专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（2个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 勾股数问题 题型二 判断三边能否构成直角三角形 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 题型六 勾股定理逆定理的实际应用 拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度 拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度 拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积 拓展训练四 勾股定理逆定理综合证明 知识点一：勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若、是一组勾股数，则的值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 知识点二：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州期中）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是(    ) A．84 B．87.5 C．168 D．300 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 【经典例题一 勾股数问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．8，12，15 C．9，15，17 D．10，24，26 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　 ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有 个． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【经典例题二 判断三边能否构成直角三角形】 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，5，7 D．6，7，10 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且，，，则的最大内角的度数为 ． 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，是边长为的等边三角形，有一个点D从点C出发，沿线段向点B运动，另一个点E从点A出发，沿线段向点C运动，它们同时出发，速度相同均为1厘米每秒，设运动时间为t秒．动点F在线段上，且一直保持． (1)当时，的长为 ； (2)在运动过程中，有成立，请证明； (3)当时，与有什么位置关系？请猜想并证明． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 1．（24-25八年级上·江苏连云港期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若的三边分别为3、4、5，则的面积是（    ） A．12 B．10 C．7.5 D．6 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图P是等边内一点，，把旋转到的位置，则∠ ． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【经典例题五 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例5】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2 C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形 D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·河北承德·期中）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【经典例题六 勾股定理逆定理的实际应用】 【例6】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为 ． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为 ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园在入口的正南方向处，入口在桂花园的正东方向处，玫瑰园与入口相距，玫瑰园与入口相距，求某市口袋公园的面积． 【拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，F为的中点，E为上一点且， (1)求证：； (2)若正方形面积是16，求的长． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，和都是等边三角形，点D在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，是等边三角形，点D在外部，若仍然成立，求的度数； 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，点D为外一点．若，，，请直接写出的长．    【拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， Rt中， 点A 为 内一点， ． (1)画出将 绕点O逆时针旋转 得到的三角形； (2)求 的度数． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，等边内有一点，若将绕点逆时针旋转得到．    (1)求的度数． (2)若，求的度数． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图所示，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)四边形的面积． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，点D在中，，，，，． (1)求长； (2)求图中阴影部分的面积． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． (1)求的度数． (2)求的面积． 【拓展训练四 勾股定理逆定理综合证明】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的长； (2)证明． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t． (1)求△ABC为直角三角形； (2)若△ABP为直角三角形，求出t的值（写出证明过程）； (3)若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值（不必写出证明过程）． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，构成钝角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．3、3、5 C．4、4、5 D．3、4、4 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）在中，的对边分别是a、b、c，满足，则是 三角形． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ． 9．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 10．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，已知，，，是边上一动点，于点，于点，为与的交点，则的最小值为 ．    11．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 12．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，于点． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在的正方形网格中，，均在网格线的格点上．请仅用无刻度直尺按以下要求作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中，作出一个以为斜边的直角三角形． (2)在图2中，作出一个以为直角边，且面积为的直角三角形． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 勾股数问题 题型二 判断三边能否构成直角三角形 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 题型五 勾股定理逆定理的拓展问题 题型六 勾股定理逆定理的实际应用 拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度 拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度 拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积 拓展训练四 勾股定理逆定理综合证明 知识点一：勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若、是一组勾股数，则的值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义，根据勾股数的定义，若三个正整数满足两边的平方和等于第三边的平方，则它们构成勾股数，题目中、为勾股数，需分情况讨论是否为最大值的情况，结合选项进行验证即可得到答案，熟记勾股数定义及验证方法是解决问题的关键． 【详解】解：当时，由勾股数定义得， 则，解得， 此时，满足勾股数定义，符合题意； 当时，由勾股数定义得， 则，解得，不是整数， 此时，不满足勾股数定义，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 【答案】5 【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意； 故答案为5． 【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数． 知识点二：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州期中）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是(    ) A．84 B．87.5 C．168 D．300 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，再利用面积公式求解即可，关键在于熟悉常用的勾股数． 【详解】∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴面积为∶． 故选A． 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理．连接，根据勾股定理可得的长，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，再根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积是． 故答案为： 【经典例题一 勾股数问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．8，12，15 C．9，15，17 D．10，24，26 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，需满足两个条件：①三个正整数；②满足．逐一验证各选项即可． 【详解】选项A： ，不满足勾股定理，故A错误． 选项B：，不满足勾股定理，故B错误． 选项C：，不满足勾股定理，故C错误． 选项D：，满足勾股定理，且均为正整数，故D正确． 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　 ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可． 【详解】由题意可得：，， ∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边，，，满足的关系”， ∴根据题意可得：， ∴， ∴， ， ∴总结出， ∵，，， ∴归纳得出一般规律：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为 ． 【答案】13，84，85 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，进而得出（13，84，85）． 【详解】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1； 第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1； 第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1； ∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1， ∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5． 故答案为：13，84，85． 【点睛】本题考查的是勾股数的规律探究，能够根据题意找到每组勾股数之间的关系是解决本题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键． 利用勾股定理可求出，得到，即可得到，再根据是整数及，由此可求出n的值的个数． 【详解】解：由题意得 ； ； ； ∵， ∴的值是整数， ∴·的值可以是，，，是整数的有3个． 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10，24，26是勾股数，见解析 【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得， ∴， 把代入， 解得（负值已舍掉）， ∴； （2）10，24，26是勾股数． ∵． 又∵10，24，26都是正整数 根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数． 【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 【经典例题二 判断三边能否构成直角三角形】 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，5，7 D．6，7，10 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键．根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：A．，不能组成直角三角形，不符合题意； B．，能组成直角三角形，符合题意； C．，不能组成直角三角形，不符合题意； D．，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且，，，则的最大内角的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解题的关键．由勾股定理的逆定理可求是直角三角形，得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最大内角的度数为． 故答案为：． 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形重心的性质，根据题意得出为的重心，连接并延长交于点，勾股定理求得，进而根据重心的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴是直角三角形， 依题意，为的重心 ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，是边长为的等边三角形，有一个点D从点C出发，沿线段向点B运动，另一个点E从点A出发，沿线段向点C运动，它们同时出发，速度相同均为1厘米每秒，设运动时间为t秒．动点F在线段上，且一直保持． (1)当时，的长为 ； (2)在运动过程中，有成立，请证明； (3)当时，与有什么位置关系？请猜想并证明． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得为的中位线，从而得到，进而得到为等边三角形，即可解答； （2）结合等边三角形的性质以及可得， ，即可解答； （3）过点E作于点G，则，根据直角三角形的性质可得，，由（2）得：，可得，，再由勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图， 当时，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴点D，E分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：3 （2）解： 根据题意得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴； （3）解：，证明如下： 当时，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， 如图，过点E作于点G，则， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，求正切，证明是直角三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏连云港期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是 ． 【答案】 【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】解：根据图形可得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设中的高是x， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)四边形的面积为，周长为 (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理；勾股定理逆定理，数形结合是解题的关键； （1）根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案； （2）根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，，，， 则四边形的周长为 由图形可得，   ； （2）解：是直角，理由如下， 由勾股定理得，   ， ∵， ∴是直角． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若的三边分别为3、4、5，则的面积是（    ） A．12 B．10 C．7.5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，根据三边长度判断三角形为直角三角形．再求面积． 【详解】∵的三边分别为3、4、5， 且， ∴是直角三角形，两直角边是3，4， 则． 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 作于，根据，证明为直角三角形，进而求得的长，根据面积法求解即可； 【详解】解：如图，作于， ，，， ， ， 平分，，， ，设， ， ， ， ， ； 故答案为： 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图P是等边内一点，，把旋转到的位置，则∠ ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的逆定理，连接，由旋转的性质得到，，，则可证明是等边三角形，得到，，再利用勾股定理的逆定理得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；理由见解析 (2)68 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键． （1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出的长，利用求出的长，最后求三角形面积即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ； （2）在中， 由勾股定理得， ， ． 【经典例题五 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例5】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2 C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形 D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形 【答案】D 【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意； B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意； C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意； D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵62+82=102， ∴△ABC是直角三角形， ∵△ABC内有一点P到三边的距离均为m， ∴×6×m+×8×m+×10×m＝×6×8， ∴m=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形解答． 3．（24-25八年级上·河北承德·期中）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）；；  （2）是直角三角形；证明见解析 【分析】（1）根据题意找到规律即可写出； （2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝ 故答案为：；； （2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形 证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1     ． ∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1     b2＝（2n）2＝4n2 c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1． 又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ∴ a2＋b2＝c2 ∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【经典例题六 勾股定理逆定理的实际应用】 【例6】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【答案】A 【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积． 【详解】解：连接AC 在中，，，，， 在中，，， ∴ ∴是直角三角形，且． ∴ ∴这块菜地的面积是 故选：B    【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】连接BD，先利用勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，最后把四边形ABCD的面积当成两个三角形的面积和来求． 【详解】解：连接BD， ∵点E为AB的中点，于点E，，， ∴EB＝AB＝3， ∴， ∵，即， ∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为 ． 【答案】96 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根据S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6， ∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100， ∴AC＝10（取正值）． 在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD ＝×10×24−×8×6 ＝96． 故答案为：96． 【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园在入口的正南方向处，入口在桂花园的正东方向处，玫瑰园与入口相距，玫瑰园与入口相距，求某市口袋公园的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，再根据口袋公园的面积解答即可求解，掌握了勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，，，，， ∴， 在中，∵， ∴是直角三角形，且， ∴口袋公园的面积， 答：某市口袋公园的面积为． 【拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， 解得：， ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，F为的中点，E为上一点且， (1)求证：； (2)若正方形面积是16，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）设正方形边长为，可得，，，，，，根据勾股定理及其逆定理，即可证得结论； （2）由正方形的面积可得边长，从而可得，根据勾股定理，解三角形，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 设正方形边长为，则， ∵F为的中点， ∴， ∵为上一点，且， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵正方形面积是16， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的长为． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，和都是等边三角形，点D在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，是等边三角形，点D在外部，若仍然成立，求的度数； 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，点D为外一点．若，，，请直接写出的长．    【答案】（1）①见解析②见解析（2）（3）3 【分析】（1）①证明，即可得出结论；②求出，利用勾股定理即可解得； （2）先证明，再求出，即可求出答案； （3）过点A作，，连接，证明，可得是等腰直角三角形，可证，求出，在中，由勾股定理即可求得答案． 【详解】①证明：和为等边三角形， ， ， ， ； ②证明：为等边三角形， ， ， ， ， ，， ； （2）解：和为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点A作，，连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理及逆定理的应用，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， Rt中， 点A 为 内一点， ． (1)画出将 绕点O逆时针旋转 得到的三角形； (2)求 的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了旋转的性质（旋转前后对应边相等、对应角相等）、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理的应用．解题关键：通过将绕点O逆时针旋转构造全等三角形，将分散的线段、、和角集中到相关三角形中，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理逆定理求解角度． （1）依据且，确定旋转后的对应边为；保持旋转中心O不变，将点A绕O逆时针旋转得到对应点B，连接、，即得的旋转图形）． （2）连接；由旋转性质得，故、，且，判定为等腰直角三角形，得、；利用勾股定理的逆定理可推得为直角，最后可计算出的度数． 【详解】（1）解：由于， ∴旋转即在的位置上， ∴绕点O逆时针旋转得到的如图所示： （2）连接， ∵是由绕点O逆时针旋转得到的， ∴， ∴， 又∵， ∴ , 则, ∴, ∴． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，等边内有一点，若将绕点逆时针旋转得到．    (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理等知识： （1）由旋转得，由是等边三角形得，从而得； （2）连接，证明是等边三角形，得；再运用勾股定理逆定理证明是直角三角形得，进一步可得出结论． 【详解】（1）∵由旋转得到， ∴， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即； （2）如图，连接，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∵，，， ∴， ∴是直角三角形且， ∴ 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再结合等边三角形性质证明，即可解题； （2）利用等边三角形性质得到，结合全等三角形性质推出，再利用勾股定理逆定理推出，最后利用结合全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：由题意可得：， ∵是等边三角形． ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理逆定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图所示，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先通过勾股定理求得，再根据勾股定理逆定理的知识即可求解； （2）根据，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：∵，，， 在中，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ， ∴； （2）解： ； 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，点D在中，，，，，． (1)求长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)24 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解答本题的关键是求出的长． （1）根据勾股定理和，，，可以先求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而根据求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 答：长是5； （2）解：，，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为24． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． (1)求的度数． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，由可证，可得，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，即可求解； （2）作，交延长线于点H，利用的外角得出边上的高，利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴． ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形． ∴； ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是直角三角形，． ∴． （2）作，交延长线于点H， ∵， ∴边上的高就是， ∴． 【拓展训练四 勾股定理逆定理综合证明】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的长； (2)证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，是斜边，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：在中，，． ∴． （2）在中，，， ∴， ∴是直角三角形，是斜边， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t． (1)求△ABC为直角三角形； (2)若△ABP为直角三角形，求出t的值（写出证明过程）； (3)若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值（不必写出证明过程）． 【答案】(1)见解析 (2)当为直角三角形时， 或； (3)当为等腰三角形时，或或． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理进行计算，即可解答； （2）若为直角三角形，由题意知BP=t，①当为直角时，点P与点C重合，即可得t的值，②当为直角时，CP=t-3，在中，根据勾股定理得出，在，根据勾股定理即可得t的值； （3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t，①当时，即可得，②当时，根据可得t的值，③当BP=AP时，，，在中，根据勾股定理即可得． 【详解】（1）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5， ∵， ∴△ABC为直角三角形； （2）若为直角三角形，由题意知BP=t， ①如图1所示，当为直角时，点P与点C重合， BP=BC=3，t=3， ②如图2所示，当为直角时，CP=t-3， 在中，根据勾股定理， ， 在，根据勾股定理， ， 即 ， 综上，当为直角三角形时， 或； （3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t， ①如图3所示，当时，， ②如图4所示，当时， ∵， ∴， ∴， ③如图5所示，当BP=AP时，，， 在中，根据勾股定理， ， 即 ， 综上，当为等腰三角形时，或或． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的性质． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键． （1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， （2）解：如图：以在上找一点使得，再作，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，构成钝角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．3、3、5 C．4、4、5 D．3、4、4 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类，勾股定理逆定理，根据最长边的平方大于两条较短边的平方和时，三角形为钝角三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，三角形为直角三角形，不符合题意； B、，三角形为钝角三角形，符合题意； C、，三角形为锐角三角形，不符合题意； D、，三角形为锐角三角形，不符合题意； 故选B． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答． 以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个． 【详解】解：如图所示： 其中，，AB=2， ∵， ∴为直角三角形， 同理：为直角三角形， 网格中其他点C如图所示， 所以格点C的个数是8， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，作交的延长线于点E，由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则是等边三角形，，可证明，则可以由绕点B逆时针旋转得到，可判断①正确；因为，所以点O与的距离为4，可判断②正确；因为，，所以，则，而，则，可判断③正确；因为，则，所以，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴， ∴是等边三角形，， 在和中， ， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故①正确； ∴， ∴点O与的距离为4， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）在中，的对边分别是a、b、c，满足，则是 三角形． 【答案】等腰或直角 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，由，得到或，从而得到或，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形， 故答案为：等腰或直角． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 即阴影部分的面积为24， 故答案为：24． 9．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 10．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，已知，，，是边上一动点，于点，于点，为与的交点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】先证明是直角三角形，且，再证明四边形是矩形，得到．根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，此时取得最小值，利用等积法求出此时的，即可得到的最小值． 【详解】解：在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，此时取得最小值， ∵，即， ∴取得最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、矩形的判定及性质、垂线段最短，解题的关键是能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 11．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 【答案】见详解 【分析】本题考查了勾股数的定义，分别算出、、，再得到，即可求解；理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：n为整数（）， a，b，c为整数， ， ， ， ， ， a，b，c为勾股数． 12．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，分别求出和的面积，相加即可得出答案，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在中，∵，，， ∴， ， 在中，∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，于点． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直角三角形，理由见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出的长即可； （2）结合（1）根据勾股定理的逆定理求出即可． 【详解】（1）解：于点D， ， 在中，， 在中，； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）可得， ， ∴是直角三角形． 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在的正方形网格中，，均在网格线的格点上．请仅用无刻度直尺按以下要求作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中，作出一个以为斜边的直角三角形． (2)在图2中，作出一个以为直角边，且面积为的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求；   ； （2）解：如图2中，即为所求．   ． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． 【答案】(1)，见解析 (2)路线更短 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：在中，米，米，米， ， ， ， ． （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 学科网（北京）股份有限公司 $