第三十二章《锐角三角函数》单元水平测试2026-2027学年人教版数学九年级下册

**基本信息** 聚焦锐角三角函数单元，融合赵爽弦图文化传承与光学反射、汽车盲区等跨学科情境，梯度覆盖概念理解与实际应用，适配单元复习巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数值、解直角三角形|第9题以赵爽弦图考sin计算，体现文化渗透| |填空题|5/15|特殊角三角函数、坡度应用|第15题结合正方体平移考坡度，强化空间观念| |解答题|8/75|测量计算、综合实践|第21题遮阳篷设计融合夏冬至太阳角，培养模型意识；第22题汽车盲区问题，提升应用能力|

第三十二章《锐角三角函数》单元水平测试 考试用时120 分钟,满分120 分,23 小题 学校 学号 得分 姓名 班级 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的. 1. cos 60°的值等于( ) A. B.1 C. D. 2.如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走到达B处，再向正北方向走5米到C处，已知∠BAC=30°,则A,C两处相距( ) A.5米 B.10米 C.5 D. 米 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则tanA的值为( ) B. C. D.2A. 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若各边都扩大了2倍,则tanA 的数值( ) A.扩大了2倍 B.缩小到 C.没有变化 D.不能确定 5.在Rt△ABC 中,∠C=90°, 则 cosA的值等于( ) A. B. C. D. 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,b= 则∠A=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 7.如图，将一长为6米的梯子CD斜靠在墙面上，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与地面的距离 BD 的长为( ) A.6cos55°米 B. 米 C.6sin 55°米 D. 米 8.在△ABC中,若tan A=1, 你认为最确切的判断是( ) A.△ABC是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC是一般锐角三角形 9.如图1是第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2 的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形 EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF:AH=1:3,则sin∠ABE=( ) A. B. C. D. 10.(跨学科融合)如图，CD是平面镜，光线从点A 出发经过CD 上点E 反射后照到B点，若入射角为α(入射角等于反射角),AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C,D,且AC=3,BD=4,CD=11,则tanα的值为( ) 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.若 则锐角x= °. 12.如图，6个大小相同的小正方形恰好放置在△ABC中，若小正方形的边长为1，则tanB= . 13.如图,测量河宽AB(河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°,BC=60m,则河宽AB 约为 m. 14.如图，当“神舟”飞船运行到地球表面 P 点的正上方的 F 点处时，从点 F 能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF=6400km,∠FOQ=20°,cos20°≈0.9,则圆心角∠POQ 所对的弧长约为 km(结果保留π). 15.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB 的坡度 现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D 与C 重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD= 米. 三、解答题(一)：本大题共3 小题，每小题7分，共21分. 16.计算: 17.如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24m的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平夹角∠ADE为39°,目离地高CD为1.5m ,求建筑物的高度AB(结果精确到0.1m ;参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81). 18.如图,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6, ∠A=30°. (1)求 BD 和AD的长; (2)求 sin C 的值. 四、解答题(二)：本大题共3 小题，每小题9分，共27分. 19.某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面l为0.2米.道闸打开的过程中，边AD 固定，连杆AB，CD分别绕点A，D 转动，边BC 始终与边AD 平行. (1)如图2,当道闸打开至∠ADC=45°时,边CD上一点 P到地面的距离PE为1.2米,求点P 到MN的距离PF的长； (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米.当道闸打开至 °时，轿车能否驶入小区?请说明理由.(参考数据： 20.如图1是一个手机支架，如图2是其侧面示意图，AC，CD可分别绕点A，C转动，测得(CD=10cm,AC=24 cm.小明爸爸把支架调整到适合的位置,测得∠BAC=60°,∠ACD=55°. (1)求点 C到AB 的距离(结果保留根号)； (2)求点 D 到 AB 的距离(结果保留一位小数；参考数据： sin 25°≈0.423,cos25°≈0.906,tan25°≈0.466). 21.综合与实践. 【研究课题】数学研究小组针对所在城市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究. 【方案设计】要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.该数学研究小组通过调查研究，设计了如图1的遮阳篷，其中CD 表示垂直于墙面AC的遮阳篷，AB 表示窗户，BCD 表示直角遮阳篷. 【数据收集】通过查阅相关资料和实际测量：如图2，夏至日这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD 的夹角∠ADC最大，且最大角∠ADC=75°；如图3，冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角∠BDC 最小,且最小角∠BDC=35°. 【问题解决】 (1)如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当CD=1m时，求AC的长； (2)如图3，若要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，当AB=1.5m时，根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长.(结果精确到0.1m；参考数据: sin 75°≈0.97, cos 75°≈0.26,tan75°≈3.73,sin35°≈0.57, cos 35°≈0.82,tan35°≈0.70) 五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23 题14分,共27 分. 22.(跨学科融合)汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.如图,△ABC,△FED 分别为汽车两侧盲区的示意图,已知视线PB 与地面BE 的夹角∠PBE=45°,视线PE与地面BE 的夹角∠PEB=30°,点A,F分别为PB,PE 与车窗底部的交点,AF∥BE,AC,FD垂直地面BE,A 点到B点的距离AB =1.6m .(参考数据: 结果保留两位小数点) (1)求车窗底部到地面的高度(即AC的长)； (2)求盲区中 DE 的长度; (3)点M在ED上，MD=1.8m，在M处有一个高度为0.1m 的物体，驾驶员能观察到该物体吗?请说明理由. 23.综合运用：如图，已知四边形ABCD为矩形， ,点E 在BC上,CE =AE,将△ABC 沿AC翻折到△AFC,连接EF. (1)求 EF 的长; (2)求 sin∠CEF 的值; (3)取AC的中点 G,连接GE,求 cos∠GEF 的值. 第三十二章《锐角三角函数》单元水平测试 1. D 2. B 3. D 4. C 5. B 6. A 7. C 8. B 9. C 10. A 11.45 12.13.20} 16.解:原式 17.解：由题意得四边形BCDE 为矩形， ∴DE=BC=24m,CD=BE=1.5m. 在Rt△ADE中,∵∠ADE=39°, .. AE=DE·tan39°≈24×0.81=19.44(m), ∴AB=AE+EB=19.44+1.5=20.94≈20.9(m). 答:建筑物的高度AB约为20.9 m. 18.解:(1)在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,AB=6,∠A=30°, (2)∵AC=5,AD=3,∴CD=AC-AD=2 在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,BD=3, 19.解:(1)如图,过点D作DQ⊥PE,垂足为点Q, 由题意可知∠ADC=45°,PE=1.2米,QE=0.2米,在 Rt△PDQ 中,∠PDQ=45°,PQ=1.2-0.2=1(米), ∴DQ=PQ=1(米), ∴PF=AB-DQ=3-1=2(米), 即点P到MN的距离PF的长为2米. (2)当∠ADC=35°,PE=1.6米时, ∠DPQ=35°,PQ=1.6-0.2=1.4(米), ∴DQ=PQ·tan35°≈1.4×0.7002=0.98028(米), ∴PF=3-0.98028≈2.02(米), ∵2.02>1.8, .轿车能驶入小区. 20.解:(1)如图,过点C作CE⊥AB 于点E,则∠CEA=90°,在Rt△ACE中, 答：点C到AB的距离为12\sqrt{3}cm. (2)如图,过点D 作DF⊥CE于点 F,过点 D 作DG⊥AB于点G,则四边形DFEG是矩形,∴ EF=DG, 由(1)可知, ∠ACE=90°-∠BAC=30°,∵∠ACD=55°,∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=25°, 在Rt△DCF中,CF=CD·cos25°≈10×0.906=9.06(cm), ∴DG=EF=11.7cm. 答:点 D到AB的距离约为11.7 cm. 21.解:(1)在 Rt△ACD中,∵∠ADC=75°,CD=1m, 即 .. AC≈3.7m,即AC的长约为3.7m. (2)在 Rt△BCD中,∵∠BDC=35°, ∴BC=0.7CD,在 Rt△ADC 中,∵∠ADC=75°, ∴AC=3.73CD, ∴AB=AC-BC=(3.73-0.7)CD=1.5, ∴ CD≈0.5m,即遮阳篷CD的长约为0.5m . 22.解:(1)∵FD⊥EB,AC⊥EB,AF∥BE,∴DF=AC,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠PBE=45°, (米). 答：车窗底部到地面的高度约为1.13米. 在Rt△DEF中,∠FDE=90°,∠PEB=30°, (米). 答:盲区中DE 的长度约为1.96m. (3)驾驶员能观察到该物体，理由如下：如图,过点M作NM⊥ED,交PE于点 N, 米，,MD=1.8米, 米， 在Rt△EMN中, ≈0.09(米), ∵0.1>0.09,∴驾驶员能观察到物体. 23.解:(1)∵CE=AE,∴∠ECA=∠EAC,根据翻折可得 ∠BAC=∠CAF,∵四边形ABCD 是矩形,∴DA∥CB, ∴∠ECA=∠CAD,∴∠EAC=∠CAD,∴∠DAF=∠BAE, ∵∠BAD=90°,∴∠EAF=90°, 设CE=AE=x,则BE=4-x, 在Rt△BAE中，根据勾股定理得 即 解得x=3, 在Rt△EAF中, (2)过点F作FM⊥BC交BC于点M,设CM=y,则ME=3-y, 即 解得 (3)∵AB=2,BC=4,∴AC=√AB²+BC²=2∵CE=AE,G为AC的中点,∴GE⊥AC, 设AC与EF交于点O,作OH⊥AE于点 H,设OH=a,则 ∵AH+EH=AE,∴ 解得 学科网（北京）股份有限公司 $