专题2.1 平方根重难点题型专训（3个知识点+10大题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“平方根”核心知识点，系统梳理算术平方根（定义、性质及双重非负性）、平方根与算术平方根的区别联系（定义、个数、表示及取值范围）、开平方运算（定义及与平方的逆运算关系），形成从概念到运算的递进式学习支架。 该资料以“3知识点+10基础题型+1提高题型+自我检测”为框架，通过实际应用（如面积计算、刹车距离问题）培养数学眼光，借助规律探索、非负性解题等题型提升推理能力与运算能力，即时训练与自我检测助力课中教学效果提升及课后查漏补缺，强化应用意识。

专题2.1 平方根重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 求一个数的算术平方根】 4 【基础题型二 利用算术平方根的非负性解题】 5 【基础题型三 估计算术平方根的取值范围】 7 【基础题型四 与算术平方根有关的规律探索题】 9 【基础题型五 算术平方根的实际应用】 12 【基础题型六 平方根概念理解】 16 【基础题型七 求一个数的平方根】 18 【基础题型八 求代数式的平方根】 21 【基础题型九 已知一个数的平方根，求这个数】 24 【基础题型十 利用平方根解方程】 27 第二部分·练提高题型 【提高题型一 平方根在生活中的应用】 32 第三部分・自我检测 知识点01 算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于,即²=，那么这个正数就叫做的算术平方根. 2. 的算术平方根记为，读作“根号”. 3.性质：（1)正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. (2) 当时，=. (3)算术平方根具有双重非负性：①；②. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 的算术平方根是． 2．（2026八年级上 江苏无锡）计算：______． 【答案】3 【详解】解： 原式． 知识点02 算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键．根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可． 【详解】解：∵ 方程 的解分别为 ，且， ∴ ，， ∴ 和是3的平方根， ∵ ， ∴ ， ∴ 是3的算术平方根（非负的平方根）． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【答案】± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 知识点03 开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数. （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如果的算术平方根是，则下列式子中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用算术平方根的非负性即可推导出x与y的大小关系． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴ ． ∴． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个正数的平方根是和，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 【基础题型一 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，A错误． 选项B，，B错误． 选项C，表示的算术平方根，结果为非负数，，C错误． 选项D，，，D正确． 【例2】（2026八年级上 江苏南京·课后作业）的算术平方根是__________． 【答案】/ 【详解】解：， ∴ 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）下列四个数中，负数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，绝对值的求法、二次根式的性质，以及正数、负数的含义和判断．首先根据有理数的乘方的运算方法，绝对值的求法、二次根式的性质，求出每个选项的值各是多少；然后根据负数小于0，判断出四个数中是负数的是哪个即可． 【详解】解：A．∵， ∴是正数， ∴选项A不符合题意； B．∵，     ∴是正数， ∴选项B不符合题意； C．∵，     ∴是负数， ∴选项C符合题意； D．∵，     ∴是正数， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 2．（2024八年级上 江苏扬州·课后作业）的相反数是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题求一个数的算术平方根、绝对值、相反数，先求出算术平方根，再求绝对值，最后根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：， ∴的相反数是， 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）化简：______． 【答案】/0.5 【分析】根据算术平方根定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】注意表示的是算术平方根，结果只能是非负数，不要误写为． 4．（2026八年级上 甘肃陇南·单元测试）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，绝对值，负整数指数幂，算术平方根，再计算乘法，最后加减即可． 【详解】解： ． 【基础题型二 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，则的值是（     ） A． B． C．9 D． 【答案】C 【详解】∵ 任意数的平方是非负数，算术平方根也是非负数，且 ∴ ，， ∴ ， 解得 ， 则． 【例2】（2026八年级上 广东茂名·单元测试）若实数、满足，则______． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出与的值，再代入计算即可得到结果 【详解】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为， ，， 解得，， 将，代入得：． 1．（24-25八年级上·福建莆田·期中）若，则的算术平方根是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，算术平方根，根据算术平方根与平方数的非负性求出x，y的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是， 故选A． 2．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段测试）若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．先运用非负数的性质求得m，n的值，再代入求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）若实数a和b满足，则的算术平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的被开方数的非负性是解题的关键． 根据平方根的定义，被开方数必须非负，由此确定a的值，再代入方程求b，最后计算的算术平方根 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【基础题型三 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（25-26八年级上·天津河西·阶段测试）估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．22和24之间 【答案】B 【分析】找出与23相邻的两个完全平方数，即可估算出的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴，即的值在4和5之间． 【例2】（2026八年级上 重庆巴南·单元测试）若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 1．（2026八年级上 江苏南京·单元测试）估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】求出和的值，根据算术平方根的意义即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即介于和之间． 2．（2023八年级上 重庆·单元测试）估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】估算的大小即可． 【详解】解：由于，而，即67， 所以的值在6和7之间， 故选：B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的乘除法，掌握算术平方根的定义，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 【答案】(1) (2) 解：能放进去．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长，且高小于长方体的高， ∴能放进去． 【分析】本题考查了算术平方根的估算，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）设这个魔方底面圆的半径为，根据圆的面积公式列方程求解即可； （2）根据算术平方根的估算比较直径与正方形边长的大小关系，再比较圆柱的高和长方体的高，即可判断得解． 【详解】（1）解：设这个魔方底面圆的半径为， 由题意，得， ∴， ∴， ∴这个魔方底面圆的半径； （2）略 【基础题型四 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段测试）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 1．（25-26八年级上·贵州安顺·阶段测试）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项． 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段测试）若，，，则______（用、、来表示）． 【答案】 【分析】根据被开方数小数点右移位，算术平方根小数点右移位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．（25-26八年级上·河南许昌·阶段测试）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 【基础题型五 算术平方根的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段测试）一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形边长最大不超过长方形的宽，需先根据长方形的面积与长宽比求出宽，再对比选项． 【详解】解：设长方形的长为，宽为（）. ∵ ∴ ∴ 长方形的宽为 ∵ 裁出的正方形边长最大不超过长方形的宽 又∵，，， ∴ 边长为的正方形符合要求． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 【答案】 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，边长为正数，因此求边长就是对面积开算术平方根，先计算第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的面积，进而计算其边长. 【详解】解：设正方形的边长为，正方形面积满足，且边长， 对于第一个正方形，已知面积， ，， ； 对于第二个正方形，已知它的面积是第一个正方形面积的倍， ， ，， . 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 2．（25-26八年级上·广东珠海·阶段测试）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题． 【详解】解：分割图形如下： ∵正方形的面积为， 故这个正方形的边长是：． 3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段测试）如图，方格中小正方形的边长为1，将方格图中涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是_____． 【答案】 【分析】求出涂色部分的面积，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：涂色部分的面积为， ∴所拼成的正方形的边长应是． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段测试）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料 【分析】设圆形布料的半径为，直径为，求出，进而得出结论． 【详解】解：设圆形布料的半径为，直径为， 则， ， ， ，， 小志能裁剪出他需要的圆形布料． 【基础题型六 平方根概念理解】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数， ∴不存在平方后等于的实数，即没有平方根． 【例2】（25-26八年级上·四川自贡·阶段测试）命题“负数没有平方根”是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【详解】解：根据平方根的定义，若存在实数满足，则称为的平方根，对任意实数，都有，不存在实数使得为负数，因此负数没有平方根，该命题是真命题． 1．（25-26八年级上·四川凉山·阶段测试）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义得到，，则可求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵2026的两个平方根是和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、，所以是16的平方根，说法正确，不符合题意； B、0的平方根是0，说法正确，不符合题意； C、，所以的平方根是，说法错误，符合题意； D、的算术平方根是，所以，说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）某正数的两个不相等的平方根分别是和，则为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握平方根的定义． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，由此列出关于 的方程，求解即可． 【详解】解：由题意，得， 整理得， 解得， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）回答下列问题： (1)12是144的平方根吗？ (2)169的负的平方根是哪个数？ (3)是0.9的平方根吗？ (4)哪个数的平方根只有一个？ 【答案】(1)是 (2) (3)不是 (4)0 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据平方根的定义和性质解答即可； （2）根据平方根的定义和性质解答即可； （3）根据平方根的定义和性质解答即可； （4）根据平方根的定义和性质解答即可． 【详解】（1）解：因为144的平方根是， 所以12是144的平方根； （2）解：因为169的平方根是， 所以169的负的平方根是； （3）解：因为0.09的平方根是， 所以不是0.9的平方根； （4）解：因为0的平方根是0， 所以0的平方根只有一个是0． 【基础题型七 求一个数的平方根】 【例1】（25-26八年级上·西藏林芝·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 【例2】（2026八年级上 江苏徐州·课后作业）的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若，则是的平方根． 