专题14 代数式 48道计算题专项训练 -2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题14 代数式48道计算题专项训练（8大题型） 题型一 已知字母或式子的值求代数式的值 题型二 合并同类项 题型三 整式加减运算及应用 题型四 单项式和多项式项、项数、次数相关计算 题型五 探究代数式规律问题 题型六 多项式系数、指数中字母求值 题型七 整式加减中的无关型问题 题型八 整式加减中的化简求值 【经典计算题一 已知字母或式子的值求代数式的值】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）对于题目：“已知，求代数式的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果． (1)设，则___________（用含的代数式表示）． (2)根据，得到，所以的值为___________． (3)尝试用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：已知，求代数式的值． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，互为相反数且，c、互为倒数，的绝对值是最小的正整数．求：的值． 4．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）【问题背景】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值；解：当时，原式． 【尝试运用】 (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 5．（25-26七年级上·安徽池州·阶段检测）为了丰富学生在学校的生活，提升学生的审美能力，某校组织开展“发现生活中的美”主题绘画比赛，并设立了一、二、三等奖，根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖的奖品件数的倍少件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价/元 数量/件 _____ ______ (1)请用含的代数式把表格补全（填最简形式）； (2)当时，求购买件奖品所需的总费用． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 【经典计算题二 合并同类项】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中x，y满足． 2．（25-26七年级上·江苏·期中）化简或求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中， ． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）合并同类项： (1)； (2)． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）数学中常常用整体代换的方法，起到化繁为简的作用，根据题目的需要，选择适当代换的形式解决问题． (1)把看成一个整体，合并； (2)若，求的值； (3)若，，求的值． 5．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体， 则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是 ． （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知 求 的值． 6．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读理解 如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式，对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与 当任取一个数时，如，，，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 要判断两个多项式是否恒等，可以通过去括号、合并同类项，判断能否把其中一个多项式转化为另一个多项式，或者能否把两个多项式都化简为相同的形式．例如，把，分别降幂排列，都能够化为 (1)判断多项式与是否恒等，并说明理由． (2)已知一元多项式（其中，为常数）与（其中，为常数）恒等，请直接写出，，，的值．___________ 【经典计算题三 整式加减运算及应用】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1) (2) 2．（26-27七年级上·江苏徐州·课后作业）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 3．（25-26七年级上·江苏泰州·单元测试）如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 6．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）我们规定：若是使得成立的一对数或整式，则数对为条件数对．例如，因为，所以数对是条件数对． (1)下列数对：①，②，③中，是条件数对的有____；（填序号） (2)数对是条件数对吗？请判断并说明理由； (3)已知数对是条件数对，求； (4)已知是条件数对，求出的值． 【经典计算题四 单项式和多项式项、项数、次数相关计算】 1．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 2．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知多项式是关于x，y的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值 (2)当，时，求多项式的值． 3．（23-24七年级上·陕西渭南·单元测试）已知关于x、y的多项式是五次四项式（m，n为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 5．（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式． （1）为________次________项式． （2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值． （3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值． 6．（23-24七年级上·江苏·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式2x2﹣4x+1的一次项系数，b是最大的负整数，单项式xy的次数为c． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）若将数轴在点B处折叠，则点A与点C　 　重合（填“能”或“不能”）； （3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【经典计算题五 探究代数式规律问题】 1．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）观察下列各式： ……………………①； ……………………②； ……………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出第个等式：___________； (3)计算… 2．（25-26七年级上·广东惠州·单元测试）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 3．（25-26七年级上·全国）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 4．（26-27七年级上·全国）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人． (1)观察上图，根据规律将表格补充完整． 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（    ）人． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依次类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形． 【探索】 （1）如图，邻边长分别为和的长方形是 阶方形； （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 阶方形． 【拓展】 （3）已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 6．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为． (1)把数对经过1次“伴随运算”变成_______； (2)把数对经过次“伴随运算”变成，求的值； (3)若数对经过次（为正整数）“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值可能为_______．（填序号） ①    ②    ③    ④ 【经典计算题六 多项式系数、指数中字母求值】 1．（23-24七年级上·陕西渭南·单元测试）已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数． 3．（2023七年级上 河北衡水·课后作业）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为，，三个代数式，三张卡片如下，其中的代数式是未知的． (1)若为二次二项式，则的值为_______________； (2)若的结果为常数，则这个常数是______________，此时的值为_____________； (3)当时，，求． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·单元测试）已知关于的多项式，． (1)若整式不含项和不含项，求、的值； (2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件． 5．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知多项式是关于x，y的四次三项式，求m的值；当、时，求此多项式的值． 6．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，在数轴上点表示，点表示，点表示，并且是多项式中最高次项的系数，是数轴上最小的正整数，单项式的次数为． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、、同时运动，运动时间为秒． ①当时，求的长度． ②在点、、同时运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【经典计算题七 整式加减中的无关型问题】 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 3．（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 4．（25-26七年级上·河南郑州·单元测试）计算： (1)； (2)已知，若的值与a的取值无关，求b的值． 5．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 【经典计算题八 整式加减中的化简求值】 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 4．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 6．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）化简： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中m，n的值使得与的和为单项式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 实数的初步认识易错必刷题型专训（48题8个考点） 【易错必刷一 求一个数/代数式的平方根或立方根】 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段测试）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，故该选项正确，符合题意． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）下列说法中，不正确的是（     ） A．3是的算术平方根 B．与互为相反数 C． D．平方根是 【答案】C 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到错误说法. 【详解】解：对选项A，，9的算术平方根为3，A说法正确，不符合题意. 对选项B，，与互为相反数，B说法正确，不符合题意. 对选项C，表示24的算术平方根，算术平方根为非负数，，C说法错误，符合题意. 对选项D，，9的平方根为，D说法正确，不符合题意. 3．（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）已知，则的值是________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ 4．（25-26八年级上·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 5．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）已知．求的平方根． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，，解得，．           ． 的平方根为， 的平方根为． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，求的平方根． 【答案】 【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 【易错必刷二 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 7．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段测试）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 8．（23-24八年级上·四川德阳·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根、立方根的定义列方程求出，的值，再代入计算后求其平方根． 【详解】解：的算术平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：， ， 的平方根是． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段测试）已知实数的两个不同的平方根是和，则的值为___________________________． 【答案】49 【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知和分别是一个正数的平方根，实数b的立方根是，则的值为________． 【答案】 【分析】由平方根的性质可得，即得，由立方根的定义可得，最后代入即可求解． 【详解】解：∵和分别是一个正数的平方根， ∴， ∴， ∵实数b的立方根是， ∴， ∴， 11．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段测试）已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a的值为1，b的值为5 (2)3 【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”得，根据立方根的定义得，继而得到关于的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）根据（1）的结论可得的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：和是某正数m的两个不同的平方根，的立方根为2， ， 解得：， a的值为1，b的值为5． （2）解：根据（1）知， 则， 9的算术平方根为3， 的算术平方根为3． 12．（25-26八年级上·江西南昌·阶段测试）已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 【易错必刷三 平方根与立方根实际应用】 13．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：， ，即，故①错误； ，， ，故②错误； ， ，即， 正整数有，，，，共个，故③正确； 由表格得，故边长为的正方形面积是，④正确； 14．（25-26八年级上·青海西宁·阶段测试）如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，空白部分小正方形的面积为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，大正方形的边长为长方形的长和宽的和， ∴， ∵， ∴. 15．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是． 16．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 【答案】 【分析】先求出每个小正方体的边长，再求出魔方侧面的面积，则可得正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵8个同样大小的正方体组成的魔方的体积为8， ∴每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的边长为， ∴魔方侧面正方形的边长为， ∴魔方侧面的面积为， 又∵正方形的面积是魔方侧面面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． 17．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 18．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【易错必刷四 无理数整数部分的有关计算】 19．（26-27八年级上·浙江杭州·单元测试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 20．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性可知，，得到x、y，然后根据，得到m，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵，即，是的小数部分， ∴的整数部分为2，即， ∴． 21．（24-25八年级上·河南郑州·单元测试）的小数部分是，则等于__． 【答案】 【详解】， ， ， ， 的小数部分． 22．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再估算无理数的取值范围得到整数部分的值，计算后，根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：的立方根是， ， ， ，即， 是的整数部分， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 23．（25-26八年级上·吉林四平·阶段测试）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)４ 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 24．（23-24八年级上·吉林·阶段检测）已知的小数部分是a，的小数部分是b，求． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，进一步得到a，b的值，后代入幂运算求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∵的小数部分是a，的小数部分是b， ∴，， ∴， ∴． 【易错必刷五 实数的分类与性质】 25．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查实数相关概念，根据实数与数轴的对应关系，有理数、无理数的定义与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解： ① 实数和数轴上的点一一对应，符合实数的性质，故①正确； ② 不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但属于无理数，故②错误； ③ 无限小数不都是无理数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数是无理数，故③错误； ④ 两个无理数的和不一定是无理数，例如，和为有理数，故④错误； 综上只有①正确． 26．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性. 本题考查实数的性质，立方根的意义. 【详解】解：∵ 选项A：若，则或， ∴ A错误. ∵ 选项B：若，如但， ∴ B错误. ∵ 选项C：若，则或， ∴ C错误. ∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一， ∴ D正确. 故选：D 27．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 28．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）的相反数是___________． 【答案】 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】的相反数是． 29．（25-26八年级上·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 【答案】(1)3 (2)； 【分析】（1）根据无理数的定义解答； （2）根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：由题可知，“无理数”有： 则共有无理数3个． （2）解：由题可知：“整数”席为：； “分数”席为：． 30．（25-26八年级上·江苏南通）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 【易错必刷六 比较实数的大小】 31．（2026八年级上 江苏）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 32．（24-25八年级上·吉林四平·期中）在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较四个实数的绝对值的大小即可. 【详解】解：∵，即， ∴， ∵， ∴，，，中，距离原点最远的数是. 33．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】通过比较两个负数的绝对值，绝对值小的数更大． 本题考查了实数的大小比较，掌握无理数的近似值是解题关键． 【详解】∵ ∴， 由于 和 均为负数， 且 ， ∴ ． 故答案为： 34．（24-25八年级上·江苏南京·阶段测试）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，根据平方大的正实数也大解答即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·河北张家口·阶段测试）有一张面积为的正方形卡片． (1)该正方形贺卡的边长为_________； (2)现有一个面积为的长方形卡袋，长宽之比为，能否将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋？请判断并说明理由． 【答案】(1)9 (2) 解：不能将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋．理由如下： ∵面积为的长方形卡袋，长宽之比为， ∴设长为，宽为， ∴， 解得（舍去）， 故长方形的宽为， ∵ 故不能将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋． 【分析】（1）根据正方形的面积等于边长的平方，求算术平方根计算即可． （2）设长为，宽为，求得长方形的宽，比较宽与正方形的边长的大小即可判断． 【详解】（1）设正方形的边长为，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 故正方形的边长为， 故答案为：9． （2）略 【点睛】本题考查了正方形的面积，长方形的面积，算术平方根的计算，无理数的估算，实数大小的比较，熟练掌握算术平方根的计算，无理数的估算，实数大小的比较是解题的关键． 36．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小： （填写>、<或=）； (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）； (3)计算． 【答案】(1)> (2) (3)4 【分析】（1）根据所给的材料的方法进行求解即可； （2）把指数转为相同，再比较底数即可； （3）利用积的乘方的法则的逆运用，进行运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：>； （2）解：∵233=（23）11=811，322=（32）11=911， ∴811＜911， 即233＜322； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查积的乘方法则，幂的大小的比较，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 【易错必刷七 程序设计与运算】 37．（23-24八年级上·四川广安·阶段测试）如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 38．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是无理数， ∴输出的值是， 故选：． 39．（23-24八年级上·广西南宁·阶段测试）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 40．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为2或4； ②当输入值x为9时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中正确的是________． 【答案】②④/④② 【分析】根据流程图逆向分析即可判断①，把x=9代入流程图判断②；通过特殊值法排除③；当x=1时判断④． 【详解】解：①当时，，，2取算术平方根为，输出值y为，则输入值x为2或4或等，故①不符合题意； ②，取算术平方根为，输出值y为，故②符合题意； ③如x=π2时，是正无理数不是正整数，输出值y为π是正无理数，故③不符合题意； ④当x=1，1的算术平方根为1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值，故④符合题意； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根，无理数的定义，理解题意是解题的关键． 41．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 42．（23-24八年级上·江苏·阶段测试）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 【易错必刷八 近似值相关问题】 43．（23-24八年级上·陕西西安·阶段测试）《年国民经济和社会发展统计公报》显示，我国全年国内生产总值突破百万亿元大关，达亿元，比上年增长，是全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据用科学记数法（精确到万亿）表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法和求一个数的近似数，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：精确到万亿为， ， 故选：A． 44．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 45．（24-25八年级上·江苏苏州·单元测试）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 _______，最小是 ______． 【答案】 【分析】本题考查近似数，掌握知识点是解题的关键． 精确到百分位时，根据四舍五入法，需看千分位上的数字．近似数为，则原数最大时对应四舍情况，千分位小于5；最小时对应五入情况，千分位大于等于5． 【详解】解：设原数为三位小数（a、b、c分别为十分位、百分位、千分位数字）．精确到百分位时，若千分位，则舍去，近似数为，要求等于， 故，最大值为；若千分位，则向百分位进1，近似数为，要求等于，且进位后百分位为0、十分位为8，故，最小值为． 故答案为；． 46．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）近似数万精确到____________位． 【答案】百 【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数． 【详解】解：万，近似数万的末位有效数字，对应原数26000中的百位，因此近似数万精确到百位． 47．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位 【分析】（1）根据近似数的精确度求解； （2）根据近似数的精确度求解； （3）根据近似数的精确度求解； （4）根据近似数的精确度求解． 【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位， ∴600万精确到万位； （2）解：∵7.03万的末尾为百位， ∴7.03万精确到百位； （3）解：∵5.8亿的末尾为千万位， ∴5.8亿精确到千万位； （4）解：∵3.30×105的末尾为千位， ∴3.30×105亿精确到千位； 【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键． 48．（24-25八年级上·广西崇左·阶段检测）按要求完成下列各题 (1)完成下列各数的近似数            （精确到十分位）                 （精确十位）          （精确到百分位）              （精确到百分位） (2)光年是天文学中的距离单位，1光年大约是，用科学记数法表示为 ． (3)截至年底，我国已建立的国家级自然保护区总面积约，用科学记数法表示为 ． (4)据工信部数据显示，年我国移动电话用户总数达到亿户，用科学记数法表示为 户． (5)地球上已发现的生物约种，用科学记数法表示为 种． 【答案】(1)，，， (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据精确到哪一位即对这一位的下一位数字进行四舍五入进行求解即可； （2）（3）（4）（5）根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】（1）解：（精确到十分位）        （精确十位） （精确到百分位）     精确到百分位）； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解：亿户户， 故答案为：； （5）解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法和近似数，熟知科学记数法的表示方法和近似数的求解方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 代数式48道计算题专项训练（8大题型） 题型一 已知字母或式子的值求代数式的值 题型二 合并同类项 题型三 整式加减运算及应用 题型四 单项式和多项式项、项数、次数相关计算 题型五 探究代数式规律问题 题型六 多项式系数、指数中字母求值 题型七 整式加减中的无关型问题 题型八 整式加减中的化简求值 【经典计算题一 已知字母或式子的值求代数式的值】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 【答案】0或 【分析】根据，，，求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 当时，， 当时，． 则代数式的值为0或． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）对于题目：“已知，求代数式的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果． (1)设，则___________（用含的代数式表示）． (2)根据，得到，所以的值为___________． (3)尝试用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2023 (3)1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，解题的关键是将代数式变形为含已知式子的形式，利用整体代入简化计算． （1）将代数式变形为含的形式； （2）代入的值计算结果； （3）先由已知式变形得的值，再化简代数式并整体代入． 【详解】（1）解：由，得， 则. 故答案为：. （2）解：由，得，代入得 故答案为：2023． （3）解：由（），两边除以得： 化简，代入得：． 答：代数式的值为. 3．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，互为相反数且，c、互为倒数，的绝对值是最小的正整数．求：的值． 【答案】1或 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，求代数式的值的应用，能根据已知得出，且，，，是解此题的关键．先根据题意得到，且，，，再分情况代入计算可得． 【详解】解：，互为相反数且，c、互为倒数，的绝对值是最小的正整数， ，且，，， 时，， ； 时，， ； 4．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）【问题背景】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值；解：当时，原式． 【尝试运用】 (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入代数式计算即可求解； （）由已知可得，，再整体代入代数式计算即可求解； 本题考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ，， ． 5．（25-26七年级上·安徽池州·阶段检测）为了丰富学生在学校的生活，提升学生的审美能力，某校组织开展“发现生活中的美”主题绘画比赛，并设立了一、二、三等奖，根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖的奖品件数的倍少件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价/元 数量/件 _____ ______ (1)请用含的代数式把表格补全（填最简形式）； (2)当时，求购买件奖品所需的总费用． 【答案】(1)， (2)购买件奖品所需的总费用为元 【分析】（1）根据二等奖的奖品件数比一等奖的奖品件数的倍少件，可知二等奖的奖品件数为件，三等奖的奖品件数为件； （2）根据奖品的单价列出表示奖品总费用的代数式，把代入代数式计算求值． 【详解】（1）解：二等奖的奖品件数比一等奖的奖品件数的倍少件， 二等奖的奖品件数为件， 三等奖的奖品件数为件； （2）解：总费用为元， 当时， 可得：， 答：购买件奖品所需的总费用为元． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入得，化为，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3）解：，， ． 【经典计算题二 合并同类项】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】(1) (2) (3)化简为，值为33 【分析】（1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可； （3）先根据整式的加减运算法则进行计算，然后再根据偶次方的非负性质，绝对值的非负性质得出：，，求出x、y的值，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵，，， ，， ，， ． 2．（25-26七年级上·江苏·期中）化简或求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中， ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）直接合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项，最后将， 代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， 代入， 得：． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先找出同类项，再合并同类项即可； （2）先去括号，再找出同类项，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）数学中常常用整体代换的方法，起到化繁为简的作用，根据题目的需要，选择适当代换的形式解决问题． (1)把看成一个整体，合并； (2)若，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的加减及运用，代数式求值； （1）把看成一个整体，提取公因式即可； （2）根据题意得到，把整理为，整体代入即可； （3）根据题意得到，，把整理为，整体代入即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ∴ ， ， ， ． 5．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体， 则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是 ． （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知 求 的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握合并同类项和去括号的运算法则是关键． （1）把看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简； （2）分别将和看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简，然后利用整体思想代入求值； （3）将原式变形后，利用整体思想代入求值． 【详解】解：（1）， ， ； 故答案是： （2）， ； 故答案是： （3）， ， ， ； 故答案是：． 6．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读理解 如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式，对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与 当任取一个数时，如，，，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 要判断两个多项式是否恒等，可以通过去括号、合并同类项，判断能否把其中一个多项式转化为另一个多项式，或者能否把两个多项式都化简为相同的形式．例如，把，分别降幂排列，都能够化为 (1)判断多项式与是否恒等，并说明理由． (2)已知一元多项式（其中，为常数）与（其中，为常数）恒等，请直接写出，，，的值．___________ 【答案】(1) 解：多项式与恒等， 理由如下： ， ， 与恒等； (2)，，， 【分析】本题主要考查了去括号、合并同类项，解决本题的关键是根据去括号、合并同类项把多项式化简，再根据多项式相等即多项式中的同类项分别相等，求出系数． (1)根据去括号法则去括号可知两个多项式恒等； (2)根据多项式相等即多项式中的同类项相等，得到各项系数的值． 【详解】（1）略 （2）解：多项式与恒等， ， ，，，． 【经典计算题三 整式加减运算及应用】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（26-27七年级上·江苏徐州·课后作业）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 【答案】 总运费最少为23400元． 【分析】设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨，根据题意，求出的范围，列出代数式，表示出总运费，即可得出结果． 【详解】解：设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨， 又因为运输到每个地方的水泥数量都为非负数， 所以， 由题意，总运费为 元； 因为， 所以当时，总运费最小为元． 答：总运费最少为23400元． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·单元测试）如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 【答案】(1) (2) ， ∵ ，可以被3整除，         又可以被9整除，9可以被3整除， ∴可以被3整除， ∴可以被3整除. 【分析】（1）根据四位数字的表示方法列出代数式即可； （2）根据，结合可以被9整除，进行说明即可. 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 6．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）我们规定：若是使得成立的一对数或整式，则数对为条件数对．例如，因为，所以数对是条件数对． (1)下列数对：①，②，③中，是条件数对的有____；（填序号） (2)数对是条件数对吗？请判断并说明理由； (3)已知数对是条件数对，求； (4)已知是条件数对，求出的值． 【答案】(1)①③ (2)不是条件数对， 理由如下： ∵， ∴不是条件数对； (3) (4) 【分析】（1）根据定义进行验证即可； （2）根据定义得到，即可得到结论； （3）是条件数对，则，展开计算即可； （4）根据是条件数对得到，则，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴①，②，③中，是条件数对的有①③； （2） 略 （3）∵是条件数对， ∴ ； （4）∵是条件数对， ∴ ∴， ∴ ． 【经典计算题四 单项式和多项式项、项数、次数相关计算】 1．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1)， (2)①；②当时，的值不随t的变化而变化，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变 【分析】本题考查了数轴上的数、单项式的次数及数轴上点运动的距离计算，解题的关键是确定各点初始值，根据运动方向与速度表示出t秒后点的位置，进而计算距离． （1）根据最大负整数的定义得b，根据单项式次数的定义得c； （2）①表示出t秒后A、B的位置，作差得； ②表示出，代入式子分两种情况讨论判断即可． 【详解】（1）解：∵最大的负整数是， ∴； ∵单项式的次数是， ∴． 故答案为：；． （2）解：①t秒后，点A的位置：，点B的位置：， ∴． 故答案为：； ②t秒后，点B的位置为，点C的位置为， 由（2）①知， ， 将、代入得：， 当，即时： ， 此时的值不随t的变化而变化； 当，即时： ， 此时的值会随着时间t的变化而改变； 综上，当时，的值不随t的变化而变化，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变． 2．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知多项式是关于x，y的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值 (2)当，时，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，代数式求值，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据题意得出，，求出的值即可； （2）由（1）得出原多项式为：，再代入，，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； （2）解：由（1）知， ∴原多项式为：， 当，时， 原式 ． 3．（23-24七年级上·陕西渭南·单元测试）已知关于x、y的多项式是五次四项式（m，n为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的项与次数． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，， 解得：，． （2）由（1）可知，这个多项式为， 将这个多项式按x的降幂排列为． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为 (2)次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为 (3)第个单项式是 (4)第2023个单项式是，第2024个单项式是 【分析】（1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可； （2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可； （3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可； （4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可． 【详解】（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为； （3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是； （4）根据（3）中的第个单项式是， 当时，代入写出第2023个单项式是， 当时，代入写出第2024个单项式是． 【点睛】本题考查了单项式的书写、单项式的系数和次数，观察题目中的单项式发现规律是解题的关键． 5．（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式． （1）为________次________项式． （2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值． （3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值． 【答案】（1）六，四；（2）；（3）． 【分析】（1）根据一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，即可解答； （2）计算出，根据不含二次项，即二次项的系数为0，求出，的值，即可解答； （3）先将关于的二次多项式变形，根据二次多项式的特点求出、的值，进而求出当时，该多项式的值． 【详解】解：（1）为六次四项式； 故答案为：六，四； （2）， 中不含二次项， ，， ，， ； （3）． 是关于的二次多项式 ，即． 又当时，原代数式的值是 解得：． 关于的二次多项式 当时，原式． 【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念． 6．（23-24七年级上·江苏·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式2x2﹣4x+1的一次项系数，b是最大的负整数，单项式xy的次数为c． （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）若将数轴在点B处折叠，则点A与点C　 　重合（填“能”或“不能”）； （3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）﹣4，﹣1， 2； （2）能； （3）由题意可得：t秒钟过后， ①当0≤t≤10时，点A在数轴上表示的数为﹣4﹣0.4t，点B在数轴上所表示的数为﹣1﹣0.3t，点C在数轴上所表示的数为2﹣0.2t， ∴5AB﹣BC＝5[（﹣1﹣0.3t）﹣（﹣4﹣0.4t）]﹣[（2﹣0.2t）﹣（﹣1﹣0.3t）]＝12+0.4t， 即当0≤t≤10时，5AB﹣BC的值会随着t的变化而变化， ②当t＞10时，点A在数轴上表示的数为﹣4﹣0.4t，点B在数轴上所表示的数为﹣1﹣0.3t，点C在数轴上所表示的数为0.2t﹣2， ∴5AB﹣BC＝5[（﹣1﹣0.3t）﹣（﹣4﹣0.4t）]﹣[（0.2t﹣2）﹣（﹣1﹣0.3t）]＝16， 即当t＞10时，5AB﹣BC的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16， 综上，当0≤t≤10时，5AB﹣BC的值会随着t的变化而变化，t＞10时，5AB﹣BC的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16． 【分析】（1）根据多项式的项，单项式的次数及负整数的概念确定a，b，c的值； （2）根据两点间距离公式分别求得AB和BC的长，从而作出判断； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点A，点B，点C在数轴上坐标是的数，然后根据两点间距离公式表示出AB和BC的长，从而利用整式的加减运算法则进行化简求值． 【详解】解：（1）∵多项式2x2﹣4x+1的一次项为﹣4x， ∴其一次项系数为﹣4，即a＝﹣4， ∵b是最大的负整数， ∴b＝﹣1， ∵单项式 xy的次数为2， ∴c＝2； （2）∵点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c， ∴AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，BC＝2﹣（﹣1）＝3， ∴AB＝BC， ∴若将数轴在点B处折叠，则点A与点C能重合， （3） 略 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，整式加减运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【经典计算题五 探究代数式规律问题】 1．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）观察下列各式： ……………………①； ……………………②； ……………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出第个等式：___________； (3)计算… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给出的式子得出规律即可求解； （2）根据题干给出的式子得出规律即可求解； （3）由（2）的结论得，再进行求解即可． 【详解】（1）解：观察已知等式：第个等式中，被减数指数为，减数指数为，右侧为， 因此第5个等式为； （2）解：根据（1）得出的规律，可得第个（为正整数）的等式为； （3）解：由（2）的结论，得， 设所求和为， ． 2．（25-26七年级上·广东惠州·单元测试）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 【答案】(1) (2) (3)①2500；②2400 【分析】（1）根据已知等式填写即可； （2）把已知等式发现规律即可； （3）①根据，确定； ②转化成的差，根据规律求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第④个等式为：； （2）解：因为；；；…， 所以； （3）解：①原式； ②原式 ． 3．（25-26七年级上·全国）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第5个等式即可； （2）观察可知，相差为2的两个正整数的积与1的和等于较小的正整数与1的和的平方，据此可得答案； （3）先把每个小括号内的式子通分，再根据（2）所求把对应分数的分子进行替换，进行约分即可得到答案． 【详解】（1）解：依照上述规律，第5个式子为， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可知，第n个式子为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 4．（26-27七年级上·全国）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人． (1)观察上图，根据规律将表格补充完整． 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（    ）人． 【答案】(1)10；12 (2) 【分析】（1）根据所给图形的规律解答即可； （2）从规律中抽象出n张餐桌的表达式，1张时 ，2张时 ，依此类推可得规律，据此解答． 【详解】（1）解：由图得：4张餐桌可坐人数： ，5张餐桌可坐人数： ； （2）解：推导n张餐桌的表达式：由规律可知， n张餐桌可坐人数为 ； 综上所述可得，按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐人 ． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依次类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形． 【探索】 （1）如图，邻边长分别为和的长方形是 阶方形； （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 阶方形． 【拓展】 （3）已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【答案】（1）2； （2）8； （3）如图： 【分析】本题考查了图形规律问题，解题的关键是读懂新定义， （1）第一个最大正方形边长为2，第二个最大正方形边长为1，余下的正方形边长为1，所以邻边长分别为2和3的矩形是2阶方形； （2）先计算，前三个正方形边长都为，后三个正方形边长都为，所以长方形是8阶方形； （3）根据题意分4种情况讨论，分别画图即可． 【详解】解：（1）由图3可知，邻边为2和3的长方形经过两次操作剩下边长为1的正方形，故为2阶方形， 故答案为：2； （2），， ， 作图如下： 由图可知，这个长方形为8阶方形； （3）根据3阶方形的定义做出如下4种情况： 有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1； 当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为． 6．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为． (1)把数对经过1次“伴随运算”变成_______； (2)把数对经过次“伴随运算”变成，求的值； (3)若数对经过次（为正整数）“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值可能为_______．（填序号） ①    ②    ③    ④ 【答案】(1) (2) (3)②③④ 【分析】本题主要考查了数字的规律探索，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意的“伴随运算”计算即可求解． （2）根据题意的“伴随运算”计算发现四次一循环，据此即可得出，，故可得的值． （3）由（2）可得右边所有数的和为，设多个循环的数为， ∴时，右边所有的数的和与的取值无关，则应是的倍数和是的倍数加，根据，，，，可得数对经过，，次 “伴随运算”所得数对中，右边所有数的和与的取值无关，即可得的取值． 【详解】（1）解：根据题意可得：把数对经过次“伴随运算”变成， 即， 故答案为：． （2）解：根据题意可得：把数对经过次“伴随运算”变成； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； ； 发现规律，经过“伴随运算”所得结果为上面四个结果依次循环出现， 又∵被整除， ∴把数对经过次“伴随运算”变成， ∴即为， ∴，， ∴． （3）解：∵数对经过“伴随运算”所得结果为，，，依次出现，即四个数对一循环， ∵， ∴一个循环内右边所有数的和为，与、的取值无关， 设多个循环的数为， ∴，，， ∴要使右边所有的数的和与的取值无关，则应是的倍数或是的倍数加， ∵，，，， ∴数对经过，，次 “伴随运算”所得数对中，右边所有数的和与的取值无关， ∴的取值为，，， 故答案为：②③④． 【经典计算题六 多项式系数、指数中字母求值】 1．（23-24七年级上·陕西渭南·单元测试）已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的七次五项式， ∴， 即， 故该多项式为， ∴该多项式的三次项是． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数． 【答案】1和 【分析】根据多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求出的值，从而即可得到答案． 【详解】解：多项式是五次四项式，最高次项的系数为， 或， 解得：或， 单项式与该多项式的次数相同， ， 把代入得：， 解得：， ， 多项式为， 三次项系数为1和． 【点睛】本题主要考查了单项式与多项式的相关概念，根据题意正确求出的值，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键． 3．（2023七年级上 河北衡水·课后作业）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为，，三个代数式，三张卡片如下，其中的代数式是未知的． (1)若为二次二项式，则的值为_______________； (2)若的结果为常数，则这个常数是______________，此时的值为_____________； (3)当时，，求． 【答案】(1)1 (2)5， (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减、多项式等知识点，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据A为二次二项式，可以得到，然后求得k的值即可； （2）根据的结果为常数，然后计算出这个常数和k的值即可； （3）根据和，计算出C即可． 【详解】（1）解：∵为二次二项式， ∴，解得：． 故答案为：1． （2）解：∵，， ∴ ， ∵的结果为常数， ∴， ∴，即． 则这个常数是5，k的值为． 故答案为：5，． （3）解：当时，， ∵，， ∴ ． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·单元测试）已知关于的多项式，． (1)若整式不含项和不含项，求、的值； (2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据多相似不含项、项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出、的值． （2）根据是一个五次四项式（该多项式中，的最高次幂是五次，即，一共有四项），分类讨论得出结论． 【详解】（1）因为， 当不含项和不含项时有和， 因为，， 所以． 因为，， 所以或（不符合题意）． 所以． （2）①∵|a|+4≥4， ∴a=0，b+3=0时， 即a=0，b=-3， ②当|a|+4=5（a-1）x5+（b+3）x3是一项， ∴a-1≠0，b+3=0， ∴a=-1，b=-3， ∴或 【点睛】本题考查多项式的理解和运用能力．几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中，如果不含某一项就是这一项的系数为0．明确多项式的定义，恰当使用分类思想进行分析是解本题的关键． 5．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知多项式是关于x，y的四次三项式，求m的值；当、时，求此多项式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了多项式、代数式求值等知识点，熟练多项式的相关定义是解题的关键． 由多项式的定义列式可求得，即代数式为；然后将、代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x，y四次三项式 ∴，，解得：， ∴多项式为 当，时， ． 6．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，在数轴上点表示，点表示，点表示，并且是多项式中最高次项的系数，是数轴上最小的正整数，单项式的次数为． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、、同时运动，运动时间为秒． ①当时，求的长度． ②在点、、同时运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)； (2)①，；②不会，． 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，线段的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据系数、次数的定义，结合数轴可得出答案； （2）①根据题意得，，再把代入求解即可； ②根据，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：多项式中最高次项的系数是， ∴， 数轴上最小的正整数是， ∴， 单项式的次数为， ∴， 故答案为：； （2）解：①， ， 当时，，； ②∵，， ∴， ∴的值不会随着时间的变化而变化． 【经典计算题七 整式加减中的无关型问题】 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 3．（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解； （2）先对整式进行化简运算，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 4．（25-26七年级上·河南郑州·单元测试）计算： (1)； (2)已知，若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，先算乘方，再利用乘法分配律简化计算，最后进行加减运算即可． （2）本题考查整式的加减运算，先化简，再根据代数式的值与的取值无关，即含的项的系数为0，求解的值． 【详解】（1）解：原式 （2）解：∵， ∴ ∵的值与的取值无关 ∴ 解得 5．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，多项式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式化简后不含二次项求出的值，然后将所求代数式进行去括号合并同类项，最后代入的值求值即可． 【详解】解： ∵该多项式化简后不含二次项， ∴，， ∴，； ； 当，时， 原式 ． 【经典计算题八 整式加减中的化简求值】 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，6 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，． 【答案】， 【分析】先根据整式的加减运算法则化简原式，再求得x值，然后将x、y代入化简式子求解即可． 【详解】解： ， ∵x是最大的负整数， ∴， 将，代入，则原式． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【答案】(1)14 (2)2 (3)14 【分析】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 4．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 【答案】（1）19；（2）；（3）－8 【分析】本题考查 “整体思想” 在代数式求值中的应用，涉及知识点：代数式的变形、整体代入求值、相反数的性质．解题技巧是将已知条件中的代数式视为一个整体，通过变形将所求代数式转化为整体的倍数或加减形式；解题关键是准确识别整体并进行合理变形；易错点是符号处理错误或整体代入时的系数计算错误． 【详解】解：（1）由 ，得 将 变形为，代入 ： （2）当 时， 当 时， 所以 （3）先化简所求代数式： 将其变形为 ，代入 ，： 5．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式加减的化简求值； （1）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可； （2）先计算出，再根据为五次六项式，求m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵为五次六项式， ∴和中一个是五次单项式， 当是五次单项式时，，，此时是五次六项式； 当是五次单项式时，，，此时是五次五项式，不合题意； ∴． 6．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）化简： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中m，n的值使得与的和为单项式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查整式的加减运算，化简求值，正确的计算是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； （3）去括号，合并同类项进行化简，根据两个单项式的和为单项式，得到两个单项式是同类项，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； ∵与的和为单项式， ∴与为同类项， ∴， ∴， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 实数的初步认识易错必刷题型专训（48题8个考点） 【易错必刷一 求一个数/代数式的平方根或立方根】 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段测试）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）下列说法中，不正确的是（     ） A．3是的算术平方根 B．与互为相反数 C． D．平方根是 3．（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）已知，则的值是________． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 5．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）已知．求的平方根． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，求的平方根． 【易错必刷二 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 7．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段测试）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 8．（23-24八年级上·四川德阳·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段测试）已知实数的两个不同的平方根是和，则的值为___________________________． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知和分别是一个正数的平方根，实数b的立方根是，则的值为________． 11．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段测试）已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 12．（25-26八年级上·江西南昌·阶段测试）已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【易错必刷三 平方根与立方根实际应用】 13．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 14．（25-26八年级上·青海西宁·阶段测试）如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 16．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 17．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 18．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【易错必刷四 无理数整数部分的有关计算】 19．（26-27八年级上·浙江杭州·单元测试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 20．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 21．（24-25八年级上·河南郑州·单元测试）的小数部分是，则等于__． 22．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 23．（25-26八年级上·吉林四平·阶段测试）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 24．（23-24八年级上·吉林·阶段检测）已知的小数部分是a，的小数部分是b，求． 【易错必刷五 实数的分类与性质】 25．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 26．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 27．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 28．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）的相反数是___________． 29．（25-26八年级上·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 30．（25-26八年级上·江苏南通）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【易错必刷六 比较实数的大小】 31．（2026八年级上 江苏）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 32．（24-25八年级上·吉林四平·期中）在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”）． 34．（24-25八年级上·江苏南京·阶段测试）比较大小：______（填“”“”或“”）． 35．（24-25八年级上·河北张家口·阶段测试）有一张面积为的正方形卡片． (1)该正方形贺卡的边长为_________； (2)现有一个面积为的长方形卡袋，长宽之比为，能否将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋？请判断并说明理由． 36．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小： （填写>、<或=）； (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）； (3)计算． 【易错必刷七 程序设计与运算】 37．（23-24八年级上·四川广安·阶段测试）如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 38．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 39．（23-24八年级上·广西南宁·阶段测试）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是________． 40．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为2或4； ②当输入值x为9时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中正确的是________． 41．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 42．（23-24八年级上·江苏·阶段测试）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【易错必刷八 近似值相关问题】 43．（23-24八年级上·陕西西安·阶段测试）《年国民经济和社会发展统计公报》显示，我国全年国内生产总值突破百万亿元大关，达亿元，比上年增长，是全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据用科学记数法（精确到万亿）表示为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 45．（24-25八年级上·江苏苏州·单元测试）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 _______，最小是 ______． 46．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）近似数万精确到____________位． 47．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 48．（24-25八年级上·广西崇左·阶段检测）按要求完成下列各题 (1)完成下列各数的近似数            （精确到十分位）                 （精确十位）          （精确到百分位）              （精确到百分位） (2)光年是天文学中的距离单位，1光年大约是，用科学记数法表示为 ． (3)截至年底，我国已建立的国家级自然保护区总面积约，用科学记数法表示为 ． (4)据工信部数据显示，年我国移动电话用户总数达到亿户，用科学记数法表示为 户． (5)地球上已发现的生物约种，用科学记数法表示为 种． 学科网（北京）股份有限公司 $