第13章 三角形 核心思想归纳-【金牌导学案】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件围绕三角形核心思想展开，通过等腰三角形边长计算、内角和定理证明等例题导入，衔接三角形性质与分类讨论、转化、模型思想，搭建从具体问题到数学思想的学习支架。 其亮点在于以分类讨论解等腰三角形周长问题、多种转化方法证明内角和定理、“八字”模型应用为例，培养学生推理能力与模型意识，结合几何直观呈现解题过程。采用例题归纳思想方法，学生能提升数学思维与应用能力，教师可直接用于教学增强课堂效率。

 第十三章 金牌导学案 三角形 第十三章　核心思想归纳 分类讨论思想 1．已知等腰三角形ABC的两边长x，y满足丨x－4丨＋（y－5）2＝0，求△ABC的周长． 解：∵丨x－4丨＋(y－5)2＝0，∴x－4＝0，y－5＝0，∴x＝4，y＝5， 当x是腰，y是底边时，4＋4＞5，能组成三角形， 此时△ABC的周长为4＋4＋5＝13， 当y是腰，x是底边时，5＋5＞4，能组成三角形， 此时△ABC的周长为5＋5＋4＝14， 综上所述，△ABC的周长为13或14. 第十三章　核心思想归纳 方程思想 2．已知等腰三角形ABC的周长为19 cm，一腰上的中线把△ABC分成周长差是5 cm的两个三角形，试求△ABC三边的长． 解：设等腰三角形ABC的腰长为x cm，底边长为y cm，则x＋x＋y＝2x＋y＝19 cm， ∵一腰上的中线把△ABC分成周长差是5 cm的两个三角形，设中线长为m cm， ∴△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，3 cm . ∵3＋8＝11＞8，∴能组成三角形； 综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，3 cm. 第十三章　核心思想归纳 转化（化归）思想 3．证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在BC边上任取一点F，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点D，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 第十三章　核心思想归纳 （1）请从上面三种方法中任选一种进行证明． 选第一种： 证明：如图，过点F作FN∥AB，FE∥AC， ∴∠EFB＝∠C，∠NFC＝∠B， ∠A＝∠BEF，∠BEF＝∠EFN， ∴∠EFN＝∠A. ∵∠EFB＋∠EFN＋∠NFC＝180°， ∴∠C＋∠A＋∠B＝180°， 即三角形的内角和是180°； 第十三章　核心思想归纳 选第二种： 证明：如图，过三角形内任取一点D作DM∥BC，DN∥AB，DP∥AC， ∵DM∥BC，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3. ∵DN∥AB，∴∠B＝∠1，∠6＝∠5. ∵DP∥AC，∴∠6＝∠A，∠C＝∠2， ∴∠C＝∠3，∠A＝∠5，∠B＝∠4. ∵∠3＋∠4＋∠5＝180°， ∴∠C＋∠B＋∠A＝180°，即三角形的内角和为180°； 第十三章　核心思想归纳 选第三种： 证明：如图，过点A，C，B作AP∥CN∥BM， ∵AP∥CN，∴∠4＝∠3. ∵CN∥BM，∴∠2＝∠1.∴∠2＋∠3＝∠1＋∠4， ∵∠ACB＝∠2＋∠3，∴∠ACB＝∠1＋∠4. ∵AP∥BM，∴∠5＝∠ABM＝∠1＋∠ABC. ∵∠4＋∠5＋∠BAC＝180°， ∴∠ACB－∠1＋∠1＋∠ABC＋∠BAC＝180°， ∴∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°，即三角形的内角和为180°. 第十三章　核心思想归纳 （2）在第二种方法中：若点D为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？　　　　　（选填“可以”或“不可以”）. 可以 解：理由如下：如图，过点D作DM∥BC，DN∥AC，DH∥AB， ∵DM∥BC，∴∠B＝∠5，∠6＝∠2. ∵DN∥AC，∴∠A＝∠4，∠C＝∠6. ∵DH∥AB，∴∠4＝∠3，∠5＝∠1. ∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°， 即三角形的内角和是180°. 第十三章　核心思想归纳 模型思想 4．【模型探究】（1）如图1，已知线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，则有∠A＋∠B＝∠C＋∠D.我们把形如这样的图形称为“八字”模型． 甲乙两名同学给出两种不同的证明过程如下： 甲同学证明：∵∠A＋∠B＋∠AOB＝180°， ∴∠A＋∠B＝180°－∠AOB， 同理可得，∠C＋∠D＝　　　　 　． 又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D. 乙同学证明：∵∠AOC是△AOB的外角，∴∠AOC＝∠A＋∠B， 同理可得，∠AOC＝　　　　　．∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D. 图1 180°－∠COD ∠C＋∠D 第十三章　核心思想归纳 【模型应用】 （2）如图2，已知线段AD，BC相交于点O，连接AB， CD，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD． ①若∠B＝30°，∠D＝20°，求∠P的度数． 图2 解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 设AP交BC于点M，AD交PC于点N， 由“八字”模型知：在△AMB和△PMC中，∠B＋∠1＝∠P＋∠3， 在△ANP和△DNC中，∠P＋∠2＝∠D＋∠4， 将两式相减得：∠B＋∠1－∠P－∠2＝∠P＋∠3－∠D－∠4， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＋∠D＝2∠P. ∴30°＋20°＝2∠P，解得∠P＝25°. 第十三章　核心思想归纳 ②若∠B＝α，∠D＝β，直接写出∠P＝　　　　　（用含有α和β的代数式表示）. 图2 第十三章　核心思想归纳 感谢聆听 $