专题3.1 勾股定理的探究重难点题型专训（2个知识点+8大题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

本讲义聚焦勾股定理这一核心知识点，系统梳理其定义（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）与验证方法（拼图法），通过8大基础题型（解三角形、面积计算等）和1大提高题型（与全等三角形结合），构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料特色在于分层设计与素养导向，基础题型夯实概念，提高题型深化逻辑推理，自我检测助力查漏补缺。通过弦图问题培养几何直观，无理数结合题型发展抽象能力，实际应用题（如秋千、长方体容纳木棒）强化应用意识，课中辅助教学，课后帮助学生巩固提升。

专题3.1 勾股定理的探究重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 用勾股定理解三角形】 3 【基础题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 3 【基础题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 5 【基础题型四 利用勾股定理证明线段平方关系】 7 【基础题型五 勾股定理的证明方法】 9 【基础题型六 以弦图为背景的计算题】 11 【基础题型七 用勾股定理构造图形解决问题】 13 【基础题型八 勾股定理与无理数】 16 第二部分·练提高题型 【提高题型一 勾股定理与全等三角形结合的证明和计算】 19 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（     ） A．4 B． C．5 D． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________． 知识点02 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 【即时训练】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·四川凉山·期中）如图，用4个全等的直角三角形与1个正方形拼成的正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：① ② ③ ④；其中说法正确的有________个． 【基础题型一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，，则边上的中线长是__________． 1．（26-27八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，垂足为，，点是边的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·江苏苏州·课后作业）如图，在中，，D是的中点，垂足为D，交于点E，连接．若，，则的长为________． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现：如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为．，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究：如图2，正六边形中包含六个全等的等边三角形，如图3，将正六边形纸片按所示折叠成完美长方形，若正六边形的边长为，求完美长方形的面积． 【基础题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，分别以，为边向外部作正方形，面积分别为60，40，则的长为________． 1．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为（    ）． A．38 B．34 C．42 D．44 3．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，，是斜边上的高，分别以为直径向的内侧作半圆，恰好交于点D．若，，则阴影部分的面积为_______． 4．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 【基础题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 【例1】（25-26八年级上·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【基础题型四 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 1．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 3．（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【基础题型五 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为_____． 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段检测）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 【基础题型六 以弦图为背景的计算题】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ________． 1．（25-26八年级上·北京·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 4．（25-26八年级上·江西抚州·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【基础题型七 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为______． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（   ）米． A． B．20 C．15 D． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段检测）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为____寸． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【基础题型八 勾股定理与无理数】 【例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，中，，，点M在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为1，若，则数轴上点A表示的数是__________． 1．（26-27八年级上·河北衡水·阶段测试）如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·江苏盐城·期末）把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．最少只需要剪_________刀． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）请你在数轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 【提高题型一 勾股定理与全等三角形结合的证明和计算】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，点D是边上一动点，以为边作等边，连接，取的中点F． （1）的长为________； （2）若点D从点C运动至点A，在此过程中，点F运动的路径长为________． 1．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 2．（2026八年级上 江苏苏州·单元测试）如图，在中，，平分，，且，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·江苏扬州·课后作业）如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则线段的最小值是________． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 1．（26-27八年级上·江苏）在长方形中，厘米，厘米，P为 上一点， 垂直于，垂直于，则 与的长度之和是（     ）． A．10 B．12 C．24 D．30 2．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 3．（2026八年级上 安徽六安·单元测试）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 4．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）数学实践课上，小朋同学用四块全等的直角三角形纸板拼出如图所示的图形，已知点在同一直线上，若，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·云南红河·期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 7．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是(      ) A． B． C． D． 8．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段测试）已知，等腰中，点在 上，且，，是延长线上一点， 交于，且，连、．则下列结论：①；②；③；④（     ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 11．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）中，斜边，则的值是______． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则_____． 13．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）．若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则五边形的周长为________． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点．若，则线段的长为 ___________________ ． 15．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 16．（2026八年级上 江苏无锡·课后作业）如图，已知． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的垂线，在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则点到的距离为 ．（如需画草图，请使用备用图） 17．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 18．（25-26八年级上·广东深圳·课后作业）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 19．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 20．（26-27八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ． ②应用场景2——解决实际问题． 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 勾股定理的探究重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 用勾股定理解三角形】 5 【基础题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 6 【基础题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 10 【基础题型四 利用勾股定理证明线段平方关系】 14 【基础题型五 勾股定理的证明方法】 21 【基础题型六 以弦图为背景的计算题】 27 【基础题型七 用勾股定理构造图形解决问题】 31 【基础题型八 勾股定理与无理数】 38 第二部分·练提高题型 【提高题型一 勾股定理与全等三角形结合的证明和计算】 44 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，当4是直角边长时和当4是斜边长时，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当3，4是直角边长时，由勾股定理得第三边长； 当4是斜边长时，由勾股定理得第三边长． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，勾股定理， 先根据勾股定理求出，即可求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点E所表示的数是． 故答案为：． 知识点02 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 【即时训练】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 2．（26-27八年级上·四川凉山·期中）如图，用4个全等的直角三角形与1个正方形拼成的正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：① ② ③ ④；其中说法正确的有________个． 【答案】4 【分析】根据图形的特点，以及两个正方形的面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：因为大正方形的面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴由勾股定理得：，故①正确； ∵四个直角三角形全等，由图形可知：，故②正确； 由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积可得： ，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 综上，①②③④都正确， 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，正确的解读图形，获取有效信息，是解题的关键． 【基础题型一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可求得斜边需要的小木棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，，则边上的中线长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是根据直角三角形斜边上中线的性质求解；根据直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半，先利用勾股定理求出斜边的长度，再计算其一半． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴边上的中线长为：， 故答案为：． 1．（26-27八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理求出的长，推导出是等边三角形，，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ，， 由勾股定理得：， ，， 是等边三角形， 是的中点， ，即， 在中，是的中点， ． 2．（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，垂足为，，点是边的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】在中，，， ， ， ，点是边的中点， ． 3．（26-27八年级上·江苏苏州·课后作业）如图，在中，，D是的中点，垂足为D，交于点E，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】先在中利用勾股定理求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而求得的长． 【详解】解：，，， 在中，由勾股定理得， 是的中点，， 是线段的垂直平分线， ． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现：如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为．，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究：如图2，正六边形中包含六个全等的等边三角形，如图3，将正六边形纸片按所示折叠成完美长方形，若正六边形的边长为，求完美长方形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由完美长方形和折叠的性质可知，，，，，即可求解； （2）由完美长方形和折叠的性质可知，，而正六边形的面积等于个小等边三角形的面积之和，即可求解完美长方形的面积． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， 由完美长方形和折叠的性质可知，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由完美长方形和折叠的性质可知，， ∵正六边形中包含六个全等的等边三角形， ∴正六边形的面积等于这六个等边三角形的面积之和， ∵正六边形的边长为， ∴等边三角形的边长为， 如图，过点作于点， 由等边三角形的性质可知，，， ∴等边三角形底边上的高， ∴， ∴， ∴． 【基础题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，分别以，为边向外部作正方形，面积分别为60，40，则的长为________． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记勾股定理是解题的关键．由勾股定理结合正方形的面积可得出结果． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知， 的长， 故答案为：10． 1．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为（    ）． A．38 B．34 C．42 D．44 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边． 利用勾股定理，分别得出同一个直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， 根据勾股定理，得，， ，， ， ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，，是斜边上的高，分别以为直径向的内侧作半圆，恰好交于点D．若，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是得出阴影部分的面积． 根据勾股定理得出，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】． 【分析】本题考查勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，首先根据勾股定理求得边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 【详解】解：如图，中，，，， 由勾股定理知，， ∴， 故． 【基础题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差)】 【例1】（25-26八年级上·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 【例2】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 2．（26-27八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】 （1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）；（3）8；（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 【基础题型四 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 1．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 2．（26-27八年级上·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． ∵，， ∴． 3．（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 【答案】12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】 证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】略 【基础题型五 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 【例2】（26-27八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为_____． 【答案】53 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和． 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段检测）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 3．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． (2) 证明：∵， ∴， 根据图形可知， 即， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的证明，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知为等腰直角三角形，则证，得，再根据，得到，即可求证； （2）根据，将代入，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型六 以弦图为背景的计算题】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ________． 【答案】1 【分析】本题考查了赵爽弦图，根据赵爽弦图的几何结构，小正方形的边长等于直角三角形两直角边之差的绝对值，即，结合小正方形边长为1即可求解． 【详解】解：在赵爽弦图中，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，小正方形的边长等于两直角边之差的绝对值． ∵小正方形边长为1， ∴， ∴． 故答案为1． 1．（25-26八年级上·北京·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得，可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用，表示后，结合完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， 即， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 即，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为： 4．（25-26八年级上·江西抚州·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【答案】(1) (2)新路比原路少千米 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理，完全平方公式变形得出即可求解； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：依题意，， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 【基础题型七 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为______． 【答案】130 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 即这个纸箱能容纳的木棒最长为， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（   ）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图：   （米）， （米）， （米， 故选：C． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段检测）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为____寸． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【答案】这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设每只油桶底面的直径为，，则，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可得每只油桶底面的直径为，， 则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【基础题型八 勾股定理与无理数】 【例1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点M的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点M表示的实数是． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，中，，，点M在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为1，若，则数轴上点A表示的数是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，数轴上的点表示实数．先根据勾股定理求出的长，得到的长，即可解答． 【详解】解：∵点M在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为1， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴点A表示的数为． 故答案为：． 1．（26-27八年级上·河北衡水·阶段测试）如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 【答案】C 【详解】解：正方形的顶点中到点距离最远的是点，易得， 点到点的距离为， 顶点与数轴上表示1的点重合， ∴当点在数轴原点的右侧时，点到原点的距离为，正方形的边与数轴的交点所表示的数最大为， 故选C． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据数轴上点的位置关系求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为1， 在网格中构造以为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1和3， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点， ∴， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 3．（26-27八年级上·江苏盐城·期末）把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．最少只需要剪_________刀． 【答案】2 【分析】利用使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，结合图形得出即可． 【详解】解：如图所示：由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，正方形的边长为：．最少只需剪2刀．　 　 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，勾股定理及无理数的计算，结合利用勾股定理得到四边形四条边相等是解题关键． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）请你在数轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】 如图，点C即为所求， 【分析】构造，使，，，根据勾股定理求出，以O为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于C． 【详解】略 【提高题型一 勾股定理与全等三角形结合的证明和计算】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点E，利用勾股定理求出，再证明，即可求出，，再在中利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，如图， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴． 【例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，点D是边上一动点，以为边作等边，连接，取的中点F． （1）的长为________； （2）若点D从点C运动至点A，在此过程中，点F运动的路径长为________． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、等边三角形的性质及含30度的角的直角三角形，熟知等边三角形的性质及含角的直角三角形各边的关系是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形各边的关系即可解决问题； （2）取的中点M，得出点E的运动规律是经过点M且与垂直的线，进一步得出点F的规律，据此可解决问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 在中，, ∴， 解得， ∴； 故答案为：； （2）取的中点M，连接， ∵，点M为中点， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点E在经过点M且与垂直的直线上． 当点D在点C处时，点E在点M处，当点D在点A处时，点E在以为边的等边三角形的顶点处． ∵， ∴， ∴． ∵点和点分别为和的中点， ∴， 即点F运动的路径长为2． 故答案为：2． 1．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段测试）如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． 【详解】解：如图所示：连接，过点O作，垂足为D， ∵是正三角形， ∴，， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确，符合题意； 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故结论②正确，符合题意； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故结论③正确，符合题意； 四边形的面积为：， 过点O作， ∵是等边三角形， ， ， ， ∴四边形的面积为，故结论④不正确，不符合题意； 如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，且， 同结论④证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤正确，符合题意； 综上所述：结论①②③⑤正确， 2．（2026八年级上 江苏苏州·单元测试）如图，在中，，平分，，且，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和勾股定理，根据已知条件求出长度，再利用角平分线的性质得到与点到的距离相等，最后在中根据勾股定理，求得． 【详解】解：，， ，， 如图：过点，作边上的高，    则有， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ，，， 在中，， ， ， ． 3．（26-27八年级上·江苏扬州·课后作业）如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则线段的最小值是________． 【答案】 【分析】过E作于G，过A作于P，过F作于H，则，证明，即可得到，进而得到当点D运动时，点F与直线的距离始终为，据此可得当时，的最小值为. 【详解】解：过E作于G，过A作于P，过F作于H， 则， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点D运动时，点F与直线的距离始终为， ∴当时，最小，最小值为. 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 【答案】（）；（）；（）长的最小值为． 【分析】（）利用同角的余角相等证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作于点，证明，得出，然后通过勾股定理得出答案； （）过点作，使，过点作于点，连接，，证明，得出，证出，则可得出答案． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； （）过点作，使，过点作于点，连接，，则， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 1．（26-27八年级上·江苏）在长方形中，厘米，厘米，P为 上一点， 垂直于，垂直于，则 与的长度之和是（     ）． A．10 B．12 C．24 D．30 【答案】C 【分析】算出三角形的面积为，再根据面积法求解即可． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∵ 垂直于，垂直于， ∴， ∴． 2．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 3．（2026八年级上 安徽六安·单元测试）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 4．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】选项A：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 故选项A能得出勾股定理； 选项B：如图， 由图可得：， 整理得， 故选项B能得出勾股定理； 选项C：如图， 证明：由图可知 ，，正方形边长为， 即． 故选项C能得出勾股定理； 选项D不能得出勾股定理； 故选：D 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）数学实践课上，小朋同学用四块全等的直角三角形纸板拼出如图所示的图形，已知点在同一直线上，若，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，通过图形分析边长的和差关系是解题的关键．根据四块全等直角三角形的拼接特点，得到直角边的和为、差为，再结合完全平方公式与勾股定理，推导出正方形（斜边构成）的面积． 【详解】解：设，， 则，， 则， 解得：，， ． 故选：． 6．（26-27八年级上·云南红河·期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 【答案】D 【分析】根据题干画出图形，即可求出答案，图形见详解 【详解】如图 根据题干条件， ， ， ，则根据勾股定理 ，则 ． 故答案选D 【点睛】本题考查勾股数的应用，需熟记常见的勾股数，利用图形更容易求出答案． 7．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为和， ∴斜边长为， ∴点A所表示的数为． 8．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段测试）已知，等腰中，点在 上，且，，是延长线上一点， 交于，且，连、．则下列结论：①；②；③；④（     ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】延长交 于，证知，即可判断①；求得中，知即，结合可判断②；推出，变形后可判断④；设，计算出，，显然不一定等于，即可判断③． 【详解】解：如图，延长交 于， 则， ， 是等腰直角三角形， ，，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ，即，故①正确； ，， 中，， ，即， 垂直平分， ， 是等边三角形， ，故②正确； 由①知， ， ， 由②知垂直平分， ， ， ， ， ， ， 又， ，故④正确； 设， ， ， ， ， ， ， 所以不一定等于，故③错误； 综上可知，①②④正确． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．根据题意知该直角三角形的斜边为c，则有，表示出并化简，另表示出，将两结果对比则可判断出结果． 【详解】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足， ∴该直角三角形的斜边为c， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故． 故①；②;③正确；④错误； 故选：B． 11．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）中，斜边，则的值是______． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： ． 13．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）．若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则五边形的周长为________． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式与图形面积；先根据面积大小得出，再利用完全平方公式可得，利用平方根解方程可得，由此即可得． 【详解】解：五边形的面积等于一个边长为c的正方形的面积与两个直角边长分别为a、b的直角三角形的面积之和， 由勾股定理得：， 则五边形的面积为； 图中阴影部分的面积为， ∴图中空白部分的面积为， ∵图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 又∵， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为5， 五边形的周长为， 故答案为：24． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点．若，则线段的长为 ___________________ ． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，先在中，利用勾股定理求出，从而利用面积法求出的长，再利用角平分线的性质可得，从而利用面积法求出，然后利用角平分线的定义可得，再利用等角的余角相等可得，最后结合对顶角相等可得，从而可得，进而利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ，，， ， 的面积， ， ， ， 平分，，， ， 的面积的面积的面积， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ． 15．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，图形的拼接，合理做出辅助线结合正方形的性质是解题的关键． 过点作于点，证出四边形是长方形，利用勾股定理求出的长，设正方形的边长为，利用图形的拼接方法求出的值，结合勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴，四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为，则， 根据拼图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2026八年级上 江苏无锡·课后作业）如图，已知． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的垂线，在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则点到的距离为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)解：如图，直线，点即为所求； (2) 【分析】（1）过点作的垂线，作线段的垂直平分线．垂足为，交直线于点，点即为所求； （2）连接，设直线交于点，利用面积法求出，设，构建方程求出，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）如图，直线，点即为所求； （2）解：连接，设直线交于点． ， 面积＝，， ， ， ， 垂直平分线段， ＝， 设，则有， 解得， ， ， 点到距离为． 17．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）略 18．（25-26八年级上·广东深圳·课后作业）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 19．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1) 图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． (2)76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 20．（26-27八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ． ②应用场景2——解决实际问题． 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) 由图3的左图可知：，即， 由图3的右图可知：，即， ∴， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． (2)①；②绳索的长为． 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； （2）设秋干的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：①在中， ∵， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得：． ∴绳索的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $