2026-2027学年苏科版九年级数学上册 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与反比例函数，融合亚冬会销售、农场设计等真实情境，通过基础概念、几何综合与实际应用的梯度设计，适配九年级月考能力检测，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一次项系数、反比例函数定义与图像性质|结合正三角形与双曲线交点考面积，体现几何直观| |填空题|4/20|根的判别式、根与系数关系、反比例函数k值|通过坐标轴构造矩形求k，培养空间观念| |解答题|9/90|方程求解、实际应用（亚冬会销售利润、农场篱笆设计）、整点问题|22题以亚冬会为背景考增长率与利润，23题探究区域整点个数，发展创新意识与应用能力|

九年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程与反比例函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（25-26九年级上·江苏南通·月考）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 2．（2024九年级上 江苏南京·月考）若点都在反比例函数的图像上，则m与n之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 4．（24-25九年级上·北京顺义·月考）若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 5．（23-24九年级上·江苏南京·月考）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 6．（2025九年级上 江苏镇江·月考）函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 8．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段测试）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（25-26九年级上·江苏南通·月考）的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·四川成都·阶段测试）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 第II卷（非选择题） 2、 填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）若关于的方程有两个不等的实数根，则的值为___________． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）若关于的一元二次方程的两个根为，，则关于的一元二次方程的解为______． 13．（2024九年级上 陕西西安·月考）如图，点A、B在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点D，轴于点C，，连接，若，则k的值为______． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是___________．（用“”号连接） 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 16．（2023九年级上 江苏徐州·月考）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．    (1)这个反比例函数的解析式； (2)的面积． 17．（23-24九年级上·湖南常德·阶段测试）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式，如：，∵，∴，∴；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ； (2)如图，在矩形中，，．以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F．请指出下图中哪条线段的长度是方程的一个根，并说明理由 19．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 20．（2026九年级上 江苏无锡·月考）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 21．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 22．（24-25九年级上 江苏南京·月考）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 23．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段测试）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程与反比例函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（25-26九年级上·江苏南通·月考）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 2．（2024九年级上 江苏南京·月考）若点都在反比例函数的图像上，则m与n之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：将代入反比例函数， 得到：， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为且，因此指数需为，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数为y关于x的反比例函数， ∴，， 由得， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·北京顺义·月考）若反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式的方法是解题的关键．先代入求出的值，再根据反比例函数的性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：代入得，， 反比例函数为， A、，故此选项说法不正确，不符合题意； B、因为，所以函数图象经过点，故此选项说法正确，符合题意； C、当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，不符合题意； D、当时，，故此选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24九年级上·江苏南京·月考）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．根据等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，过点B作于点E，则，由反比例函数系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选B． 6．（2025九年级上 江苏镇江·月考）函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据函数与的图象相交于点，得到，求得，得到，从而得到，根据图象的对称性，得另一交点为，利用数形结合思想，确定解集即可． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，掌握解析式不等式解集的确定是解题的关键． 【详解】解：由函数与的图象相交于点，得到，解得， 故，故反比例函数的解析式为， 根据图象的对称性，得另一交点为，画图如下： 故不等式的解集为或． 故选：D． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段测试）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 9．（25-26九年级上·江苏南通·月考）的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理原方程，根据直角边长度为正确定的取值，再利用根与系数的关系得到m与两根a、b的关系，最后代入另一直角边的表达式即可求出结果． 【详解】解：， 整理得：， ∵直角边长度为正数，方程两根为， ∴，，， ∴，， 根据三角形面积公式得： ， 10．（24-25九年级上·四川成都·阶段测试）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【详解】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）若关于的方程有两个不等的实数根，则的值为___________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程判别式，熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由根与系数的关系可知，当一元二次方程有两个不等的实数根， 则，且， 即， 解得，， ∴且． 故答案为：且 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）若关于的一元二次方程的两个根为，，则关于的一元二次方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 令，代入，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：令，代入， 则， 则由题意得，或 ∴或 解得或， ∴一元二次方程的解为，， 故答案为：，． 13．（2024九年级上 陕西西安·月考）如图，点A、B在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点D，轴于点C，，连接，若，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．根据题意可得，，再利用得到点坐标，继而求出值即可． 【详解】解：轴于点，轴于点，， ，， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数比例系数， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)， (2)， (3)，； (4)， 【分析】（1）用直接开平方法，即可求解； （2）可求，，，，由求根公式，进行求解即可． （3）将方程右边的项移到左边进行因式分解，即可求解； （4）整理后，利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：， 开方得， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，； （3）解：， 整理得，即， 因式分解得，即， 或， ，； （4）解：， 整理得，即， 配方得，即， 开方得， ，． 16．（2023九年级上 江苏徐州·月考）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．    (1)这个反比例函数的解析式； (2)的面积． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）根据题意将代入正比例函数，求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求出解析式即可； （2）根据反比例函数关于原点对称，从而得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在正比例函数的图象上， ∴， ∴； 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称性． 17．（23-24九年级上·湖南常德·阶段测试）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系． （1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可； （2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式，如：，∵，∴，∴；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ； (2)如图，在矩形中，，．以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F．请指出下图中哪条线段的长度是方程的一个根，并说明理由 【答案】(1)2，小，3 (2) 的长为方程的一个根，理由如下： ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为方程的一个根． 【分析】本题考查配方法，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）利用配方法以及完全平方的非负性，进行求解即可； （2）根据矩形的性质，以及作图得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，配方法求出方程的根，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴， ∴当时，代数式有最小值，为3； （2）略 19．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 20．（2026九年级上 江苏无锡·月考）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，理由 设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）略 21．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 22．（24-25九年级上 江苏南京·月考）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次方程，取符合题意的值即可； （2）设该款徽章降价元，根据5月销售利润达8400元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可． 【详解】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 23．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段测试）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③问题一：，问题二： 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （1）根据点在的图象上，可求出的值． （2）①标出区域，再统计区域内的整数点即可． ②结合图象可找出这4个整数点，便可得出的取值范围． ③问题一：过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于0，便可解决问题． 问题二：利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可． 【详解】（1）因为双曲线经过点， 所以． 即的值为4． （2）①当时，由图1可知， 上的整点有4个， 上的整点有4个， 双曲线上段的整点有3个， 区域内部的整点有3个， 又点，，都被算了2次， 所以区域的整点个数为：． 故答案为：11． ②因为区域的整点个数为4，如图所示， 又，则区域的4个整点如图所示：，，，． 故纵坐标的取值范围是：． 故答案为：． ③问题一：由题知， ， 则不论为何值，时，， 即直线过定点， 所以． 故答案为：5，4． 问题二：如图所示，当时，区域内的整点共有15个． 又被分成的区域和的整点个数之差不超过2， 则当直线经过点时，的整点个数是7，的整点个数是5，满足要求． 此时，得． 当直线过点时，的整点个数是5，的整点个数是8，不满足要求．故当点在直线上方时，即可． 此时，得． 故的取值范围是：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $