专题04二次根式的运算精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

本讲义聚焦二次根式的运算核心知识点，系统梳理乘除法则（含逆用）、分母有理化、同类二次根式、加减与混合运算等内容。通过类比整式运算规律构建学习支架，落实运算结果化为最简二次根式的规范，为后续一元二次方程、勾股定理计算奠定基础。 该资料以类比与转化思想为特色，通过详细解题思路、重点辨析及常见错误分析培养学生运算能力与推理意识。题型覆盖基础到拔高，结合高空抛物时间计算等应用案例，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升代数运算能力与应用意识。

专题04二次根式的运算精讲学案 核心立意 二次根式的运算是二次根式性质的综合应用，也是实数运算的拓展。本节通过类比整式的运算规律，学习二次根式的乘除、分母有理化、加减与混合运算；掌握运算法则、运算律和乘法公式的使用，落实运算结果必须化为最简二次根式的规范；运用类比与转化思想提升代数运算能力，为后续一元二次方程、勾股定理的相关计算做好铺垫。 二次根式的乘法法则： =（a≥0，b≥0） 逆用：（a≥0，b≥0），用于根式化简。 两条式子都要求两个被开方数均为非负数。  二次根式的除法法则： （a≥0,b>0） 逆用：=（a≥0，b>0） 除式对应的被开方数不能等于 0。 分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 同类二次根式（加减运算基础） 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个根式叫做同类二次根式。 2. 判断步骤 ① 全部化为最简二次根式；② 对比被开方数，相同即为同类。 3. 举例：=2、=3，化简后被开方数都是 3，是同类二次根式。 4. 核心性质：只有同类二次根式才能合并加减，非同类不能合并 二次根式的加减运算： ① 将每一项化为最简二次根式；② 找出并合并同类二次根式；③ 合并时仅将系数相加减，被开方数与根号保持不变；非同类二次根式不能合并。 二次根式的混合运算： 运算顺序与整式一致：先乘除，后加减，有括号先算括号内。整式的运算律（交换律、结合律、分配律）、平方差公式、完全平方公式仍然适用。 运算结果规范：二次根式运算的最终结果必须化为最简二次根式，分母中不能含有根号。 重点辨析 1.乘除法则不能随意拆分：=仅在 a0, b0 时成立； 2.判断同类二次根式，化简是必要步骤。表面上被开方数不同，化简之后有可能相同。 3. 二次根式加减，不是把被开方数相加、相减；加减运算的本质是合并同类二次根式的系数。 4. 分母有理化不能只乘分母：只对分母乘以有理化因式，会改变分式的值，属于典型错误。 5. 乘法公式可以直接使用，但展开之后的每一项都要化简，最后整体化为最简形式。 6. 化简、乘除、加减的目标不同：乘除可以改变被开方数；加减只能改变系数，不能改变被开方数。 1. 使用乘除法则时，忽略 a0, b0, b>0 的取值限制，强行拆分含有负数的被开方数。 2. 不化成最简二次根式，直接依据原式判断是否为同类二次根式。 3. 强行合并非同类二次根式，错误地将被开方数相加减。 4. 分母有理化时，仅给分母乘有理化因式，忘记将分子同乘。 5. 混合运算中颠倒运算顺序，先进行加减，再进行乘除。 6. 使用平方差、完全平方公式时，漏写交叉项，展开之后不对各项进行化简。 7. 运算结束不检查格式，结果中保留分母里的根号，或保留可以开得尽方的因数。 8. 将根号外的系数移入根号内时，忘记把系数整体平方。 题型 考察方向 难度 题型一 同类二次根式 ★★ 题型二 二次根式的乘法 ★★ 题型三 二次根式的除法 ★★ 题型四 二次根式的乘除混合运算 ★★ 题型五 分母有理化 ★★★ 题型六 二次根式的加减运算 ★★ 题型七 二次根式的混合运算 ★★★ 题型八 比较二次根式的大小 ★★★ 题型九 已知字母的值，化简求值 ★★★ 题型十 已知条件式，化简求值 ★★★★ 题型十一 二次根式的应用 ★★★★ 题型十二 实数的混合运算 ★★★ 题型十三 与实数运算相关的规律题 ★★★★ 题型十四 新定义下的实数运算 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：同类二次根式 解题思路：① 把各个根式化成最简二次根式；② 对比化简之后的被开方数；③ 被开方数相同就是同类二次根式；④ 系数可以不同，不做判断依据。 注意：切勿直接用原式的被开方数判断。 1．请写一个二次根式___________，使它与是同类二次根式． 2．若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 3．若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 4．下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型二：二次根式的乘法 解题思路：① 确认被开方数非负：a0, b0；② 使用法则：=；③ 系数相乘，被开方数相乘；④ 把结果化为最简二次根式。 注意：不要把系数乘进被开方数里，除非先将系数平方。 5．计算：______． 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 7．计算：__________． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三：二次根式的除法 解题思路：① 确认范围：a0,b>}；② 使用法则：；③ 分别计算系数的商、被开方数的商；④ 结果化为最简二次根式。 9．________． 10．若，则______． 11．计算：____________． 12．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型四：二次根式的乘除混合运算 解题思路：① 系数、根式分开运算；② 根式部分合并到同一个根号内；③ 根号内统一做乘除运算；④ 开方后化简为最简二次根式。 注意：不要随意移动、拆分系数；运算顺序从左到右。 13．计算：_____． 14．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 15．计算：______． 16．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五：分母有理化 解题思路：① 判断分母类型：单项式，有理化因式是 ；二项式 m，有理化因式是m；② 根据分式基本性质，分子、分母同时乘有理化因式；③ 展开并化简；④ 检查分母不含根号，整体是最简形式。 注意：只乘分母会改变原式的值，是高频错误。 17．化简__________． 18．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 19．已知：，则的值是________． 20．已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 题型六：二次根式的加减运算 解题思路：① 将每一项化为最简二次根式；② 找出同类二次根式；③ 只合并同类项：系数相加减，根式部分保持不变；④ 不是同类的根式直接照抄。 注意：不化简就判断同类根式、直接加减被开方数，是最常见错误。 21．计算的结果是_______ 22．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 23．计算：________． 24．在下列算式中：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①④ 题型七：二次根式的混合运算 解题思路：① 遵守运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；② 可以使用乘法公式：平方差、完全平方公式；③ 每一步及时化简根式；④ 合并同类二次根式；⑤ 最终结果化为最简。 注意：用完全平方公式时，不要漏掉 2ab 这一项。 25．计算：_____． 26．估计的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 27．计算：______． 28．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 题型八：比较二次根式的大小 解题思路：① 正数可用平方法：分别平方，平方值大的根式更大；② 正数可用系数移入法：根号外正数先平方，再放入根号内，比较被开方数；③ 通用作差法：求两式之差，差>0则前者大；④ 先区分正负，正数一定大于负数。 注意：平方法、移入法只适用于正数，不能用于负数。 29．比较大小：_____． 30．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 31．比较大小：_____（填“>、<或=”）． 32．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 题型九：已知字母的值，化简求值 解题思路：① 先化简代数式，再代入数值；② 遇到 =|a|，结合字母取值去掉绝对值；③ 代入求值；④ 结果化为最简二次根式。 注意：直接代入大数容易计算出错，先化简是关键技巧。 33．已知：，代数式的值为________ 34．已知，代数式的值为（     ） A．2 B．4 C． D． 35．已知，，则的值是________． 36．若，则式子的值为（    ） A． B． C． D．4 题型十：已知条件式，化简求值 解题思路：① 优先整体代入，尽量不解出单个字母；② 变形条件式，构造 a+b, ab 等整体；③ 对所求式子因式分解或配方，匹配整体；④ 代入整体的值计算；⑤ 平方变形后，必要时检验有无增根。 注意：不要强行解复杂的无理方程，容易算错。 37．已知，则______． 38．，则______． 39．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 40．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 题型十一：二次根式的应用 解题思路：① 用二次根式表示长度、面积等未知量；② 根据题意列出算式；③ 完成二次根式运算；④ 根据实际意义舍去负结果；⑤ 写出带单位的答案。 注意：长度、面积不能是负数。 41．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 42．如图，三张大小不同的圆形纸片叠放在一起，三个圆心重合于点，以为半径的圆形纸片面积为，，则最大圆形纸片与最小圆形纸片的面积相差____ ．（结果保留） 43．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ）． A．50 B．55 C．60 D．65 题型十二：实数的混合运算 解题思路：① 识别运算：乘方、开方、绝对值、乘除、加减；② 按顺序计算：先乘方、开方，再乘除，最后加减；括号优先；③ 逐项化简根式、去掉绝对值；④ 合并有理数与同类二次根式；⑤ 整理成最简形式。 注意：常结合零指数、负指数幂，不要漏算、错算。 44．计算：__________． 45．已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 46．计算：________． 47．已知实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 题型十三：与实数运算相关的规律题 解题思路：① 算出给出的前几个式子；② 区分式子中固定不变和随序号变化的部分；③ 猜想通项规律；④ 用已有式子验证猜想；⑤ 用规律求解。 注意：不要仅凭1–2个式子下结论，必须验证。 48．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 49．有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 50．下列各个图形中，“·”的个数是a，“○”的个数用b表示，如：当时，，；当时，，；当时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为_________． 题型十四：新定义下的实数运算 解题思路：① 精读题干，抓住新运算的规则；② 把新运算翻译成常规实数运算；③ 严格按定义代入，不要默认交换律、结合律成立；④ 计算、化简结果。 注意：不要凭习惯套用旧运算律，一切以题目定义为准。 51．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如．请计算______． 52．定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 53．定义新运算为，则___________． 54．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有，这里“+”号表示数的加法，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解答题 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1) (2) 3．计算 (1) (2) 4．计算： (1) (2) 5．先化简，再求值：，其中． 6．已知，求的值． 7．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 8．拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次根式的运算精讲学案 核心立意 二次根式的运算是二次根式性质的综合应用，也是实数运算的拓展。本节通过类比整式的运算规律，学习二次根式的乘除、分母有理化、加减与混合运算；掌握运算法则、运算律和乘法公式的使用，落实运算结果必须化为最简二次根式的规范；运用类比与转化思想提升代数运算能力，为后续一元二次方程、勾股定理的相关计算做好铺垫。 二次根式的乘法法则： =（a≥0，b≥0） 逆用：（a≥0，b≥0），用于根式化简。 两条式子都要求两个被开方数均为非负数。  二次根式的除法法则： （a≥0,b>0） 逆用：=（a≥0，b>0） 除式对应的被开方数不能等于 0。 分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 同类二次根式（加减运算基础） 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个根式叫做同类二次根式。 2. 判断步骤 ① 全部化为最简二次根式；② 对比被开方数，相同即为同类。 3. 举例：=2、=3，化简后被开方数都是 3，是同类二次根式。 4. 核心性质：只有同类二次根式才能合并加减，非同类不能合并 二次根式的加减运算： ① 将每一项化为最简二次根式；② 找出并合并同类二次根式；③ 合并时仅将系数相加减，被开方数与根号保持不变；非同类二次根式不能合并。 二次根式的混合运算： 运算顺序与整式一致：先乘除，后加减，有括号先算括号内。整式的运算律（交换律、结合律、分配律）、平方差公式、完全平方公式仍然适用。 运算结果规范：二次根式运算的最终结果必须化为最简二次根式，分母中不能含有根号。 重点辨析 1.乘除法则不能随意拆分：=仅在 a0, b0 时成立； 2.判断同类二次根式，化简是必要步骤。表面上被开方数不同，化简之后有可能相同。 3. 二次根式加减，不是把被开方数相加、相减；加减运算的本质是合并同类二次根式的系数。 4. 分母有理化不能只乘分母：只对分母乘以有理化因式，会改变分式的值，属于典型错误。 5. 乘法公式可以直接使用，但展开之后的每一项都要化简，最后整体化为最简形式。 6. 化简、乘除、加减的目标不同：乘除可以改变被开方数；加减只能改变系数，不能改变被开方数。 1. 使用乘除法则时，忽略 a0, b0, b>0 的取值限制，强行拆分含有负数的被开方数。 2. 不化成最简二次根式，直接依据原式判断是否为同类二次根式。 3. 强行合并非同类二次根式，错误地将被开方数相加减。 4. 分母有理化时，仅给分母乘有理化因式，忘记将分子同乘。 5. 混合运算中颠倒运算顺序，先进行加减，再进行乘除。 6. 使用平方差、完全平方公式时，漏写交叉项，展开之后不对各项进行化简。 7. 运算结束不检查格式，结果中保留分母里的根号，或保留可以开得尽方的因数。 8. 将根号外的系数移入根号内时，忘记把系数整体平方。 题型 考察方向 难度 题型一 同类二次根式 ★★ 题型二 二次根式的乘法 ★★ 题型三 二次根式的除法 ★★ 题型四 二次根式的乘除混合运算 ★★ 题型五 分母有理化 ★★★ 题型六 二次根式的加减运算 ★★ 题型七 二次根式的混合运算 ★★★ 题型八 比较二次根式的大小 ★★★ 题型九 已知字母的值，化简求值 ★★★ 题型十 已知条件式，化简求值 ★★★★ 题型十一 二次根式的应用 ★★★★ 题型十二 实数的混合运算 ★★★ 题型十三 与实数运算相关的规律题 ★★★★ 题型十四 新定义下的实数运算 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：同类二次根式 解题思路：① 把各个根式化成最简二次根式；② 对比化简之后的被开方数；③ 被开方数相同就是同类二次根式；④ 系数可以不同，不做判断依据。 注意：切勿直接用原式的被开方数判断。 1．请写一个二次根式___________，使它与是同类二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则它们是同类二次根式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是最简二次根式，被开方数为2， 因此只需写出一个被开方数为2的最简二次根式，例如； 故答案为：（答案不唯一） 2．若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查同类二次根式，化简后被开方式相同的二次根式称为同类二次根式． 【详解】因为最简二次根式能与合并为一项，所以与是同类二次根式，可得 解得 故答案为： 3．若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，设（为正整数），整理得，从的最小正整数开始依次代入找到的最小正整数即可． 【详解】∵与是同类二次根式， ∴设（为正整数）， 整理得， 当 时，，不是正整数，不符合要求， 当 时， ，是正整数，符合要求， ∴的最小正整数是． 4．下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】A、与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与被开方数相同，故是同类二次根式； C、与被开方数不同，故不是同类二次根式； D、与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：B． 题型二：二次根式的乘法 解题思路：① 确认被开方数非负：a0, b0；② 使用法则：=；③ 系数相乘，被开方数相乘；④ 把结果化为最简二次根式。 注意：不要把系数乘进被开方数里，除非先将系数平方。 5．计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 7．计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加，减，乘，除法，根据二次根式的运算规则逐一验证各选项的正确性． 【详解】A．中的和不是同类二次根式，无法合并，结果错误． B．，计算正确． C．，原式错误． D．，原式错误． 故选：B． 题型三：二次根式的除法 解题思路：① 确认范围：a0,b>}；② 使用法则：；③ 分别计算系数的商、被开方数的商；④ 结果化为最简二次根式。 9．________． 【答案】 【详解】解：． 10．若，则______． 【答案】 【分析】由已知可得，按照二次根式的除法计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 11．计算：____________． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式计算平方项，再化简根式并计算除法项，最后合并同类项． 此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题． 【详解】解：． 故答案为：． 12．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0. A、，成立，符合题意； B、，但右边无意义，不成立，不符合题意； C、和无意义，不成立，不符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：A. 题型四：二次根式的乘除混合运算 解题思路：① 系数、根式分开运算；② 根式部分合并到同一个根号内；③ 根号内统一做乘除运算；④ 开方后化简为最简二次根式。 注意：不要随意移动、拆分系数；运算顺序从左到右。 13．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，观察算式，发现符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 14．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 15．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 16．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化． 根据二次根式运算法则，分别计算各个选项即可得出答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D 题型五：分母有理化 解题思路：① 判断分母类型：单项式，有理化因式是 ；二项式 m，有理化因式是m；② 根据分式基本性质，分子、分母同时乘有理化因式；③ 展开并化简；④ 检查分母不含根号，整体是最简形式。 注意：只乘分母会改变原式的值，是高频错误。 17．化简__________． 【答案】 【详解】解：． 18．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【详解】解： ． 故选A． 19．已知：，则的值是________． 【答案】/ 【分析】先将分母有理化化简，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 20．已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 【答案】 【分析】利用化去根号内的分母的方法，结合二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴． 题型六：二次根式的加减运算 解题思路：① 将每一项化为最简二次根式；② 找出同类二次根式；③ 只合并同类项：系数相加减，根式部分保持不变；④ 不是同类的根式直接照抄。 注意：不化简就判断同类根式、直接加减被开方数，是最常见错误。 21．计算的结果是_______ 【答案】 【详解】解：． 22．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次利用二次根式的计算法计算出结果，即可得到正确选项． 【详解】解：∵ 选项A：，∴ A错误； 选项B：，∴ B错误； 选项C：，∴ C正确； 选项D：，∴ D错误． 23．计算：________． 【答案】 【详解】解： 24．在下列算式中：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，逐一计算四个式子即可判断正误． 【详解】解：① 与 不是同类二次根式，不能直接合并，∴①错误； ② ，∴②正确； ③ ，∴③错误； ④ ，∴④正确； 综上，正确的是②④． 题型七：二次根式的混合运算 解题思路：① 遵守运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；② 可以使用乘法公式：平方差、完全平方公式；③ 每一步及时化简根式；④ 合并同类二次根式；⑤ 最终结果化为最简。 注意：用完全平方公式时，不要漏掉 2ab 这一项。 25．计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 26．估计的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ 原式的值在和之间． 27．计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 28．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 题型八：比较二次根式的大小 解题思路：① 正数可用平方法：分别平方，平方值大的根式更大；② 正数可用系数移入法：根号外正数先平方，再放入根号内，比较被开方数；③ 通用作差法：求两式之差，差>0则前者大；④ 先区分正负，正数一定大于负数。 注意：平方法、移入法只适用于正数，不能用于负数。 29．比较大小：_____． 【答案】 【详解】解：∵ ，， ， ∴． 30．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 31．比较大小：_____（填“>、<或=”）． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，判断两个数的正负性，根据有理数大小比较法则“负数小于正数”即可比较大小． 【详解】解：， ， ，， 可得， 根据负数小于正数，得． 32．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 题型九：已知字母的值，化简求值 解题思路：① 先化简代数式，再代入数值；② 遇到 =|a|，结合字母取值去掉绝对值；③ 代入求值；④ 结果化为最简二次根式。 注意：直接代入大数容易计算出错，先化简是关键技巧。 33．已知：，代数式的值为________ 【答案】/ 【分析】把所求式子变形为，进一步变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 34．已知，代数式的值为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先用公式法对代数式进行因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 35．已知，，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知求出，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； ； ； ∴， 故答案为：． 36．若，则式子的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先利用分母有理化求得的值，得到的值，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握分母有理化的法则是解题的关键． 题型十：已知条件式，化简求值 解题思路：① 优先整体代入，尽量不解出单个字母；② 变形条件式，构造 a+b, ab 等整体；③ 对所求式子因式分解或配方，匹配整体；④ 代入整体的值计算；⑤ 平方变形后，必要时检验有无增根。 注意：不要强行解复杂的无理方程，容易算错。 37．已知，则______． 【答案】2 【分析】先根据题目所给等式得到，，再推出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，正确得到，是解题的关键． 38．，则______． 【答案】 【分析】把已知条件两边平方得到（）2＝6，再根据完全平方公式得到（）2+4＝6，则利用二次根式的性质得结论． 【详解】∵， ∴（）2＝6， ∴（）2+4＝6， ∴||， ∵0＜x＜1， ∴． 故答案为：； 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 39．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的变形，由已知和式推导差式的平方，再开方求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 40．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 题型十一：二次根式的应用 解题思路：① 用二次根式表示长度、面积等未知量；② 根据题意列出算式；③ 完成二次根式运算；④ 根据实际意义舍去负结果；⑤ 写出带单位的答案。 注意：长度、面积不能是负数。 41．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．将代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得：当时，， 即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为， 故选：A． 42．如图，三张大小不同的圆形纸片叠放在一起，三个圆心重合于点，以为半径的圆形纸片面积为，，则最大圆形纸片与最小圆形纸片的面积相差____ ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，先求得中间圆形纸片的半径，即可得到最大圆形纸片与最小圆形纸片的半径，计算面积之差即可解答． 【详解】解：设， 则， 解得（负值舍去）， ， ，， 则最大圆形纸片与最小圆形纸片的面积相差， 故答案为：． 43．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ）． A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】依据题意，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，则剩下的面积用大正方形的面积减去和的和即可． 【详解】解：由图知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和， 即， 则大正方形的面积为：， 故剩下部分的面积． 题型十二：实数的混合运算 解题思路：① 识别运算：乘方、开方、绝对值、乘除、加减；② 按顺序计算：先乘方、开方，再乘除，最后加减；括号优先；③ 逐项化简根式、去掉绝对值；④ 合并有理数与同类二次根式；⑤ 整理成最简形式。 注意：常结合零指数、负指数幂，不要漏算、错算。 44．计算：__________． 【答案】3 【详解】解： ． 45．已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性以及求一个数的平方．根据非负数的性质，每个非负数都必须为0，从而求出和的值，然后计算的次方即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴， 故选：C． 46．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式 47．已知实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算与等式性质，解题关键是通过对已知等式进行运算求出、、的值． 本题可根据已知条件求出、、的值，再逐一分析选项． 【详解】∵，， ∴， ， ． 把代入， 解得． ∵， ∴， ∵， ∴． A．因为，所以，该选项错误，不符合题意； B．由前面计算可知，，所以，该选项正确，符合题意； C．因为，所以，该选项错误，不符合题意； D．因为，所以，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型十三：与实数运算相关的规律题 解题思路：① 算出给出的前几个式子；② 区分式子中固定不变和随序号变化的部分；③ 猜想通项规律；④ 用已有式子验证猜想；⑤ 用规律求解。 注意：不要仅凭1–2个式子下结论，必须验证。 48．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 49．有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第个数的通用表达式，再代入计算即可得到结果． 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 50．下列各个图形中，“·”的个数是a，“○”的个数用b表示，如：当时，，；当时，，；当时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为_________． 【答案】 【详解】解：当时，，， 当时，，， 当时，，， …．． ∴，， 当时．，， ∴． 题型十四：新定义下的实数运算 解题思路：① 精读题干，抓住新运算的规则；② 把新运算翻译成常规实数运算；③ 严格按定义代入，不要默认交换律、结合律成立；④ 计算、化简结果。 注意：不要凭习惯套用旧运算律，一切以题目定义为准。 51．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如．请计算______． 【答案】 【分析】根据给出的定义新运算，列出算式求解． 【详解】解：． 52．定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，先理解运算法则，按照从内到外的顺序，根据给定的运算法则逐步代入求解即可． 【详解】解：新运算法则为 则， ∴， A选项符合题意． 53．定义新运算为，则___________． 【答案】 【分析】根据题目中给定的新运算规则，先计算括号内的结果，再计算括号外的运算即可得到最终答案． 【详解】解：∵新运算规则为， ∴． 54．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有，这里“+”号表示数的加法，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用运算规则进行变形，通过代入特定值简化计算． 本题考查了新定义运算。正确理解定义，灵活变形计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵ 令，则， ∴  ， ∴， 即 ∴． 又 ∵ 故， ∴ ， 故选：A． 解答题 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，再计算； （2）先根据二次根式的乘法，再根据二次根式的加减法计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式． 6．已知，求的值． 【答案】 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 7．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原式进行分母有理化，分子分母同乘即可得到结果； （2）分子分母同乘，利用平方差公式化简即可得到结果； （3）先对原式每一项进行分母有理化，再抵消中间项计算最终结果； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 8．拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料，即可解决； （2）先确定循环周期为4，将指数2027除以4求得余数为3，可知，即可求解； （3）先算一个周期的和为0，再用总项数2027除以4得到506个周期余3项，可知剩余项为，根据总和＝周期和×周期数＋剩余项和，即可求解； （4）先确定总项数为12，再用总项数12除以4得到3个完整周期，根据每个周期的和为0 ，即可求解． 【详解】（1）解：，则的平方根为； （2）解：∵，，，，，，… ∴循环周期为4， ∴， ∴， （3）解：∵一个周期内4项和为：，且从到共2027项， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：∵从到共项， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $