25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心内容为传播问题与平均变化率问题。通过传染病传播、成本下降等现实情境导入，从具体问题分析到抽象模型构建，搭建从方程求解到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，通过表格梳理传播过程、对比成本变化率培养抽象能力与推理意识，结合流感传播、藏书增长等实例发展模型观念与应用意识。课堂小结系统归纳公式与等量关系，助力学生提升解决实际问题能力，教师可借助结构化例题与练习提高教学效率。

人教版九年级上册 25.3 实际问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 第2课时 传播、平均变化率问题 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x 个人. 第一轮 第二轮 每轮平均1个人传染人的数量 被传染的总人数 x 1+x x 1+x+x(1+x) 探索新知 知识点1　传播问题 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 解：设每轮传染中平均1个人传染了 x 个人. 列方程 1+x+x(1+x) = 121. 解方程，得 x1=10，x2= –12（不合题意，舍去） 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 知识点1　传播问题 第一轮 第二轮 第三轮 每轮平均1个人传染人的数量 x x x 被传染的总人数 1+x 1+x+x(1+x) (1+x)2+x(1+x)2 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x 个人 . (1+x)2 经过三轮传染后共有 (1+10)3=1331（人）被传染. (1+x)3 经过n轮传染后共有__________个人被传染. (1+10)n 1. 春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感. (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：(1)设每轮传染中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1＋x)人被传染. 依题意，得1＋x＋x(1＋x)＝81， 解得x1＝8，x2＝－10(不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染8个人. 对应练习 (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由. 解：(2)经过三轮传染后会超过700人患流感. 理由如下： 依题意，得81×(1＋8)＝81×9＝729(人). ∵729>700， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感. 对应练习 常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为： 传染源数量+第1轮+第2轮+……+第n轮=第n轮传染后的总数. a(1+x)n=b a为传染源数量 x为每轮平均1个传染源传播的数量 n为传播的轮顺 b为现有传染后感染总量 知识点1　传播问题 解：(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑. 1. 有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑被感染. (1)求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑. 依题意，得1＋x＋x(x＋1)＝25. 解得x1＝4，x2＝－6(不合题意，舍去). 答：每轮传播中平均一台电脑会感染4台电脑. 对应练习 (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过600台？ 解：(2)第三轮感染总数：25＋25×4＝125(台). 第四轮感染总数：125＋125×4＝625(台). ∵625>600， ∴四轮感染后，被感染的电脑会超过600台. 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 下降率是下降的成本与前一年成本的比值. 下降率 = ×100% 下降前的量 –下降后的量 下降前的量 下降后的量=下降前的量×（1 – 下降率） 探索新知 知识点2　平均变化率问题 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 甲的初始成本 一年后的成本 二年后的成本 10000 10000(1–x) 10000(1–x)2 依题意，得 10000(1–x)2=6000， 知识点2　平均变化率问题 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 依题意，得 10000(1–x)2=6000， 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775. 下降率不可为负，且不大于1. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 请计算乙种食品成本的年平均下降率. 知识点2　平均变化率问题 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y . 依题意，得 12000(1–y)2=7200， 解方程，得y1≈0.225，y2≈1.774. 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 两种食品成本的年平均下降率相等. 知识点2　平均变化率问题 平均变化率问题 增长率问题 下降率问题 基数为 , 平均增长/下降率为 第一次增长 第二次增长 第 次增长 第一次下降 第二次下降 第次下降 0＜下降率＜ 1 增长率 ＞ 0 知识点2　平均变化率问题 1. 去年某人年薪8万元，若每年年薪增长率为x，则： (1)今年年薪为__________万元； (2)明年年薪为__________万元； (3)后年年薪为__________万元. 8(1＋x) 8(1＋x)2 8(1＋x)3 对应练习 解：设图书角这两个月藏书的平均增长率为x. 2.今年3月份某图书角中有藏书2 500册，到今年5月份藏书数量增长到3 600册. 求该图书角这两个月藏书的平均增长率. 依题意，得2 500(1＋x)2＝3 600， 解得x1＝－2. 2(不合题意，舍去)，x2＝0. 2＝20%. 答：该图书角这两个月藏书的平均增长率为20%. 课堂小结 传播、平均变化率问题 平均变化率问题 下降率问题：基数为 , 下降率为 传播问题 传染传播问题：如果最初有个人感染，每轮传染中平均一个人了 个人，那么 轮传染后有 被传染 树干分支问题：如果主干长出 个支干，每个支干又长出个小分支，那么主干、支干和小分支总共有个. 第次下降 0＜下降率＜ 1 增长率问题：基数为 , 增长率为 第 次增长 增长率 ＞ 0 1.甲流是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了( ) A.11人 B.12人 C.13人 D.14人 D 课堂练习 2.[新课标—跨学科题]物理课代表在老师的培训下，学会了探究光的反射定律的实验操作，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验.问一名同学每节课手把手教会了多少名同学？假设一名同学每节课手把手教会了x名同学，可列方程为　 　.  (1＋x)2＝49 3. 某养鸡场突发禽流感，已知一只带病毒的小鸡经过两天的 传染后使养鸡场共169只小鸡遭感染患病，在每天的传染中平 均一只小鸡传染了几只小鸡？ 解：设在每天的传染中平均一只小鸡传染了x只小鸡. 由题意，得1＋x＋x（1＋x）＝169. 解得x1＝12，x2＝－14（不合题意，舍去）. 答：在每天的传染中平均一只小鸡传染了12只小鸡. 解：设在每天的传染中平均一只小鸡传染了x只小鸡. 由题意，得1＋x＋x（1＋x）＝169. 解得x1＝12，x2＝－14（不合题意，舍去）. 答：在每天的传染中平均一只小鸡传染了12只小鸡. A层 基础 4.某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，已知进馆人次的月平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率. 解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x. 由题意，得128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608. 整理，得4x2＋12x－7＝0. 解得x1＝0.5＝50%，x2＝－3.5(舍去). 答：进馆人次的月平均增长率为50%. (2)能. 理由：因为进馆人次的月平均增长率为50%， 所以第四个月的进馆人次为128×(1＋50%)3＝432，又因为432＜500， 所以学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由. 5.秋冬季节是流行性感冒(简称流感)的高发季节.某中学一名患流感的学生一天能传染x名学生.如果先有2名学生同时患上流感，2天后就有128名学生患上流感，那么x的值为( ) A.11 B.8 C.7 D.6 C 6.某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价30%，销量不佳；第二次又降价10%，销量大增，很快就清理了库存.设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是( ) A.＝x B.(1－30%)(1－10%)＝1－2x C.(1－30%)(1－10%)＝2(1－x) D.(1－30%)(1－10%)＝(1－x)2 D 7.[2024·绵阳中考]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价.已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝　 　.  10% 8.某种商品的标价为500元/件，经过两次降价后的价格为405元/件，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种商品每次降价的百分率； 解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x. 依题意，得500(1－x)2＝405， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去). 答：该种商品每次降价的百分率为10%. (2)若该种商品进价为400元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3200元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ (2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件. 依题意，得[500×(1－10%)－400]m＋(405－400)(100－m)≥3200，解得m≥60. 答：第一次降价后至少要售出该种商品60件. $