精品解析：江苏新沂市时集中学2025～2026学年度第一学期第一次质量调研 九年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期第一次质量调研九年级数学试卷 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，4 C. 1，， D. 1，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式下， 是二次项系数，是一次项系数，是常数项，将一元二次方程化为一般形式是解题的关键； 先将一元二次方程化为一般形式，再进行求解． 【详解】方程化为一般形式得，， 其二次项系数，一次项系数，常数项分别是1，，． 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，首先将方程常数项移到右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，即可求解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加4，可得，即． 故选：D． 3. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可． 【详解】解：A、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； B、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； C、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； D、这里，，， △， 方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，，计算求解，然后判断即可． 【详解】解；由题意知，， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当一元二次方程有两个不同的实数根，则． 5. 已知关于的方程的一个根是 ，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解方程的根，代入计算是解题的关键． 根据题意，把代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是 ， ∴， 解得，， 故选：C ． 6. 如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（ ） A. 70° B. 90° C. 40° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可． 【详解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键． 7. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】∵， ∴= 故选B． 【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质． 8. 若圆半径是12，的长是7，则点与圆的位置关系是点在圆（ ） A. 上 B. 内 C. 外 D. 不能判定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．若设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵圆半径是12，的长是7，即点A到圆心O的距离小于圆的半径， ∴点A在圆内． 故选：B． 二、填空题（每题4分，共32分） 9. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，分别求解这两个方程即可得到原方程的解． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，. 10. 一元二次方程的两根为，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由根与系数的关系求出所求即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 12. 小区新增了一家快递店，第一天揽件242件，第三天揽件200件，设该快递店揽件日平均降低率为x，则根据题意可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； 设该快递店揽件日平均降低率为x，根据题意列方程即可． 【详解】解：设该快递店揽件日平均降低率为x，根据题意可得 ． 故答案为：． 13. 直角三角形的两条直角边长是，则它的外接圆的半径是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形外接圆的性质．根据勾股定理可得斜边长，再根据直角三角形外接圆的性质解答即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长是， ∴斜边长为， ∴它的外接圆的半径是． 故答案为： 14. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 15. 如图，是的弦，于，交于，若，，则的半径为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，根据垂径定理可知，在中用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接， 于， ，， ， ， 在中，， ， 解得． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，是内一点，，则长的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据，可知点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，利用勾股定理得到，此时的最小值为． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 点在以为直径的上， 连接交于点，此时最小， 在中，，，， ， ， 线段长的最小值为． 三、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法，因式分解法是解题的关键． （1）提取公因式，运用因式分解即可求解； （2）运用公式法求解即可； （3）移项，提取公因式，因式分解即可求解； （4）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：， 化为一般式得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 18. 已知，，用圆规和直尺作出它的外接圆O． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作三角形的外接圆，以点A、B为圆心、任意长度为半径画弧，分别交于点D、E，连接，再以点A、C为圆心、任意长度为半径画弧，分别交于点F、G，连接，交直线于点O，再以点O为圆心、为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求； ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴是的外接圆． 19. 已知关于x的方程． 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接把x=1代入方程求解a，然后再求出另一个根即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：将代入方程得， ，解得，； 方程为 设另一根为，则，． ， 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 20. 如图，的三个顶点都在上，直径，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和推论，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆周角定理及推论是解题关键． 连接，通过圆周角定理的推论得，推得，利用特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，且在中，， ∴． 21. 直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元．通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件．商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？ 【答案】5元或15元 【解析】 【分析】设小商品的单价应降低x元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为 件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，从而可得答案. 【详解】解：设小商品的单价应降低x元， 依题意，得， 整理得：， 解得， 答：小商品的单价应降低5元或15元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程. 22. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒． （1）当为何值时，的面积等于？ （2）当为何值时，的长度等于？ 【答案】（1）为5或7 （2）为或4 【解析】 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程， （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可； 【小问1详解】 解：根据题意知，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，． 故当为5或7时，的面积等于； 【小问2详解】 设秒后，的长度等于，根据勾股定理，得 ，即， 整理得，， 解得，． 故当为或4时，的长度等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第一次质量调研九年级数学试卷 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，4 C. 1，， D. 1，， 2. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知关于的方程的一个根是 ，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（ ） A. 70° B. 90° C. 40° D. 60° 7. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 8. 若圆半径是12，的长是7，则点与圆的位置关系是点在圆（ ） A. 上 B. 内 C. 外 D. 不能判定 二、填空题（每题4分，共32分） 9. 方程的解是______． 10. 一元二次方程的两根为，则_____． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 12. 小区新增了一家快递店，第一天揽件242件，第三天揽件200件，设该快递店揽件日平均降低率为x，则根据题意可列方程为_____________． 13. 直角三角形的两条直角边长是，则它的外接圆的半径是_______． 14. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度． 15. 如图，是的弦，于，交于，若，，则的半径为_________． 16. 如图，在中，，，，是内一点，，则长的最小值是______． 三、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知，，用圆规和直尺作出它的外接圆O． 19. 已知关于x的方程． 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 20. 如图，的三个顶点都在上，直径，，求的长． 21. 直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元．通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件．商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？ 22. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒． （1）当为何值时，的面积等于？ （2）当为何值时，的长度等于？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $