专题13 代数式 48道压轴题型专训 -2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学讲义以“代数式”为核心，通过8大题型分类构建知识体系，目录清晰呈现代数式实际应用、求值、整式加减等核心模块，结合表格梳理速度与时间关系等规律，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于48道压轴题型分层设计，如“探究整式的规律问题”引导学生发现数量关系，培养推理意识和创新意识，“代数式实际应用”结合生活情境发展应用意识。基础题巩固方法，压轴题提升能力，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习。

专题13 代数式48道压轴题型专训（8大题型） 目录 【经典例题一 代数式的实际应用】 1 【经典例题二 已知字母或数字求代数式的值】 1 【经典例题三 整式加减运算】 4 【经典例题四 整式运算中的求值问题】 8 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 13 【经典例题六 探究整式的规律问题】 16 【经典例题七 多项式按某个字母降幂或升幂排序】 22 【经典例题八 带有字母绝对值化简问题】 26 【经典例题一 代数式的实际应用】 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段测试）“腹有诗书气自华，最是书香能致远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（   ） A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【答案】C 【分析】本题考查代数式的含义. 根据式子得到先减去元，再打折即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 元表示：在原价的基础上减去元后再打8折， 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）青山村种的水稻2010年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了用代数式表示实际意义，根据年平均增长率，先计算2011年和2012年的产量，然后求2012年比2011年的增加量即可，掌握实际问题中各个量的关系是解决此题的关键． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， ∴ 2011年产量为，2012年产量为， ∴2012年平均每公顷比2011年增加的产量为： ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）钢笔每支m元，笔记本每本n元，则的实际意义可以是______． 【答案】小明带了100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，小明还剩的钱数 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，理解代数式中的每一部分的意义是解题关键．根据表示的是买4支钢笔的费用、表示的是买8本笔记本的费用，100表示的是原来的总钱数，由此即可得． 【详解】解：的实际意义可以是小明带了100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，请问小明还剩了多少钱？ 故答案为：小明带了100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，小明还剩的钱数 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一种商品每件成本元，原来按成本增加定出价格，现在由于库存积压减价，按原价的出售，现售价是______元． 【答案】 【分析】此题考查了列代数式，利用销售问题中的基本等量关系，把列出的式子进行整理是解题的关键． 根据每件成本元，原来按成本增加定出价格，列出原价的代数式，再根据现在按原价的出售，列出现售价的代数式计算即可． 【详解】解：∵每件成本元，原来按成本增加定出价格， ∴原价为（元）； ∵现在按原价的出售， ∴现售价：（元）； 故答案为：． 5．（2025七年级上·江苏无锡·专题练习）有几个同学搬砖，不知道每人搬几块，只知道剩下14块，如果每人搬9块，最后一人只搬6块，搬砖的一共几人？ 【答案】搬砖的一共17人 【分析】该题考查了代数式的应用，设共有人，总砖数不变：无论哪种分配方式，总砖数相同．新情况：前人各搬 9 块，最后 1 人搬 6 块，得出总砖数为，原情况：每人搬砖数为（总砖数剩余14 块）人数，据此解答即可． 【详解】解：设共有人， 则总砖数为块， ∴原来每人搬砖块， ∵，必须为正整数，因此需为整数，即是 17 的约数． 结合实际意义，唯一合理的解为． 答：搬砖的一共17人． 6．（24-25七年级上·山东青岛·期中）汽车下坡时，速度和时间之间的关系如下表： 时间t/s 0 1 2 3 4 5 … 速度v/（m/s） 5 … （1）写出速度v与时间t之间的关系式； （2）计算当t=12时，汽车的速度． 【答案】（1）；（2）19.4m/s． 【分析】（1）根据表格速度由两部分构成,一部分是5.,另一部分是分子是t平方，分母是10，速度v与时间t之间的关系式为： （2）当时求代数值即可． 【详解】解：（1）通过表格观察速度由两部分构成,一部分是5.,另一部分是分子是t平方，分母是10，速度v与时间t之间的关系式为： （2）， ∴m/s． 【点睛】本题考查速度v与时间t之间的表达式，代数式的值，掌握表格观察规律方法和求代数式值得步骤是解题关键． 【经典例题二 已知字母或数字求代数式的值】 1．（25-26七年级上·江苏·单元测试）若，则（　　） A．41 B．25 C．80 D．82 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，通过代入特定值和到等式两边，得到关于系数的方程，联立求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，即①； 当时，，即②； ，得， ∴； 故选A． 2．（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式，当时的值为，则当时，原代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，由时的值可得，再代入计算表达式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代数式值为， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴原式， 故选：． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）设三个互不相等的有理数，既可表示为1、、的形式，又可表示为4、、的形式，则的值为____________． 【答案】0或 【分析】本题考查了求代数式的值，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据题意可知与中有一个是4，与中有一个是1，再分4种情况讨论，求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，与中有一个是4，与中有一个是1， ①当，时，解得，此时三个有理数分别为1、4、2，满足题意， ∴； ②当，时，解得，此时三个有理数分别为1、4、3，满足题意， ∴； ③当，时，则，此时4与相等，不满足题意，舍去； ④当，时，则，此时4与相等，不满足题意，舍去； ∴综上所述，的值为0或． 故答案为：0或． 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段测试）设，则的值为___． 【答案】 1518 【分析】本题考查代数式求值，通过赋值法，利用二项式展开式的性质，计算特定系数和． 【详解】由二项式定理，设 ． 计算 ， ， ． 由 ， 得 ． 又 ， 且 ， 所以 ． 于是 ． 因此 ． 故答案为 ：1518． 5．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）关于的代数式，当取任意一组相反数与时，若代数式的值相等，则称为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称为“奇代数式”．例如：代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有 ，是“奇代数式”的有 ． ①；②；③． (2)对于整式，当分别取2和时，整式的值分别是多少． (3)对于整式，当分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是 ． 【答案】(1)①③，② (2)整式的值分别是、7 (3)69 【分析】本题考查代数式求值，涉及新定义，解题的关键是理解“偶代数式”与“奇代数式”的定义并会运用． （1）根据定义即可判定； （2）分别代入计算即可； （3）、、是“奇代数式”，分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，只需计算九个式子中的即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“偶代数式”． ， ∴是“奇代数式”． ， ∴是“偶代数式”． ∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有②． 故答案为：①③，②． （2）当时，原式， ∴整式值为； 当时，原式， ∴整式值为7． （3）∵、、是“奇代数式”， ∴分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0． 而是“偶代数式”， ∴分别取，，，时的值与分别取4，3，2，1的值相等． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是． 故答案为：69． 6．（24-25七年级上·重庆涪陵·单元测试）已知对于任意的都成立．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是利用特殊值代入法，通过给赋予合适的值，快速求出多项式各项系数的值，无需展开高次多项式. （1）要求常数项，只需令，此时等式右边仅剩下常数项，直接代入左边即可计算； （2）要求，可先令求出所有系数和，再结合（1）的结果变形求解. 【详解】（1）解：令，代入， 可得，，即； （2）解：令，代入， 可得，即， 又，则：， 因此：. 【经典例题三 整式加减运算】 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 2．（25-26七年级上·重庆云阳·阶段测试）已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意逐项分析，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：①若是单项式，则所有非最高次项系数为，条件简化为， 所有满足条件的单项式为：， 乘积为，故①正确； ②当时，，， 所有满足条件的为：， 求和得：，故②正确； ③按分类计算整式总数：时，，，共4个不同整式； 时，，，共6个不同整式； 时，，，共4个不同整式； 时，，，共1个不同整式； 总数为，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段测试）的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·广东深圳·阶段测试）如图，有一根木条（M在N的左边）在数轴上移动，数轴上A，B两点之间的距离是8，当点N移动到与点B重合时，点M恰好对应数轴上的数为2；当点N移动到与点A之间的距离为1时，点M所对应的数为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，整式加减运算，理解的移动方向和距离相同是解题的关键．设数轴上 A、B 对应的数分别为 a、b，则，根据当N与B重合时，N对应的数是b，M对应的数是2，得出木条的长度为，分两种情况：当N在点A右侧1个单位处时，当N在点A左侧1个单位处时，分别求出点M表示的数即可． 【详解】解：设数轴上 A、B 对应的数分别为 a、b，则， 当N与B重合时，N对应的数是b，M对应的数是2，因此木条的长度为， 当N在点A右侧1个单位处时，N对应的数是，木条长度不变，则对应的数是： ； 当N在点A左侧1个单位处时，N对应的数是，木条长度不变，则对应的数是： ； 综上，点M表示的数为或． 故答案为：或． 5．（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及整式加减中的无关型问题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键 （1）由的结果为得：，利用整式减法进行计算即可； （2）先化简求出，的值与a无关，可列，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与a无关， ∴， ∴． 6．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段测试）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 【经典例题四 整式运算中的求值问题】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）试确定关于x，y的方程的整数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了非一次不定方程的解，先将等号左右两侧进行化简，然后根据形式可知这种情况是不存在的，所以可得到无解，熟知三个连续整数的乘积是3的倍数是解题的关键． 【详解】解：原方程可化为：， 即：， 等号左侧为三个连续整数的乘积是3的倍数，而等号右侧为除以3余2，不可能成为等式， ∴原方程无解， 故选：A． 2．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式为四次三项式，需满足第一项系数非零且次数为4，其他项次数较低．通过计算各项次数，结合条件求解m． 【详解】解：∵多项式为四次三项式， ∴第一项系数，即． 第一项次数为， 第二项次数为， 第三项次数为． ∵最高次数为4， ∴， 解得，即或． 但， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的整式的加减，求解代数式的值，掌握整体代入法求解代数式的值是解本题的关键，由条件可得和 ，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ； 故答案为：． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了“整体代换法”求整式的值，能将原整式化为是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段测试）先化简再求值：，其中与互为相反数． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，非负数的性质，把整式去括号、合并同类项正确化简是解决问题的关键． 把整式去括号、合并同类项化简，再根据相反数的性质和非负数的性质得出a，b的值，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， ∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴原式． 6．（23-24七年级上·四川眉山·期中）已知关于x的多项式为二次三项式． (1)求、的值； (2)当时，求这个二次三项式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式的项与次数、以及求值，熟练掌握多项式的概念是解题关键． （1）根据多项式的项与次数即可得； （2）将代入多项式计算即可得． 【详解】（1）解：∵关于的多项式为二次三项式， ， 解得． （2）解：由（1）可知，这个多项式为， 则当时，， 答：这个二次三项式的值为． 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 1．（25-26七年级上·云南昆明·期中）多项式与多项式的和不含的二次项，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，将两个多项式相加，合并同类项后，根据和不含二次项，令二次项的系数为零，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵和不含二次项， ∴ 解得： 故选：C． 2．（25-26七年级上·重庆·阶段测试）对于多项式：，，，，用任意两个多项式求和后所得的结果，再与剩余两个多项式的和作差，并算出结果，称之为“和差操作” 例如：，，，称为一次操作．下列说法正确的个数是（   ） ①不存在任何“和差操作”，使其结果为单项式； ②只有一种“和差操作”，其结果与x的取值无关； ③所有的“和差操作”共有6种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的运算及对“和差操作”的理解，通过计算所有6种“和差操作”的结果，发现实际有5种不同的表达式，包括常数0，据此判断各说法的正确性． 【详解】解：设多项式，，，， 所有操作及结果： ∵ ， ， ， ， ， ∴不同结果为：，，0，，，共5种， 说法①：和结果为0（单项式），故错误； 说法②：和结果与x无关（有两种操作），故错误； 说法③：实际有5种不同结果，非6种，故错误， 综上，正确个数为0， 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，则下列说法： ①若，则； ②若的值与的取值无关，则； ③当时，若，则或； ④当时，的最小值为7． 其中正确的有________________（填写序号）． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解绝对值方程等知识，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键．说法①通过计算的值判断；说法②根据与x无关的条件求系数；说法③解绝对值方程；说法④利用绝对值几何意义求最小值． 【详解】解：①当时，，故①错误． ②的值与x无关，则且，解得，，故②错误． ③当时，，由得或，解得或，故③正确． ④当时，，令，则表示数轴上点t到点4和点的距离之和，最小值为，故④正确． 故答案为：③④． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知P＝xy﹣5x+3，Q＝x﹣3xy+1，若无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3，则y＝_____． 【答案】 【分析】先计算2P﹣3Q，再根据与x值无关确定x的系数，求y值即可． 【详解】解：2P﹣3Q=2（xy﹣5x+3）-3（x﹣3xy+1） =2xy﹣10x+6-3x+9xy-3 =11xy-13x+3 =(11y-13)x+3 ∵无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3， ∴(11y-13)x+3=3， ∴11y-13=0， y=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减和代数式的值，解题关键是明确与某个字母的值无关，就是这个字母的系数为0． 5．（24-25七年级上·湖南常德·阶段测试）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题主要考查了新运算的定义与理解、整式的加减，熟练掌握新运算的理解和指数运算是解题的关键； （1）①根据新定义直接代入化简即可； ②根据新定义的运算，将运算展开，从左往右一次作“”运算，得到，将代数式A代入即可； （2）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴当，，，时， ， ． 故答案为：；． ②∵， ∴当，，时， ． 故答案为： （2）解：∵由（1）同理可得，，， ∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 6．（23-24七年级上·江苏 ·阶段测试）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【分析】本题主要考查了多项式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据三次二项式列方程求解即可求得a、b的值； （2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可； （3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出、,进而确定m的值，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：设点C对应数为c， ∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，， ∴， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：，符合题意； 当时，有，解得：，符合题意． 综上，设点C对应数为或． （3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示， P、Q为、的中点 点P表示，点Q表示， ， ， 的长度与t无关， ， ∴当时，． 【经典例题六 探究整式的规律问题】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，规律探究，先依次计算每次操作后整式串的各项之和，找出和的循环周期，再根据周期计算第2026次操作后的和即可． 【详解】∵ 第1次操作后整式串各项之和：， 第2次操作后整式串各项之和：， 第3次操作新增项为，各项之和：， 第4次操作新增项为，各项之和：， 第5次操作新增项为，各项之和：， 第6次操作新增项为，各项之和：， 第7次操作新增项为，各项之和：， ∴各项之和以为周期循环，周期为6， ∵，余数为4 ∴第2026次操作后整式串各项之和与第4次操作后的和相同，即为0； 故选D． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一列数，满足，对任意的正整数，若，有，则等于（   ） A．397 B．398 C．399 D．400 【答案】D 【分析】本题主要考查数字规律，由若，有，可令，可得，即可得，所以，，再求和即可． 【详解】解：∵若，有， ∴令，则有，满足， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段测试）图1中以为顶点的矩形对角线有条，对角线长的平方为；图2中以为顶点的矩形的对角线有条，对角线长的平方和为，以此类推，第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为______．（注：用含的代数式表示，其中） 【答案】 【分析】第个图对角线长的平方和为，第个图对角线长的平方和为第个图对角线长的平方和为，得到第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为，即可求解． 【详解】解：第个图对角线长的平方和为， 第个图对角线长的平方和为 第个图对角线长的平方和为， ， 第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第1000个图形中黑色棋子的个数是___________． 【答案】3001 【分析】第1个图形中黑色棋子的个数是个，第2个图形中黑色棋子的个数是个，第3个图形中黑色棋子的个数是个，第n个图形中黑色棋子的个数是个，计算时的代数式的值即可． 【详解】解：根据题意，得第n个图形中黑色棋子的个数是个， 当时，． 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：……请根据上述规律完成下列问题： (1)第5个等式为 ； (2)写出你猜想的第个等式： （用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律的探索，通过观察等式特征，得出一般规律，并应用规律进行计算． （1）观察题干式子，直接作答即可； （2）根据（1）以及题干过程，即可作答． （3）观察式子，得出，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察前面4个等式，得出第5个等式为． （2）根据以上规律，第n个等式为． （3）∵ ， ∴ ． 6．（23-24七年级上·江苏·期中）如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 【答案】(1)， (2)195 (3)50400 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和． 【详解】（1）解：图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：195； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号“、”周期变化，绝对值依次加， 则第20层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第20层所有数的绝对值和为： ． 【经典例题七 多项式按某个字母降幂或升幂排序】 1．（25-26七年级上·安徽·期中）小红和小李学习完整式的概念后对下面问题进行探究： 已知关于x 的整式M：，当时，M：，当 时 ，M：，…，n 为正整数，其中，，，…， 为由大到小且小于21的正整数，相邻两数之差大于3． 小红：若，则n 最大只能为2； 小李：若，，则整式M的三次项的系数为13或14． 其中正确的说法是（    ） A．小红正确，小李错误 B．小李正确，小红错误 C．都正确 D．都错误 【答案】A 【分析】本题主要考查数字规律和多项式，解题的关键是利用系数递减和差约束推导n的最大值．对于小红的说法，通过系数序列的递减性和相邻差大于3的条件，结合，推导出n最大为2；对于小李的说法，结合给定和，推导三次项系数的范围应为13、14或15． 【详解】解：对于小红： ∵ ，系数为由大到小且小于21的正整数，相邻两数之差大于3． 若，则系数、、满足，且，． ∴，，但，故，，符合条件． 若，则系数序列中（当），与系数小于21矛盾． ∴ n最大为2，小红正确； 对于小李： ∵ ，，且系数递减，相邻差大于3． 若，则，但，，但，则，与系数递减矛盾， ∴ ． 系数序列为、、、、，其中，． ∵， ∴； ∵， ∴． ∴可为13、14或15． 但小李称仅为13或14，漏了15，故小李错误． 故选∶A． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的概念，熟知多项式的项和次数是解题的关键． 多项式是五次四项式且按降幂排列，因此最高次项为第一项，其次数为，即；同时各项系数非零以保证四项存在，故；指数递减要求，结合，为正整数，解得，，代入计算即可． 【详解】解：∵ 多项式为五次四项式，且按降幂排列， ∴，，， ∵ ，为正整数， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（23-24七年级上·上海松江·期中）把多项式按照字母y的降幂排列：______． 【答案】 【分析】按字母y的指数从大到小排列即可得答案． 【详解】多项式按照字母y的降幂排列： 故答案为： 【点睛】本题考查了多项式的定义，关键是要知道：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列. 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）把多项式5a2－3ab+2b2－5a3－2按a的降幂排列为_____________，按b的降幂排列为________________． 【答案】 －5a3+5a2－3ab+2b2－2 2b2－3ab－5a3+5a2－2 【分析】按a的指数由大到小的顺序排列即可，按b的指数由大到小的顺序排列即可． 【详解】解：多项式5a2－3ab+2b2－5a3－2按a的降幂排列为－5a3+5a2－3ab+2b2－2． 按b的降幂排列为2b2－3ab－5a3+5a2－2． 故答案为：－5a3+5a2－3ab+2b2－2；2b2－3ab－5a3+5a2－2． 【点睛】本题考查了多项式的排列，注意：排列时带着项前面的符号． 5．（25-26七年级上·安徽铜陵·阶段测试）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 6．（25-26七年级上·全国·周测）若一个多项式同时满足条件①各项系数均为整数；②按某个字母的降幂排列；③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是x的“和谐多项式”；多项式是y的“和谐多项式”． (1)把多项式按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”． (2)若关于的多项式是b的“和谐多项式”，求k的值． (3)已知均为关于的三次三项式，其中（均为整数）．若新多项式是“和谐多项式”，且，求代数式的值． 【答案】(1)多项式不是“和谐多项式” (2)的值为或 (3) 【分析】（1）本题需要先将给定多项式按x的降幂排列，再根据 “和谐多项式” 的定义，检查各项系数是否为整数、是否按x降幂排列以及各项系数绝对值是否从左到右 “从大到小” 排列，从而判断是否为 “和谐多项式． （2）本题需要先将关于的多项式按b的降幂排列，再根据 “和谐多项式” 的定义，结合各项系数的绝对值从左到右 “从大到小” 排列的条件，求出k的值． （3）本题需要先计算，再根据是 “和谐多项式” 以及的条件，确定的值，最后代入代数式计算． 【详解】（1）解：按的降幂排列为， ∵， ∴多项式不是“和谐多项式”； （2）把多项式按的降幂排列为， ∵多项式是的“和谐多项式”， ∴， ∵为整数， ∴， ∴的值为4或； （3）， ， ， ∵， ∴不是的“和谐多项式”， ∴是的“和谐多项式”， 把按的降幂排列为， ∴， ∴， ∴或，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 【点睛】本题考查了多项式的降幂排列以及 “和谐多项式” 的定义，掌握按某一字母降幂排列多项式的方法以及 “和谐多项式” 的三个条件是解题的关键． 【经典例题八 带有字母绝对值化简问题】 1．（25-26七年级上·重庆綦江·阶段测试）已知四个整式分别为：，，，；若将其中的一个或多个整式中的自变量替换为（例如：整式变为），然后再将这四个整式相加求和，称为一次“镜面操作”．则以下表述正确的个数是（     ） ①存在特殊的“镜面操作”：，使得化简结果的最小值为2； ②存在某种“镜面操作”，使得时，化简后的结果恒为一个常数； ③对这四个整式进行所有可能的“镜面操作”后，共有15种不同的结果． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出四个整式的和为（，且a为整数），根据a的值只能取，结合题意逐一判断即可． 【详解】解：四个整式仅替换自变量，不改变常数项，因此四个整式的常数和恒为， 设替换为的整式个数为（，且a为整数），则总和可表示为， 题中给出的操作替换了3个整式，即， ∴， 当时，，则； 当时，，则， 的最小值为2，原说法正确； 当时，，若，则，代入得，恒为常数，因此存在符合要求的操作，原说法正确； 仅可取，对应4种不同结果，不是15种，原说法错误． 综上，正确的表述有个． 2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段测试）有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法、绝对值的性质，根据和，可推得b、c同号，a与b、c异号，结合绝对值性质分析各选项即可． 【详解】解：A、∵，且， ∴a、b、c三个数不同号，且都不为0，且， 若b、c异号， 则， 与矛盾， ∴b、c同号，a与b、c异号， 可得， 当a为正，b、c为负时， ∵， ∴， ∴A选项不成立， ∴A错误； B、∵，且， ∴a、b、c三个数不同号，且都不为0，且， ∴B选项错误； C、当时，； 当时，． ∴不恒成立， ∴C错误； D、∵和， 当时， ∴． ∴D正确． 3．（2026七年级上 重庆·单元测试）若实数，同时满足，，则______________． 【答案】25 【分析】根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号，解方程组得到，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数，同时满足，， 又∵， ∴，可得， ∴，原第一个方程可化为，整理得， 将代入得：， ∵， ∴，可得：， 代入第二个方程得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴． 4．（25-26七年级上·江苏·阶段测试）下列四个结论中： ①若单项式与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，且，则的运算结果只有一种． 其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据同类项的定义可判断①；根据整式的加减可判断②；根据化简绝对值可判断③④． 【详解】解：①∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴，故①正确； ② ∵运算结果中不含项， ∴， 解得，， 此时，常数项为，故②正确； ③∵， ∴，，， ∴ ；故③正确； ④∵，， ∴中至少有一个是负数， 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 综上，若，，则的结果只有一种． 故④正确， ∴正确的说法是①②③④． 5．（23-24七年级上·上海·阶段测试）求的最小值． 【答案】当为偶数时，最小值为； 当为奇数时，最小值为． 【分析】先将按从小到大的顺序排列，再分为偶数及为奇数进行讨论求解． 【详解】解：先将按从小到大的顺序排列，记为. 当为偶数时，设（为正整数），当满足时，原式取得最小值， 最小值为. 当为奇数时，设（为非负整数），当时，原式取得最小值， 最小值为． 6．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知：，且，，求m可能的值． 【答案】m的值可能为0或或． 【分析】本题考查了绝对值，有理数的运算．首先根据题意得到、、三数中只有2负1正，然后由得到，，，得到，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， 、、三数中只有2负1正， ， ，，， ∴， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴m的值可能为0或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 实数的初步认识42道压轴题型专训（7大题型） 目录 目录 【经典例题一 求代数式的平方根】 1 【经典例题二 平方根和立方根的实际应用】 1 【经典例题三 与平方根和立方根有关的规律问题】 4 【经典例题四 利用平方根解方程】 8 【经典例题五 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 12 【经典例题六 算数平方根和立方根的综合应用】 17 【经典例题七 实数的性质】 21 【经典例题一 利用算数平方根的非负数性解题】 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及有意义的条件、求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则原式， 解得， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段测试）已知：，则_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质得，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，． 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，______，的值为______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出与的值，代入原式拆项变形，再计算即可求出值． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 5．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）已知实数，满足，求的值 【答案】 【分析】根据非负数的性质列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据算术平方根和绝对值的非负性， 得，， 解得，， 则． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握非负性并准确计算是解答本题的关键． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据非负性解得x、y的值，再计算． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 【经典例题二 平方根和立方根的实际应用】 7．（23-24八年级上 江苏南京）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键．直接利用已知得出立方体的体积，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：棱长为的正方体的体积为：， 一个正方体，它的体积是棱长为的正方体的体积的8倍， 这个正方体的体积为：， 这个正方体的棱长为：． 故选：A． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是运用面积去估算边长．根据题图可知，原图案面积为，设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，根据原图案和重拼后的图案面积相等可得，根据，且、均为整数进行判断，由此即可得解． 【详解】解：观察图形可知，共有个小正方形， 每个小正方形的边长为， 原图案面积为， 设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，其中，且、均为整数， 则有：， 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，是整数，故此情况满足题意； 当时，，则有，故此情况不满足题意，故舍去； 综上，较大的正方形边长为． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是_______． 【答案】3 【分析】设这种容器的半径为，根据题目所给体积公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种容器的半径为， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了立方根的应用，解题的关键是根据题意列出方程，熟练掌握立方根的定义，根据立方根的定义解该方程． 11．（25-26八年级上·北京·期中）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20m (2)能，理由： 设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）略 12．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【答案】(1)，，两，1 (2)的立方根是62 【分析】（1）先根据立方根和平方根的定义求解64的平方根和立方根，再根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字． （2）按照题目提供的步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数． 【详解】（1）解：∵ ∴64的平方根是，立方根是； ∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数字是1， （2）解：∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划去后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 【经典例题三 与平方根和立方根有关的规律问题】 13．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段测试）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 15．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之，被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位． 利用算术平方根的概念进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 17．（23-24八年级上·四川南充·阶段检测）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 18．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 【经典例题四 利用平方根解方程】 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解． 【详解】解：∵ ∴都小于1且大于0 （负值舍去） 故选D 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，判断的范围是解题的关键． 20．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（    ） A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．是19的算术平方根 D．是19的平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据求平方根的方法解方程，求一个数的算术平方根和平方根，先解方程得到，再根据平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是19的算术平方根， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 21．（25-26八年级上·广西桂林·期中）关于x的方程：是一元一次方程，则有理数a的值为____． 【答案】1或或0 【分析】一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 【详解】解：由题意得：或， 解得：或或0． 当时，原方程为，是一元一次方程， 当时，原方程为，是一元一次方程， 当时，，原方程为，是一元一次方程， 故答案为1或或0． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义．熟记相关结论即可． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、利用平方根解方程，熟练掌握平方差公式是解题关键．令，则，利用平方差公式计算可得，再利用平方根解方程即可得． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 (1)的展开式为 ； (2)利用上面的规律计算： ① ； ② ； (3)若， ①求的值． ②求的值． (4)当代数式的值为1时，求a的值． 【答案】(1) (2)①；②32 (3)①1；② (4)或1 【分析】（1）根据“杨辉三角”的系数规律进行解答即可； （2）①根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案；②根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案； （3）①令即可求出答案；②分别令和列出式子，两式相减即可求出答案； （4）根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， （2）解：① ； ② （3）解：①当时， ， ②当时， ①， 当时， ②， 得到， ∴ （4） 当代数式的值为1时，则， ∴， ∴或， 解得或1 【经典例题五 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 25．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 26．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可． 本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是x， ， 的立方根是， ， 或， 故选：D 27．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 28．（23-24八年级上·北京·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有． 【答案】①② 【分析】根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④． 【详解】①，则， 即， ∴，在实数范围内有解，故选项①正确； ②，则， ∴在实数范围内的解有两个，故选项②正确； ③，整理得：， 配方得：， 开方得：或(舍去)， ∴， ∴原方程在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误； ④当时，； 当时，； 当时，；故选项④错误； 综上，①②正确， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 【答案】 解：∵一个数的算术平方根为，平方根为， ∴或． ①当时，解得， ∴． ∵算术平方根为非负数， ∴不符合题意； ②当时，解得， ∴， ∴这个数为． 综上所述，这个数为． 【分析】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义进行判断并改正即可． 【详解】略 30．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 【经典例题六 算数平方根和立方根的综合应用】 31．（24-25八年级上·山东聊城·阶段测试）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 32．（23-24八年级上·山东滨州·阶段测试）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 33．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 34．（23-24八年级上·山东德州·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根以及算术平方根的计算，比较简单，注意运算时解方程要进行验算，确保计算的正确；区分算术平方根与平方根，一个正数的平方根有两个，但是算术平方根只有一个，并且是正的． 根据平方根的概念，可推出和的值，然后得到关于a和b的二元一次方程组，可解出a和b的值，再代入中得出的值即可得出答案． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是6， ∴， 解得：； ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 35．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 36．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段测试）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是2， ， ， ， 的算术平方根为． 【经典例题七 实数的性质】 37．（25-26八年级上·重庆·期中）对实数进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为第一次操作，记结果为，将第一次操作的结果按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记为，以此类推，重复操作．记，则下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，，； ②若，则； ③若为整数，则是偶数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】当时，分别计算、、、、的值，进而得到的值，可判断①；根据操作的结果用表示出和，再根据列出方程，可判断②；若为整数，则是奇数，是奇数……依此类推，都是奇数，进而得到的奇偶性，可判断③，即可得出结论． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， ∴， ∴，，故①正确； ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴， 解得，故②正确； ∵为整数， ∴是奇数， ∴是奇数…… 依此类推，都是奇数， ∵， ∴是2026个奇数的和， ∴是偶数，故③正确； 综上，正确的个数是3个． 38．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性. 本题考查实数的性质，立方根的意义. 【详解】解：∵ 选项A：若，则或， ∴ A错误. ∵ 选项B：若，如但， ∴ B错误. ∵ 选项C：若，则或， ∴ C错误. ∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一， ∴ D正确. 故选：D 39．（25-26八年级上·上海·期中）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离．解题关键是数轴上两点间的距离等于它们表示的两数差的绝对值，也可以“大减小”，分类讨论． 设点B表示的数为x，根据数轴上点与点关于原点对称，得点A表示的数为，根据点表示的数是．分当时，当时，写出长的表达式，再根据建立方程，解答即可． 【详解】解：设点B表示的数为x， ∵数轴上点与点关于原点对称， ∴点A表示的数为． ∵点表示的数是． 当时， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． 当时， ∴． ∴． 解得． ∴． 故答案为： 或． 40．（24-25八年级上·福建厦门·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号_____． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，其中一个解介于和之间；④对于任意的，恒有． 【答案】 【分析】逐个判断命题，利用奇次幂、偶次幂的实数解性质判断，讨论时和时，的值，即可判断的解的范围，举特殊值反例判断． 【详解】解：对于，是奇数，任意正数在实数范围内都存在奇数次方根，因此方程在实数范围内有解，故正确． 由方程得，是正偶数，在实数范围内有两个解，因此解不止一个，故正确． 当时，， 当时，， ∴在之间，存在实数，使得成立， ∴在实数范围内有解，其中一个解介于和之间，故正确． 举反例：当时，，，此时，不满足，因此错误． 综上，正确命题的序号为． 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 【答案】(1)3 (2)4 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 42．（25-26八年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1， (2)1或 (3)2或0或 【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）把a的值代入计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别化简绝对值即可； （3）分四种情况讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，分别化简绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，； （2）当时，； 当时，； 即当实数a不等于零时，的值是1或； （3）当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或0或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 实数的初步认识42道压轴题型专训（7大题型） 目录 目录 【经典例题一 求代数式的平方根】 1 【经典例题二 平方根和立方根的实际应用】 1 【经典例题三 与平方根和立方根有关的规律问题】 2 【经典例题四 利用平方根解方程】 3 【经典例题五 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 5 【经典例题六 算数平方根和立方根的综合应用】 7 【经典例题七 实数的性质】 8 【经典例题一 利用算数平方根的非负数性解题】 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段测试）已知：，则_________． 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，______，的值为______． 5．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）已知实数，满足，求的值 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知与互为相反数，求的值． 【经典例题二 平方根和立方根的实际应用】 7．（23-24八年级上 江苏南京）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是_______． 11．（25-26八年级上·北京·期中）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 12．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【经典例题三 与平方根和立方根有关的规律问题】 13．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段测试）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·上海·期中）若，，则___________． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 17．（23-24八年级上·四川南充·阶段检测）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 18．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【经典例题四 利用平方根解方程】 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（    ） A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．是19的算术平方根 D．是19的平方根 21．（25-26八年级上·广西桂林·期中）关于x的方程：是一元一次方程，则有理数a的值为____． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，那么的值为______． 23．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 (1)的展开式为 ； (2)利用上面的规律计算： ① ； ② ； (3)若， ①求的值． ②求的值． (4)当代数式的值为1时，求a的值． 【经典例题五 已知一个数的平方根或立方根，求这个数】 25．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 26．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 27．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段测试）若与互为相反数，则的值为______． 28．（23-24八年级上·北京·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 30．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【经典例题六 算数平方根和立方根的综合应用】 31．（24-25八年级上·山东聊城·阶段测试）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 32．（23-24八年级上·山东滨州·阶段测试）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 33．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 34．（23-24八年级上·山东德州·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是______． 35．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 36．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段测试）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【经典例题七 实数的性质】 37．（25-26八年级上·重庆·期中）对实数进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为第一次操作，记结果为，将第一次操作的结果按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记为，以此类推，重复操作．记，则下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，，； ②若，则； ③若为整数，则是偶数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 38．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．（25-26八年级上·上海·期中）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 40．（24-25八年级上·福建厦门·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号_____． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，其中一个解介于和之间；④对于任意的，恒有． 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 42．（25-26八年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 代数式48道压轴题型专训（8大题型） 目录 【经典例题一 代数式的实际应用】 1 【经典例题二 已知字母或数字求代数式的值】 1 【经典例题三 整式加减运算】 2 【经典例题四 整式运算中的求值问题】 3 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 5 【经典例题六 探究整式的规律问题】 5 【经典例题七 多项式按某个字母降幂或升幂排序】 7 【经典例题八 带有字母绝对值化简问题】 9 【经典例题一 代数式的实际应用】 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段测试）“腹有诗书气自华，最是书香能致远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（   ） A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）青山村种的水稻2010年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）钢笔每支m元，笔记本每本n元，则的实际意义可以是______． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一种商品每件成本元，原来按成本增加定出价格，现在由于库存积压减价，按原价的出售，现售价是______元． 5．（2025七年级上·江苏无锡·专题练习）有几个同学搬砖，不知道每人搬几块，只知道剩下14块，如果每人搬9块，最后一人只搬6块，搬砖的一共几人？ 6．（24-25七年级上·山东青岛·期中）汽车下坡时，速度和时间之间的关系如下表： 时间t/s 0 1 2 3 4 5 … 速度v/（m/s） 5 … （1）写出速度v与时间t之间的关系式； （2）计算当t=12时，汽车的速度． 【经典例题二 已知字母或数字求代数式的值】 1．（25-26七年级上·江苏·单元测试）若，则（　　） A．41 B．25 C．80 D．82 2．（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式，当时的值为，则当时，原代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）设三个互不相等的有理数，既可表示为1、、的形式，又可表示为4、、的形式，则的值为____________． 4．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段测试）设，则的值为___． 5．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）关于的代数式，当取任意一组相反数与时，若代数式的值相等，则称为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称为“奇代数式”．例如：代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有 ，是“奇代数式”的有 ． ①；②；③． (2)对于整式，当分别取2和时，整式的值分别是多少． (3)对于整式，当分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是 ． 6．（24-25七年级上·重庆涪陵·单元测试）已知对于任意的都成立．求： (1)的值； (2)的值． 【经典例题三 整式加减运算】 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 2．（25-26七年级上·重庆云阳·阶段测试）已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段测试）的结果是________． 4．（25-26七年级上·广东深圳·阶段测试）如图，有一根木条（M在N的左边）在数轴上移动，数轴上A，B两点之间的距离是8，当点N移动到与点B重合时，点M恰好对应数轴上的数为2；当点N移动到与点A之间的距离为1时，点M所对应的数为___________． 5．（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 6．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段测试）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【经典例题四 整式运算中的求值问题】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）试确定关于x，y的方程的整数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，则_____． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则的值为________． 5．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段测试）先化简再求值：，其中与互为相反数． 6．（23-24七年级上·四川眉山·期中）已知关于x的多项式为二次三项式． (1)求、的值； (2)当时，求这个二次三项式的值． 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 1．（25-26七年级上·云南昆明·期中）多项式与多项式的和不含的二次项，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（25-26七年级上·重庆·阶段测试）对于多项式：，，，，用任意两个多项式求和后所得的结果，再与剩余两个多项式的和作差，并算出结果，称之为“和差操作” 例如：，，，称为一次操作．下列说法正确的个数是（   ） ①不存在任何“和差操作”，使其结果为单项式； ②只有一种“和差操作”，其结果与x的取值无关； ③所有的“和差操作”共有6种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，则下列说法： ①若，则； ②若的值与的取值无关，则； ③当时，若，则或； ④当时，的最小值为7． 其中正确的有________________（填写序号）． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知P＝xy﹣5x+3，Q＝x﹣3xy+1，若无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3，则y＝_____． 5．（24-25七年级上·湖南常德·阶段测试）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 6．（23-24七年级上·江苏 ·阶段测试）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【经典例题六 探究整式的规律问题】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 2．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一列数，满足，对任意的正整数，若，有，则等于（   ） A．397 B．398 C．399 D．400 3．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段测试）图1中以为顶点的矩形对角线有条，对角线长的平方为；图2中以为顶点的矩形的对角线有条，对角线长的平方和为，以此类推，第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为______．（注：用含的代数式表示，其中） 4．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第1000个图形中黑色棋子的个数是___________． 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：……请根据上述规律完成下列问题： (1)第5个等式为 ； (2)写出你猜想的第个等式： （用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：的值． 6．（23-24七年级上·江苏·期中）如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 【经典例题七 多项式按某个字母降幂或升幂排序】 1．（25-26七年级上·安徽·期中）小红和小李学习完整式的概念后对下面问题进行探究： 已知关于x 的整式M：，当时，M：，当 时 ，M：，…，n 为正整数，其中，，，…， 为由大到小且小于21的正整数，相邻两数之差大于3． 小红：若，则n 最大只能为2； 小李：若，，则整式M的三次项的系数为13或14． 其中正确的说法是（    ） A．小红正确，小李错误 B．小李正确，小红错误 C．都正确 D．都错误 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海松江·期中）把多项式按照字母y的降幂排列：______． 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）把多项式5a2－3ab+2b2－5a3－2按a的降幂排列为_____________，按b的降幂排列为________________． 5．（25-26七年级上·安徽铜陵·阶段测试）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 6．（25-26七年级上·全国·周测）若一个多项式同时满足条件①各项系数均为整数；②按某个字母的降幂排列；③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是x的“和谐多项式”；多项式是y的“和谐多项式”． (1)把多项式按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”． (2)若关于的多项式是b的“和谐多项式”，求k的值． (3)已知均为关于的三次三项式，其中（均为整数）．若新多项式是“和谐多项式”，且，求代数式的值． 【经典例题八 带有字母绝对值化简问题】 1．（25-26七年级上·重庆綦江·阶段测试）已知四个整式分别为：，，，；若将其中的一个或多个整式中的自变量替换为（例如：整式变为），然后再将这四个整式相加求和，称为一次“镜面操作”．则以下表述正确的个数是（     ） ①存在特殊的“镜面操作”：，使得化简结果的最小值为2； ②存在某种“镜面操作”，使得时，化简后的结果恒为一个常数； ③对这四个整式进行所有可能的“镜面操作”后，共有15种不同的结果． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段测试）有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026七年级上 重庆·单元测试）若实数，同时满足，，则______________． 4．（25-26七年级上·江苏·阶段测试）下列四个结论中： ①若单项式与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，且，则的运算结果只有一种． 其中正确的是_________．（填序号） 5．（23-24七年级上·上海·阶段测试）求的最小值． 6．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知：，且，，求m可能的值． 学科网（北京）股份有限公司 $