2026--2027学年人教版九年级上册数学期末数学模拟试题

**基本信息** 以AI图标、桔槔汲水、水火箭实验为情境，融合几何直观与模型意识，覆盖九年级上册核心知识，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称、坐标变换、函数图象|结合科技情境考查抽象能力| |填空题|5/15|一元二次方程、圆锥展开、动态几何|融入八进制换算等跨学科元素| |解答题|8/75|旋转证明、反比例函数应用、二次函数综合|以水火箭实验、商场盈利为载体，体现模型意识与推理能力|

九年级上册期末数学模拟试题 考试用时120 分钟,满分120 分,23 小题 学校 班级 姓名 得分 学号 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的. 1.未来生活中，AI将扮演非常重要的角色.下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形的是 ( ) 2.若点A(2,a)与B(b,-3)关于原点对称,则点M(a,b)所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.用配方法解一元二次方程 的过程中，配方正确的是( ) 4.二次函数 的图象可能是( ) 5.反比例函数 的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC 的面积为5，则k的值为( ) A. - 5 B. C. - 10 D.-15 6.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为( ) 7.如图，小球悬浮于液体中 若 小球质量m为 则x的值为( ) A.1 B.4 C.1 或-2 D.-2 8.三角板ABC(∠BAC=90°,∠B=30°)与一组平行线a和b的位置如图所示,点A在直线b上,已知∠1=40°，将三角板绕点A顺时针转动，若要使BC∥a，则需转动的最小角度为( ) A.10° B.20° C.30° D.60° 9.如图，点A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=22.5°，则这个正多边形的边数为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 10.已知点P是⊙O外一点，如图所示，甲、乙两位同学用尺规过点P作⊙O 的切线PM.下列关于两位同学的作图判断正确的是( ) A.甲对，乙错 B.乙对，甲错 C.甲乙都对 D.甲乙都不对 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.已知a是一元二次方程 的一个实数根，求 的值为 . 12.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数253换算成十进制数是2× 现在有一个八进制数467，换算成十进制数是 . 13.随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中很重要的一个组成部分就是车门设计.好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等.如图，某汽车车门的底边长为1m，车门打开的最大角度为75°，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫过区域的边缘MN的最大长度是 m. 14.如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则I/R的值为 . 15.如图,在平面直角坐标系中,点A(1,0),B(11,0),点C为线段AB上一动点,以AC为直径的⊙D 的半径DE⊥AC，△CBF是以CB为斜边的等腰直角三角形，且点E，F都在第四象限，当点F 到过点A，C，E三点的抛物线的顶点的距离最小时，该抛物线的解析式为 . 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.解方程: 17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上(格点即网格线的交点). (1)将△ABC 绕点C 逆时针旋转90°,得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁; (2)在(1)的条件下，求点A 运动路径的长度. 18.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元? 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19.如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转一个角度α,得到△ADE,点 B 的对应点 D 恰好落在BC 边上,且点A,B，E在同一条直线上. (1)求证:DA平分∠BDE; (2)若AC⊥DE,求旋转角α的度数. 20.小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图)，有一横杆固定于桔槔上点O，并可绕点O转动.在横杆A 处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A 与点O的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 点A 与点 O 的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 100 (1)根据数据，猜测拉力的大小F与l之间满足 函数关系(填“一次”“二次”或“反比例”)； (2)求拉力F与l之间的函数解析式(不要求写自变量l的取值范围)； (3)已知某次OA的长为8m，小亮想用40 N的拉力汲水，小亮能否成功?请说明理由. 21.(跨学科融合)水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1是某学校兴趣小组的学生在科技节上制作出的一款简易弹射水火箭. 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，并确定了函数表达式为x=2t.同时也收集了飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 飞行高度y/m 0 6 8 6 【建立模型】任务1：求y关于t的函数解析式； 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地(高度为0m)时，求水火箭飞行的水平距离. 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高度为PQ)，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP=22 任务3：当水火箭落到AB内(包括端点A，B)，求发射台高度PQ 的取值范围. 五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23 题14分,共27分. 22.阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA的长是点 P与⊙O上各点之间的最短距离. 证明:如图2,延长PO交⊙O于点B,显然PB>PA.在⊙O上任取一点C(不与点A,B重合),连接PC,OC.∵PO<PC+OC,且PO=PA+OA,OA=OC,∴PA<PC, ∴ PA 的长是点 P 与⊙O 上各点之间的最短距离. 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差. 请用上述结论解决下列问题. (¹)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆O交AB于点D,P是弧 CD上的一个动点，连接AP，求AP长的最小值； (2)如图4,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,点N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C.求线段A'C长的最小值； (3)如图5，已知正方形ABCD的边长为4，点G是以BC为直径的半圆O上的一动点，点P是AB边上另一动点，G，P两点均可自由运动，连接PG，PD，求PD+PG的最小值. 23.如图，抛物线 与x轴相交于点B 和点 C，与y轴交于点A. (1)①抛物线的顶点坐标为 ； ②直线AB 的解析式为 ，直线AC 的解析式为 . (2)将抛物线 向上平移7个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内(不含边界)，求m的取值范围； (3)将抛物线 在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象记作G，若直线y=x+k与图象G始终有4个交点，请直接写出k的取值范围. 九年级上册期末数学模拟试题 1. B 2. D 3. D 4. C 5. C 6. C 7. C 8. A 9. B 10. C 11.2 030 12.311 13. 4. 16.解:整理得(x+1)(x-5)=0, 则x+1=0或x-5=0, ∴x=-1或x=5. 17.解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求作. ∴点A 运动路径的长度 18.解：设每件衬衫应降价x元. 根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200,整理，得 解得 ∵扩大销售量，尽快减少库存， 应舍去,∴x=20. 答：每件衬衫应降价20元. 19.(1)证明:如图1, 由旋转的性质得,∠1=∠B,AD=AB, ∴∠2=∠B,∴∠1=∠2,∴DA平分∠BDE. (2)解:如图2,设AC与DE交于点O, 由旋转的性质得,AB=AD,∠3=∠4=α,∠C=∠E, ∴∠C=∠E=90°-∠3=90°-α, ∵AB=AD, 解得α=72°, ∴旋转角α的度数为72°. 20.解:(1)反比例 (2)由(1)设拉力 F与l之间的函数解析式为 将l=1,F=300代入 解得k=300, ∴拉力F与l之间的函数解析式为 (3)小亮能成功.理由如下： ∵当OA=l=8时,代入 ∵F=37.5<40. ∴小亮用40 N的拉力汲水能成功. 21.解：任务1：根据探究发现：y与t是二次函数关系，设y关于t的函数解析式为 由题意得 ∴y关于t的函数解析式为 任务2：依题意得，令y=0，则 (不符合题意，舍去)， ∴当t=8s时,x=2t=16(m). 答：水火箭落地时飞行的水平距离16 m. 任务3：设发射台高度PQ为 hm， 水火箭相对于安全线的飞行高度为 在 中,t=11,y₁=0,解得h=16.5; 解得h=20, ∴16.5≤h≤20. 答:发射台高度PQ的取值范围是16.5 m≤PQ≤20 m. 22.解:(1)如图1所示,连接AO与⊙O相交于点 P, 由题意得，此时AP 最短， ∵BC为直径,且BC=2, ∴在Rt△ACO中, ∴AP的最小值为 (2)∵四边形ABCD是边长为2 的菱形, ∴AD=CD=2,AB∥CD, ∵M是AD的中点, 由折叠的性质可得MA'=MA=MD=1, ∵点N在线段AB上运动， ∴点A'在AD 为直径的圆上运动(AD 右侧的半圆上). 如图2所示，以点M 为圆心，AM为半径作圆M，连接CM交圆M 于点Q,过点C作CP⊥AD,交AD的延长线于点 P, ∵∠A=60°,AB∥CD ∴∠PDC=∠A=60°, ∴∠PCD=90°-60°=30°,. ∴PM=MD+DP=2, 由题意可知，当点A'与点 Q重合时，A'C最短为 (3)如图3所示,作点 D 关于AB的对称点D',连接D'P,D'G,D'O,过点 D'作D'C'⊥CB交CB的延长线于点 C',设D'O分别交AB于点N，交半圆O于点H， 由轴对称的性质可得PD=PD',AD'=AD=4,AD'⊥AB, ∴当D',P,G三点共线时,PD+PG有最小值,最小值为 D'G的长， ∴由题意得，当点P与点N重合，点G与点H重合时，PD+PG有最小值，最小值为 D'H的长. ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°, ∴∠ABC'=180°-90°=90°=∠D'C'B=∠D'AB, ∴ 四边形AD'C'B是矩形, ∴PD+PG的最小值为 23.解: (2)由(1)得 ∴向上平移7个单位长度，再向左平移m(m>0)个单位长度的抛物线解析式为 ∴抛物线顶点P为 由(1)得,直线AB的解析式为y= -4x-4,直线AC的解析式为 当点 P在AB上时， 解得 当点P在AC上时， 解得 ∴新抛物线的顶点P在△ABC内(不含边界)，m的取值范围为 (3)翻折后所得新图象如图所示， 平移直线y=x+k知，直线位于l₁和l₂时，它与新图象有3个不同的公共点. ①当直线位于l₁时,此时l₁过点B(-1,0), ∴0=-1+k,即k=1; ②当直线位于l₂时，此时l₁与函数 (-1≤x≤8)的图象有一个公共点， 整理得 故有方程两个相等的实数根， 解得 ∴直线y=x+k与图象G始终有4个交点，k的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $