专题01 二次根式及其性质 重难点题型专训 -2026-2027学年（沪教版五四版）八年级数学上册

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，系统梳理定义（形如√a,a≥0）、有意义条件（被开方数非负及分母不为零）、性质（双重非负性、√a²=|a|等）、化简（最简二次根式条件及步骤），构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料设计基础（9大题型）、提高（非负性综合）、自我检测三级训练，例题选用各地期末真题，即时训练强化理解。通过题型变式培养运算能力与推理意识，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升综合解题能力。

专题01 二次根式及其性质重难点题型专训（4个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、二次根式的识别 1 题型二、求二次根式的值 2 题型三、求二次根式中的参数 3 题型四、二次根式有意义的条件 4 题型五、利用二次根式的性质化简 5 题型六、复合二次根式的化简 6 题型七、最简二次根式的判断 7 题型八、化为最简二次根式 8 题型九、已知最简二次根式求参数 9 第二部分·练提高题型 题型一、二次根式非负性综合问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点02 二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（25-26八年级·上海奉贤·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x的取值范围 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）当_________时，式子在实数范围内有意义． 【答案】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数满足 ， 解得． 知识点03 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（26-27八年级上·吉林长春·期中）下列二次根式中，最简二次根式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念：被开方数中不含有分母且被开方数中所有因式的幂的指数都小于，逐个排除即可． 【详解】解： ，被开方数含能开得尽方的因数， B不是最简二次根式． 、的被开方数均含分母，C、D不是最简二次根式． 的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，A是最简二次根式． 2．（25-26八年级·上海奉贤·期中）计算：_______；________． 【答案】 【分析】利用二次根式的基本性质计算即可，用到性质和． 【详解】解： ；． 知识点04二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 最简二次根式需满足被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式． ∵ 的被开方数为7，是整数且无开得尽方的因数， ∴ 是最简二次根式． ∵ ，，二者被开方数均含能开得尽方的因数， ∴ ，不是最简二次根式． ∵ 的被开方数含分母， ∴ 不是最简二次根式． 2．（25-26八年级下·广西钦州·期末）化简的结果为_________． 【答案】 【详解】解：． 【基础题型一 二次根式的识别】 【例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）下列式子不是二次根式的是（   ） A． B．（） C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义，逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断是否满足非负条件，从而选出不是二次根式的选项． 【详解】解：选项A：∵被开方数， ∴是二次根式，故A项不符合题意． 选项B：∵，满足被开方数非负的条件， ∴是二次根式，故B项不符合题意． 选项C：∵对任意实数，都有， ∴， ∴是二次根式，故C项不符合题意． 选项D：∵被开方数，不满足二次根式的定义， ∴不是二次根式，故D项符合题意． 【例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）请写出一个系数为正整数的二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一个系数为正整数的二次根式形如，其中系数k为正整数，被开方数a为非负数，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题意得一个系数为正整数的二次根式为（答案不唯一）． 1．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下面表中的式子，写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么？ 【答案】是二次根式，理由见解析． 【分析】根据形如（a≥0）是二次根式，可得答案． 【详解】解：第n个式子是，一定是二次根式， 理由如下：的被开方数是非负数， ∴是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用了二次根式的定义：形如（a≥0）是二次根式． 【基础题型二 求二次根式的值】 【例1】（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 【例2】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）当时，二次根式的值为__． 【答案】1 【分析】直接把代入，进而求出答案． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，直接代入x的值是解题关键． 1．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】把代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键． 2．（25-26八年级下·上海长宁·阶段检测）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式； （2）把已知数据代入求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时， ， ∴输出的结果是． 【基础题型三 求二次根式中的参数】 【例1】（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式性质将化简成，再根据是整数，需要让能开方为整数，即可求出的最小值． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 正整数的最小值是， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确分解因式是解答本题的关键． 【例2】（2026·河南洛阳·二模）代数式的值为0时，的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解题的关键． 根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，解得：． ∴的值为3． 故答案为：3． 1．（25-26八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 2．（25-26八年级下·新疆克孜勒苏·期中）如果，那么的值为______． 【答案】±5 【分析】根据算术平方根的意义分类讨论，可得答案． 【详解】解：，根据绝对值的定义，可得， 故答案为±5 【点睛】本题考查算术平方根的意义，根据a的取值情况进行分类讨论是解题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·随堂练习）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 【基础题型四 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·广西百色·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 选项中只有满足， 因此，实数的值可以是． 【例2】（25-26八年级下·山东威海·期末）要使有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，确定被开方数需大于，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需同时满足分式分母不为和二次根式的被开方数非负， 因此可得， 解不等式得． 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）使式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得． 2．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）使式子有意义的x的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：二次根式有意义要求被开方数非负，分式有意义要求分母不为， ， 且． 3．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 【基础题型五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）计算：（     ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】利用积的乘方和二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级下·上海·期末）填空：___________，___________，___________，___________． 【答案】 当为大于1的奇数时，;当为大于1的偶数时， 当为奇数时，；当为偶数时，取任意实数， 【分析】根据根式的运算性质，结合根指数的奇偶性分类讨论化简即可． 【详解】解：对于： 式子已经有意义，开次方后再做次方运算，运算相互抵消， ； 对于，分两种情况讨论： 当为大于1的奇数时，， 当为大于1的偶数时，； 对于： ，且恒成立， ； 对于： 根指数是偶数，被开方数需满足， 当为奇数时，，变形得， ， 当为偶数时，取任意实数，即，变形得， ， 综上所述，当为奇数时，；当为偶数时，取任意实数，． 1．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）二次根式的计算结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由即可得出结果． 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 3．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知，求与的近似值（结果保留小数点后两位）． 【答案】 的近似值为，的近似值为. 【分析】将两个二次根式化简为含的形式，代入已知近似值计算，保留两位小数即可． 【详解】解：，代入，得； ，代入，得． 【基础题型六 复合二次根式的化简】 【例1】（25-26八年级下·河北石家庄·阶段检测）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 【例2】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末），像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 3．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 【基础题型七 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级下·新疆塔城·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，的被开方数是3，满足两个条件，是最简二次根式； 选项B，的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 选项C，的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 选项D，的被开方数是能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． 【例2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，是最简二次根式的是___________ 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义，即满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2．（25-26八年级上·上海青浦·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式有______个． 【答案】2/两 【分析】根据最简二次根式的定义求解即可． 【详解】解：在二次根式，，，中，最简二次根式为，，共2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3．（26-27八年级上·北京·课堂例题）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】 解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】略 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【基础题型八 化为最简二次根式】 【例1】（2026·天津河西·二模）估计的值在（  ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题用夹逼法估计无理数的大小，先将转化为根号形式，再通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，即可确定取值范围． 【详解】解：， ，，且， ， 即， ∴的值在和之间． 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）实数（“27”依次不断出现）中，其中无理数有______个． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对所给实数逐一化简判断，即可得到无理数的个数. 【详解】解：∵ ，是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，属于有理数； ，整数属于有理数，因此是有理数； 是有限小数，属于有理数； （“27”依次不断出现）是无限循环小数，属于有理数； 综上，无理数共有个. 1．（25-26八年级下·云南怒江·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确最简二次根式的判定条件，即被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再对各选项逐一判定即可． 【详解】解：最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 选项A中的被开方数含有分母，∴不是最简二次根式． 选项B中，被开方数16是能开得尽方的整数，∴不是最简二次根式． 选项C中满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式． 选项D中，被开方数8含有能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是______型无理数． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： ∴是型无理数． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将变形为，然后得出，求出结果即可； （2）将变形为，然后得出，求出结果即可； （3）将变形为，然后得出，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意． 【基础题型九 已知最简二次根式求参数】 【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 1．（25-26八年级下·河南漯河·阶段检测）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 2．（25-26八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值______． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 3．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【提高题型一 二次根式非负性综合问题】 【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）若a、b、c满足，，，，，则下列说法中：（1）中两负一正，（2），（3），（4），（5）．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据已知式子结合二次根式和绝对值的性质得到，，，，进而判断出，，，再分别判断． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴，，异号， ∴， ∴， ∴中两正一负，故（1）错误， ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确， ∵， ∴，又， ∴，故（3）正确， ∵，， ∴，即，故（4）正确， ∵，， ∴，故（5）错误， ∴错误的有2个， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，有理数的运算，能根据运算法则判断出相应字母的符号以及绝对值的大小是解题的关键． 【例2】（24-25八年级·上海嘉定·期中）二次根式的性质 （1） 的双重非负性：即①______ ；②______ ； （2）______ （3）______ 【答案】 a（a≥0） 【详解】解：（1）的双重非负性：即①；②； （2）； （3）； 故答案为：；；；； 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟记二次根式的性质进行判断． 1．（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)7或3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）非负实数，，，满足，设求p的最值． 【答案】的最小值为，的最大值为 【分析】本题考查了不等式的性质，二次根式的性质，根据题意得出，进而得出，同理，，，，即可求解． 【详解】解：∵非负实数，，，满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，，，， ∴． ∴的最小值为．（当，，，满足其中一个数是，另外三个数是时，可取最小值） ∵， ∴， ∴，当且仅当时取等号， ∴， ∴当且仅当，即时，的最大值为． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件，熟练掌握是解决问题的关键．由得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 4．（25-26八年级下·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找出单项式的系数和次数的变化规律，即可推出第n个单项式的表达式． 【详解】解：将已知单项式按序号整理可得： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， ... 根据规律可得，第个单项式的系数为，的次数为， ∴第个单项式为． 5．（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 6．（25-26八年级上·全国·阶段检测）当时，二次根式的值为________． 【答案】3 【分析】把x=-3代入已知二次根式，通过开平方求得答案． 【详解】解：把x=-3代入中，解得：＝3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了二次根式的定义．此题利用代入法求得二次根式的值． 7．（25-26八年级下·云南怒江·阶段检测）已知是整数，则自然数x的所有取值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，，，， 二次根式，，，，中是最简二次根式的是． 9．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·浙江台州·期末）对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 【答案】9或25/25或9 【分析】分两种情况，即或，分别列方程即可解答． 【详解】 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 综上，的值为或． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）判断下列各式，哪些是二次根式，哪些不是，为什么？ ，–，，，，． 【答案】答案见解析. 【详解】试题分析：根据二次根式的定义解答即可． 试题解析：解：，–，，符合二次根式的形式，故是二次根式； 是三次根式，故不是二次根式；被开方数小于0，无意义，故不是二次根式． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 14．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，________，________，________； (2)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：________； (3)拓展创新：已知，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）解不等式组中的两个不等式可求出x的值，进而可求出y的值，最后可得的值； （2）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，进而得到y的取值范围，再化简即可； （3）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于m的不等式组，解不等式组求出m的值，进而求出n的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴ ． 15．（25-26八年级下·山东聊城·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质重难点题型专训（4个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、二次根式的识别 1 题型二、求二次根式的值 2 题型三、求二次根式中的参数 3 题型四、二次根式有意义的条件 4 题型五、利用二次根式的性质化简 5 题型六、复合二次根式的化简 6 题型七、最简二次根式的判断 7 题型八、化为最简二次根式 8 题型九、已知最简二次根式求参数 9 第二部分·练提高题型 题型一、二次根式非负性综合问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式：________． 知识点02 二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（25-26八年级·上海奉贤·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）当_________时，式子在实数范围内有意义． 知识点03 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（26-27八年级上·吉林长春·期中）下列二次根式中，最简二次根式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级·上海奉贤·期中）计算：_______；________． 知识点04二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西钦州·期末）化简的结果为_________． 【基础题型一 二次根式的识别】 【例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）下列式子不是二次根式的是（   ） A． B．（） C． D． 【例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）请写出一个系数为正整数的二次根式________． 1．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下面表中的式子，写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么？ 【基础题型二 求二次根式的值】 【例1】（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）当时，二次根式的值为__． 1．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（25-26八年级下·上海长宁·阶段检测）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是__________． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【基础题型三 求二次根式中的参数】 【例1】（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南洛阳·二模）代数式的值为0时，的值为____________． 1．（25-26八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 2．（25-26八年级下·新疆克孜勒苏·期中）如果，那么的值为______． 3．（25-26八年级下·全国·随堂练习）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【基础题型四 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·广西百色·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山东威海·期末）要使有意义，则的取值范围是___________． 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）使式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）使式子有意义的x的取值范围是______． 3．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 【基础题型五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）计算：（     ） A． B．5 C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海·期末）填空：___________，___________，___________，___________． 1．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）二次根式的计算结果为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）计算的结果是______． 3．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知，求与的近似值（结果保留小数点后两位）． 【基础题型六 复合二次根式的化简】 【例1】（25-26八年级下·河北石家庄·阶段检测）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末），像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 3．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【基础题型七 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级下·新疆塔城·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，是最简二次根式的是___________ 1．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海青浦·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式有______个． 3．（26-27八年级上·北京·课堂例题）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【基础题型八 化为最简二次根式】 【例1】（2026·天津河西·二模）估计的值在（  ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）实数（“27”依次不断出现）中，其中无理数有______个． 1．（25-26八年级下·云南怒江·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是______型无理数． 3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【基础题型九 已知最简二次根式求参数】 【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 1．（25-26八年级下·河南漯河·阶段检测）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 2．（25-26八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值______． 3．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【提高题型一 二次根式非负性综合问题】 【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）若a、b、c满足，，，，，则下列说法中：（1）中两负一正，（2），（3），（4），（5）．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级·上海嘉定·期中）二次根式的性质 （1） 的双重非负性：即①______ ；②______ ； （2）______ （3）______ 1．（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）非负实数，，，满足，设求p的最值． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（25-26八年级下·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·阶段检测）当时，二次根式的值为________． 7．（25-26八年级下·云南怒江·阶段检测）已知是整数，则自然数x的所有取值为____________． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 9．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 10．（25-26八年级下·浙江台州·期末）对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）判断下列各式，哪些是二次根式，哪些不是，为什么？ ，–，，，，． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 14．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，________，________，________； (2)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：________； (3)拓展创新：已知，求的值． 15．（25-26八年级下·山东聊城·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $