第15章 综合实践与数学活动-【金牌导学案】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦第十五章“轴对称”的综合实践与数学活动，涵盖利用轴对称探究边与角关系、等腰三角形中相等线段探索及最短路径问题，通过活动初探、变式再探、类比深探搭建学习支架，衔接已学轴对称知识逐步深入。 其亮点是以问题情境驱动探究，如“将军饮马”问题通过作对称点转化为线段最短，培养数学眼光中的几何直观与空间观念，活动中全等证明、垂直平分线应用等发展数学思维的推理能力。学生能提升探究与逻辑推理能力，教师可借助分层素材实施高效教学。

 第十五章　 金牌导学案 轴对称 第十五章　综合实践与数学活动 利用图形的轴对称性探究图形中边与角的数量关系 【活动初探】在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． 第十五章　综合实践与数学活动 （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF. 证明：如图1，连接AD， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC. ∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF. 第十五章　综合实践与数学活动 【变式再探】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，△CFA和△BEA分别为等边三角形，CF与BE相交于点G，连接AG并延长，交BC于点D.求证：D为BC的中点． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，点A在BC的垂直平分线上． ∵△CFA和△BEA分别为等边三角形，∴∠ABE＝∠ACF＝60°. ∴∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACF，即∠GBC＝∠GCB. ∴GB＝GC.∴点G在BC的垂直平分线上． ∴AG是线段BC的垂直平分线．∴D为BC的中点． 第十五章　综合实践与数学活动 【类比深探】 （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠ABC＝30°，F为直线AD上一动点，E为射线CA上一动点（点E不与点A，C重合），BF＝EF，连接BE.当点F在点A上方时，猜想并证明AC，AE，DF的数量关系． 第十五章　综合实践与数学活动 解：DF＋ AC＝AE，理由如下：如图3，连接CF，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB＝30°.∴AD是BC的垂直平分线，∠BAC＝120°. ∴BF＝CF.∴∠FBC＝∠FCB.∴∠FBA＝∠FCA. ∵BF＝EF，∴EF＝CF.∴∠FEC＝∠FCE.∴∠FEA＝∠FBA. ∵∠EOF＝∠AOB，∠BAC＝120°，∴∠EFB＝∠BAE＝60°. 在AE上截取AN＝AF，连接FN， ∵∠ABC＝∠ACB＝30°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°. ∴∠EAF＝∠CAD＝60°.∴△AFN是等边三角形．∴∠NFA＝60°，AF＝FN. ∵∠EFB＝60°，∴∠EFB＝∠NFA＝60°.∴∠EFN＝∠BFA. 在△EFN和△BFA中， ∴△EFN≌△BFA(SAS).∴EN＝AB.∴AE＝EN＋AN＝AB＋AF. ∵在Rt△ACD中，∠ACD＝30°， ∴AD＝ AC.∴DF＝AF＋AD＝AF＋ AC.∴DF＋ AC＝AF＋AC＝AF＋AB＝AE. 图3 第十五章　综合实践与数学活动 探索等腰三角形中相等的线段 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 【问题初探】希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1.在△ABC中，AB＝AC， D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.经过合作，该小组的同学得出的结论是DE＝DF，并且展示了他们的证法如下： 第十五章　综合实践与数学活动 证明：如图1，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（依据1）. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF（依据2）. ∴DE＝DF. （1）请写出依据1和依据2的内容： 依据1：　　　　　　　　　　；　　　 依据2： ____________________. 第十五章　综合实践与数学活动 【类比探究】 （2）奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个结论：①在图2中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE＝DF仍然成立；②在图3中，若DE，DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，那么DE与DF的数量关系为　　　　　　； ： 第十五章　综合实践与数学活动 （3）未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图4，则CG与DE有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系：　　　　　　． ： 第十五章　综合实践与数学活动 探究最短路径问题 数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动． 第十五章　综合实践与数学活动 【情境再现，明晰原理】 （1）示例1：将最短路径问题（也称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图1，用直线l表示河岸，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后回到点B宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 第十五章　综合实践与数学活动 作法：如图2，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为饮马的地方，此时将军从点A走到点C，再回到点B所走路程的和最短．这样做所蕴含的数学原理：________________________________________________________________________. 第十五章　综合实践与数学活动 示例2：如图3，要在河岸l上建一座水泵房Q，修建引水渠Q到村庄P处． 施工人员的作法：过点P作PQ⊥l于点Q，将水泵房建在Q处，这样修建引水渠PQ最短，既省人力又省物力．这样做所蕴含的数学原理：____________________________________________________________________. 第十五章　综合实践与数学活动 【感悟方法，尝试应用】 （2）如图4，在等边三角形ABC中，AD是△ABC的中线，且AD＝4，E为AB边的中点，F为AD上一点，当BF＋EF的值最小时，在图4上标注点F的位置，并求出BF＋EF的最小值． 第十五章　综合实践与数学活动 【迁移拓展，综合应用】 （3）如图5，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D在斜边BC上，且BC＝4CD＝4，AE是△BAC的角平分线，F，G分别为AC，AE上一点，求DG＋FG的最小值． 第十五章　综合实践与数学活动 感谢聆听 $