2026-2027学年人教版九年级数学上册期末评估测试卷

**基本信息** 初中数学期末评估卷，融合中考真题与创新情境，覆盖几何变换、函数应用等核心知识，通过彩虹桥模型、正多边形旋转等问题，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|中心对称图形、圆的位置关系、二次函数平移|结合2025齐齐哈尔中考题，注重空间观念| |填空题|4/12|点与圆位置、中心对称坐标、圆锥侧面展开|融入2026杭州月考素材，考查符号意识| |解答题|8/72|一元二次方程求解、旋转作图、二次函数综合应用|以彩虹桥抛物线建模、销售利润问题为载体，体现应用意识与推理能力|

期末评估测试卷 (总分:120分　时间:120分钟) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2025齐齐哈尔中考)社会规则营造良好的社会秩序,我们要了解并遵守社会规则.下列标志是中心对称图形的是 (　　) 　　　　　　 A　　　　B　　　　C　　　　D 2.已知☉O的半径是3 cm,圆心O到直线a的距离为5 cm,则直线a与☉O的公共点个数是 (　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.1或2 3.若关于x的一元二次方程ax2+bx-4=0的一个根是x=1,则代数式2 026-a-b的值为 (　　) A.-2 022　　　　B.2 022　　　　C.2 023　　　　D.2 030 4.如图,将△ABC绕着点B顺时针旋转70°后得到△A'BC'.若∠A=60°,∠C=100°,则∠A'BC'的度数是 (　　) A.20°　　　　B.25°　　　　C.30°　　　　D.35° 5.抛物线y=(x+1)2-4向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得抛物线对应的函数解析式为y=x2+bx+c,则b,c的值分别为 (　　) A.2,2 B.2,0 C.-2,-1 D.-2,0 6.若关于x的一元二次方程(2x-3)2=2m+3没有实数根,则m的值可以是 (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是 (　　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 8.(2026杭州萧山区月考)过☉O内一点M的最长弦长为6 cm,最短弦长为4 cm,则OM的长为 (　　) A.3 cm　　　　B.2 cm　　　　C. cm　　　　D. cm 9.如图,在平面直角坐标系中,点A在函数y=(x>0)的图象上,过点A作AC∥x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点B,使OB=OC,连接AB,则△ABC的面积为 (　　) A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ABC的内切圆的半径为2,三个切点分别为D,E,F,若AB=10,则△ABC的面积是 (　　) A.14　　　　B.24　　　　C.28　　　　D.10+10 11.如图,AB是半圆的直径,D是的中点,连接DA,AC,DE⊥AO于点E.若∠DAC=22.5°,DE=1,则阴影部分的面积为 (　　) A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.- 12.题目:“要在边长为10的正方形ABCD内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形,若该正多边形能在正方形ABCD内(含边界)自由旋转,求其边长的最大值d.例如,当正多边形为正六边形时,如图1,该正六边形边长的最大值d=5.” 　　 图1　　　　　图2　　　　　图3 甲:当正多边形为正方形PQMN时,如图2,该正方形边长的最大值d=5; 乙:当正多边形为等边三角形EFG时,如图3,该等边三角形的边长的最大值d=5. 针对甲和乙的答案,下列判断正确的是 (　　) A.甲和乙都对 B.甲和乙都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对 二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分) 13.(2026杭州月考)已知☉O的直径为8,若OA=5,则点A与☉O的位置关系是　　　　.  14.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(a,3),点B的坐标为(4,b).若点A与点B关于原点O对称,则ab=　　　　.  15.如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若母线长l为6 cm,扇形的圆心角θ为120°,则圆锥的底面圆的半径r为　　　　cm.  16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为x=1.有下列5个结论:①abc>0;②a-b+c<0;③4a+2b+c>0;④3a+c>0;⑤n(an+b)>a+b(n为实数且n≠1),其中正确的结论为　　　　.(填序号)  三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8分)用适当的方法解下列方程: (1)(x-1)(x+2)=4. (2)2x2-4x-3=0. 18.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(4,2),C(3,5)(每个方格的边长均为1个单位长度). (1)请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1,并直接写出点A1的坐标. (2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°,画出旋转后得到的图形△A2B2C2,并直接写出点A2的坐标. 19.(8分)(2025南充中考)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两个根. (1)当x1=-1时,求x2及m的值. (2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0. 20.(8分)某商场销售一批品牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.通过市场调查发现,该品牌衬衫的单价每降低1元,平均每天可多售出2件. (1)如果商场销售该品牌衬衫既要保证每天盈利1 200元,又要尽快减少库存,那么单价应降低多少元? (2)商场通过这种降价措施销售该品牌衬衫能否每天盈利1 500元?请说明理由. 21.(8分)某景区有一座美丽的彩虹桥,它的部分截面示意图如图所示,桥L,钢缆L1,L2均呈抛物线形,线段BC为桥面,线段OA为立柱,OA⊥BC,OA=2 m,L1,L2关于OA所在直线对称.L1的最低点到BC的距离为 m,到OA的距离为2 m.以O为原点,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. (1)求L1所在抛物线对应的函数解析式. (2)现要悬挂两条灯带M1N1,M2N2来增加夜景效果,M1N1,M2N2均与BC垂直,点M1,M2分别在L1,L2上,点N1,N2在L上,点M1,M2到OA的距离均为3 m.已知L所在抛物线对应的函数解析式为y=-x2,求这两条灯带的总长. 22.(9分)(2025广元中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+2的图象分别与x轴、y轴交于点A,点C,与反比例函数y=(x<0)的图象交于点B(-2,3). (1)求一次函数和反比例函数的解析式. (2)点D(-6,n)是反比例函数y=图象上一点,连接BD,CD,求△BCD的面积. (3)点P在y轴上,满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形,请直接写出点P的坐标. 23.(11分)(2025资阳中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E. (1)求证:DE是☉O的切线. (2)若∠BAC=60°,CE=,求☉O的半径. 24.(12分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-5,0)两点,与y轴交于点C.P是抛物线上的任意一点(不与点C重合),点P的横坐标为m,抛物线上点C与点P之间的部分(包含端点)记为图象G. (1)求抛物线对应的函数解析式. (2)当m符合什么条件时,图象G的最大值与最小值的差为4? (3)将线段AB先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到线段A'B'.若抛物线y=-x2+bx+c平移后与线段A'B'有两个公共点,且这两个公共点恰好将线段A'B'三等分,求抛物线平移的最短路程. (4)当m<0时,若图象G与平行于x轴的直线y=-2m+3有且只有一个公共点,直接写出m的取值范围. 【详解答案】 1.D　2.A　3.B　4.A 5.D　解析:由题意得,平移后的抛物线对应的函数解析式为y=(x+1-2)2-4+3=x2-2x,∴b=-2,c=0.故选D. 6.C　解析:由题意,得(2x-3)2≥0,∴2m+3<0,∴2m<-3,∴m<-.选项C中m=-2<-,符合条件.故选C. 7.D　解析:由二次函数的图象开口向下可知a<0,由对称轴在y轴左侧可知-<0,∴b<0,由函数图象与y轴交点位于y轴正半轴可知c>0,则反比例函数y=的图象位于第一、第三象限,一次函数图象y=ax+b的图象位于第二、第三、第四象限,所以选项D符合题意,选项A,B,C不符合题意.故选D. 8.D　解析:如图所示,CD⊥AB于点M. ∵过点M的最长弦长为6 cm,最短弦长为4 cm,∴AB=6 cm,CD=4 cm,∴OC=AB=3 cm.∵CD⊥AB,∴CM=CD=2 cm.根据勾股定理,得OM===(cm).故选D. 9.C　解析:如图,连接OA. ∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,且AC⊥y轴,∴△AOC的面积为=4.∵OB=OC,∴△AOB的面积为×4=2,∴△ABC的面积为4+2=6.故选C. 10.B　解析:如图,连接OD,OE. ∵△ABC的内切圆☉O的半径为2,三个切点分别为D,E,F,∴AC⊥OD,BC⊥OE,AD=AF,BE=BF,∴∠ODC=∠OEC=90°,∵∠C=90°,∴四边形ODCE是矩形,∵OD=OE=2,∴四边形ODCE是正方形,∴CD=CE=OE=2,设AD=AF=x,则AC=x+2,∵AB=10,∴BE=BF=10-x,∴BC=2+10-x=12-x,∵AC2+BC2=AB2,∴(x+2)2+(12-x)2=102,整理得x2-10x+24=0,解得x1=6,x2=4,当x=6时,AC=6+2=8,BC=12-6=6;当x=4时,AC=4+2=6,BC=12-4=8,∴=×8×6=24.故选B. 11.A　解析:如图,连接OD,OC. ∵∠DAC=22.5°,DE=1,∴∠COD=2∠DAC=45°.∵D是的中点,∴=,∴∠AOD=∠COD=45°,∴△ODE为等腰直角三角形,∴OD=,∴S扇形OAD==,S△OAD=OA·DE=××1=,∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD=-.故选A. 12.A　解析:如图1,连接ON,OM.∵正方形PQMN与正方形ABCD有共同中心O,且能在正方形ABCD内自由旋转,∴正方形PQMN的最大半径ON与正方形ABCD的边心距相等.∴ON=OM=5.根据勾股定理,得MN==5.∴该正方形边长的最大值d=5.故甲对.如图2,连接OE,OF,过点O作OR⊥EF于点R,则∠ORE=90°.根据等腰三角形的性质,得ER=FR.∴∠EOR=∠FOR=∠EOF=×120°=60°.∴∠OER=30°.∴OR=OE.∵等边三角形EFG与正方形ABCD有共同中心O,且能在正方形ABCD内自由旋转,∴等边三角形EFG的最大半径OE与正方形ABCD的边心距相等.∴OE=5.∴OR=OE=.根据勾股定理,得ER===.∴EF=2ER=2×=5.∴该等边三角形边长的最大值d=5.故乙对.故选A. 　　 图1　　　　　图2 13.点A在☉O外 14.12　解析:因为点A(a,3)与点B(4,b)关于原点对称,所以a=-4,b=-3.所以ab=(-4)×(-3)=12. 15.2　解析:由题意,得2πr=.解得r=2. 16.①④⑤　解析:①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上,∴a>0,∵对称轴在y轴右侧,∴->0,∴b<0,∵二次函数图象与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①正确;②当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,故②错误;③∵抛物线的对称轴为x=1,∴x=2与x=0时的函数值相同,∴当x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,故③错误;④∵-=1,∴b=-2a,将b=-2a代入a-b+c>0,得3a+c>0,故④正确;⑤∵抛物线的对称轴为x=1,∴当x=1时,函数的最小值为a+b+c,∵当x=n时,y=an2+bn+c,∴a+b+c≤an2+bn+c,∴n(an+b)>a+b(n为实数且n≠1),故⑤正确.故正确的结论为①④⑤. 17.解:(1)原方程整理,得x2+x-6=0, ∴(x+3)(x-2)=0, ∴x+3=0或x-2=0, ∴x1=-3,x2=2. (2)2x2-4x-3=0, ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×(-3)=40>0, ∴x==1±, ∴x1=1+,x2=1-. 18.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求. 点A1的坐标为(-1,-4). (2)如图,△A2B2C2即为所求. 点A2的坐标为(-4,1). 19.解:(1)把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2, 得m2=6, ∴m=±. ∴(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0. ∴(x-4)(x+1)=0. ∴x1=-1,x2=4. ∴x2=4,m=±. (2)证明:方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. ∵Δ=9-4(2-m2)=4m2+1>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∵方程(x-1)(x-2)=m2即x2-3x+2-m2=0的两个根为x1,x2, ∴x1+x2=3,x1x2=2-m2. ∴(x1-1)(x2-1) =x1x2-(x1+x2)+1 =2-m2-3+1 =-m2. ∵m2≥0, ∴-m2≤0,即(x1-1)(x2-1)≤0. 20.解:设该品牌衬衫的单价降低了x元, (1)根据题意,得 (20+2x)(40-x)=1 200, 即x2-30x+200=0, 解得x1=10,x2=20, ∵要尽快减少库存, ∴该品牌衬衫的单价应降低20元. (2)商场通过这种降价措施销售该品牌衬衫不能每天盈利1 500元,理由如下: 根据题意,得 (20+2x)(40-x)=1 500, 整理,得x2-30x+350=0, ∵Δ=(-30)2-4×1×350=900-1 400=-500<0, ∴原方程没有实数根, ∴商场通过这种降价措施销售该品牌衬衫不能每天盈利1 500元. 21.解:(1)由题意知,L1所在抛物线的顶点为,且过点A(0,2), ∴设L1所在抛物线对应的函数解析式为y=a(x-2)2+, ∴2=a(0-2)2+, 解得a=, ∴L1所在抛物线对应的函数解析式为y=(x-2)2+. (2)∵点M1,M2到OA的距离均为3 m, ∴把x=3代入y=(x-2)2+得y=×(3-2)2+=, 把x=3代入y=-x2得y=-×32=-, ∴M2N2=M1N1=-=(m), ∴这两条灯带的总长为 m. 22.解:(1)∵一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=(x<0)的图象交于点B(-2,3), ∴3=-2k+2,3=, ∴k=-,m=-6, ∴一次函数的解析式为y=-x+2,反比例函数的解析式为y=-(x<0). (2)∵一次函数y=-x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A,点C, ∴A(4,0),C(0,2). ∵点D(-6,n)是反比例函数y=-图象上一点, ∴n=-=1, ∴D(-6,1). 设直线BD对应的函数解析式为y=ax+b, ∴解得 ∴直线BD对应的函数解析式为y=x+4. 如图,延长DB交y轴于点E. 当x=0时,y=4, ∴E(0,4), ∴S△BCD=S△ECD-S△BCE=×(4-2)×6-×(4-2)×2=4. (3)点P的坐标为或. 解析:设P(0,x), ∵A(4,0),B(-2,3), ∴根据题意,得(x-3)2+(-2)2+x2+(-4)2=(4+2)2+(0-3)2, 解得x1=,x2=, ∴点P的坐标为或. 23.解:(1)证明:如图,连接OD,则OD=OA, ∴∠ODA=∠BAD. ∵∠BAC的平分线交☉O于点D, ∴∠CAD=∠BAD, ∴∠ODA=∠CAD, ∴OD∥AC. ∵AB是☉O的直径,DE∥BC, ∴∠E=∠ACB=90°, ∴∠ODE=180°-∠E=90°, ∴DE⊥OD. 又∵OD是☉O的半径, ∴DE是☉O的切线. (2)如图,设OD交BC于点F,连接BD. ∵∠ACB=90°, ∴∠FCE=90°. ∵∠FDE=∠E=90°, ∴四边形CEDF是矩形, ∴DF=CE=,∠CFD=90°. ∵OD∥AC, ∴∠BOD=∠BAC=60°. ∵OD=OB, ∴△DOB是等边三角形. ∵∠CFD=90°, ∴BC⊥OD, ∴OF=DF, ∴OD=2DF=2, ∴☉O的半径是2. 24.解:(1)将A(1,0),B(-5,0)代入y=-x2+bx+c,得 解得 ∴抛物线对应的函数解析式为y=-x2-4x+5. (2)在y=-x2-4x+5中,令x=0,则y=5, ∴C(0,5). ∵y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9, ∴抛物线的顶点为(-2,9). 当y=5时,-x2-4x+5=5, 解得x=0或x=-4, 当m≤-4时,图象G的最大值为9,最小值为-m2-4m+5, ∴9-(-m2-4m+5)=4, 解得m=0(舍去)或m=-4, ∴当m=-4时,图象G的最大值与最小值的差为4; 当-4<m≤-2时,图象G的最大值为9,最小值为5, ∴图象G的最大值与最小值的差为4; 当-2<m<0时,图象G的最大值为-m2-4m+5,最小值为5, ∴-m2-4m+5-5=4, 解得m=-2(舍去); 当m>0时,图象G的最大值为5,最小值为-m2-4m+5, ∴5-(-m2-4m+5)=4, 解得m=2-2或m=-2-2(舍去). 综上所述,当-4≤m≤-2或m=2-2时,图象G的最大值与最小值的差为4. (3)∵A(1,0),B(-5,0), ∴将线段AB先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度可得A'(0,5),B'(-6,5), ∴线段A'B'的两个三等分点的坐标为(-4,5),(-2,5). 设平移后的抛物线对应的函数解析式为y=-(x-h)2+k, ∵抛物线y=-x2-4x+5平移后与线段A'B'有两个公共点,且这两个公共点恰好将线段A'B'三等分, ∴解得 ∴平移后的抛物线对应的函数解析式为y=-(x+3)2+6,其顶点为(-3,6), 而抛物线y=-x2-4x+5的顶点为(-2,9), ∴平移前后抛物线的顶点之间的距离为=. ∴抛物线平移的最短路程为. (4)m=-3或--1<m≤-1. 解析:当-2m+3=5时,m=-1,此时图象G与直线y=-2m+3有且只有一个公共点C,如图1; 图1 当-2m+3=-m2-4m+5时,m=--1或m=-1(舍去),此时图象G与直线y=-2m+3有两个公共点,如图2; 图2 当-2m+3=9时,m=-3,此时图象G与直线y=-2m+3有且只有一个公共点. 综上所述,当m=-3或--1<m≤-1时,图象G与直线y=-2m+3有且只有一个公共点. 学科网（北京）股份有限公司 $