； B. ，故B选项运算错误，不符合题意； C. ，故C不符合题意； D. ，故D选项运算错误，不不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 40．（24-25八年级上·上海·假期作业）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 41．（24-25八年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算括号内的二次根式的加减法，然后计算二次根式的除法与乘法即可得． 【详解】解： ． 题型十六、分母有理化 42．（24-25八年级上·上海闵行·期中）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，二次根式的性质，根据有理化因式的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：B． 43．（23-24八年级上·上海杨浦·期中） 的一个有理化因式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据有理化因式的定义即可解答；掌握两个根式相乘的积为有理数成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 的一个有理化因式是． 故选A． 44．（24-25八年级上·上海·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数得到的倒数是，再把进行分母有理化即可得到答案． 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 45．（24-25八年级上·上海·阶段练习）写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键； 有理化因式即为与之乘积为有理式的因式，根据定义求解即可． 【详解】解：， ∴的一个有理化因式是， 故答案为：． 46．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）当，时，求的值． 【答案】4 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值，先进行分母有理化，求出的值，进而求出的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 题型十七、已知字母的值，化简求值 47．已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性质计算． 【详解】解：∵x＝2﹣， ∴（x﹣2）2﹣x＝（2﹣﹣2）2﹣（2﹣） ＝2﹣2＋ ＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确进行计算． 48．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 49．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】根据分式的除法化简，然后将化简，再代入分式的化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： ∵ ∴原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 题型十八、已知条件式，化简求值 50.化简（y＜0）的结果是（　　） A．y B．y C．﹣y D．﹣y 【答案】D 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据二次根式的概念求出x的符号,根据二次根式的性质化简即可. 【详解】由二次根式的概念可知, ,又, , 化简的结果是, 所以D选项是正确的. 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简,掌握二次根式的性质是解题的关键,注意二次根式的被开方数是非负数. 51．已知则的值是 . 【答案】-14 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据已知的等式可知a,b为负数，再根据分式的运算得到=，再根据完全平方公式的变形即可求解. 【详解】∵ ∴a,b为负数， ∴= ===-14 故填：-14. 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知分式的运算及乘方公式的运用. 52．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 【答案】或 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据题意，得，然后根据x，y都是有理数，判断出与也是有理数，据此推出，求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y都是有理数， ∴与也是有理数，且都为0， ∴ 即， 解得或， ∴或． ∴的值为或． 【点睛】本题考查了实数的计算，以及有理数的含义与应用，解题的关键是判断出与都是有理数． 题型十九、比较二次根式的大小 53．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论． 【详解】解：= ∵＞＞ ∴＞＞ ∴ 故选A． 【点睛】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键． 54．比较大小： 【答案】＜ 【分析】两边分别平方，比较平方的大小即可. 【详解】把两边分别平方得：，， 则，所以＜. 【点睛】本题是对实数比较大小的考查，熟练掌握实数比较大小的平方法是解决本题的关键. 55．比较与的大小． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题考查了二次根式比较大小，利用二次根式的性质把二次根号外的数放到二次根号内，比较被开方数即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 题型二十、二次根式的应用 56．已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”．如（1，1）使得2=4，（4，4）使得2所以（1,1）和（4，4）都是2的“理想数对”，请你再写出一个2的“理想数对”： . 【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解） 【知识点】二次根式的应用 【分析】因为2的值也是整数，所以要使、开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2. 【详解】当a=1，b=4时， 2 故成立， 所以答案可以是：（1，4）. 此题答案也可以为（4，1）. 【点睛】此题考查的是材料题，需要读懂材料在解决问题. 57．（22-23八年级·上海·假期作业）如图所示，在面积为的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．    【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】先求出正方形的边长为，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 58．观察下列各式，........请按照上述三个等式及其变化过程，回答下列问题． （1）猜想________________. （2）猜想_____________________=. （3）试猜想第N个等式为_____________________________. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）仔细观察题目中提供的三个等式以及变化过程后写出等式即可； （2）观察题中给出三个式子的结果与等号前的式子中的数字的关系后即可写出； （3）通过观察三个等式以及变化过程写出第n个等式，并利用二次根式的性质进行化简证明即可. 【详解】解：通过观察可知，等号左边的被开方数是一个整数+分数，分数分子是1，分母比整数大2，右边结果中根号外的数比左边的整数大1，根号内的数是左边的分数，由此可解答： （1）；故答案为 （2），故答案为 （3）；故答案为. 【点睛】本题考查与二次根式计算有关的找规律题目，解决此类问题的关键是找出题中给出的式子中的共同点以及变化的地方，就可以依据这些共同点猜想更多的符合题中要求的式子；在猜想第N个式子的时候一定要注意第一个式子中的数字与序号1有什么样的关系，那么第N个式子中的数字就和n有相应的关系. 学科网（北京）股份有限公司 $