【详解】解：将带分数化为假分数 ∵， ∴的平方根是． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查相反数、倒数、乘方的性质，涉及的知识点是“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为”“平方为的数有两个”．解题方法是先根据定义求出、、的值，再分情况代入式子计算；解题关键是注意的取值有两个，需分情况讨论．易错点是忽略的正负两种情况，导致漏解．解题思路为：先利用相反数、倒数、乘方的性质得到、、，再分和两种情况代入式子计算结果． 【详解】∵互为相反数， ∴． ∵互为倒数， ． ， 或． 当时，=． 当时，=． 故选C． 2．（23-24八年级上·山东滨州·阶段测试）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，求一个数的平方根． 先根据绝对值的定义得出，再根据平方根个定义得出，最后根据，得出，得出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵b是49的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知，则的平方根是_______． 【答案】 【分析】根据根式的非负性可求出，的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵，且根号下不能为负， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键． 4．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义结合表格求解即可； （2）先求出时间，再根据算术平方根的意义结合表格求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 的平方根是， 故答案为：； （2）解：物体自由下落的高度（单位：与下落时间（单位：之间的关系是． 由题意知，， ∴，又， 由表格知，， 该物体到达地面需要． 【基础题型八 求代数式的平方根】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若，则a+b的值为（    ） A．±5 B．5 C．±4 D．4 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求25的平方根即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a+b=±5， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=_________． 【答案】-2a+b/b－2a 【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，a﹣b＞0， ∴ ＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b| ＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b） ＝﹣a﹣b+b﹣a+b ＝﹣2a+b． 故答案为：﹣2a+b 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键． 1．（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求16的平方根即可 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴=±4， 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段测试）已知，则______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，计算平方根，熟练掌握公式，准确计算平方根是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可； （2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：（1） . （2） ， ∴， . 【点睛】本题考查了平方根的定义，平方差公式，利用整体思想求出和是解决本题的关键． 【基础题型九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段测试）已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方根的基本性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，先根据该性质列方程求出的值，再计算得到原数即可. 【详解】解：∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 将代入其中一个平方根，得 ， ∴ 这个数为 . 【例2】（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）已知的平方根是，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到的值，再通过平方得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先求出参数的值，再计算出，最后求出的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴， ∴， ∵的算术平方根即的算术平方根， ∴的算术平方根为． ∴结果为． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东湛江·阶段测试）若一个正数的两个平方根分别是和，则是______________． 【答案】 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 4．（25-26八年级上·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，进而可求出的值； （2）根据（1）所求代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 【基础题型十 利用平方根解方程】 【例1】（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵25的平方根为， ∴． 【例2】（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）实数满足，则的值为_____． 【答案】 或 【详解】解：， 移项得 对等式两边同时开平方，得 即或． 1．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段测试）已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】将所求的设为新未知数，把原方程转化为关于新未知数的式子，再利用完全平方公式展开化简，即可求出结果． 【详解】解：设， ，， 代入原方程得：， 展开得：， 合并同类项得：， 整理得 ， 开平方得 ， 即． 2．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积，平方根的运用，理解图示，正确表示出图形面积，平方根的计算是关键，根据题意设,，由此列式得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴设,， ∴， 整理得，， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：C ． 3．（25-26八年级上·浙江·阶段测试）已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， 故，． 将，代入， 得， 即， 解得， ∵， 故的值为． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）根据绝对值的非负性和二次根式的非负性解题； （2）根据直接开平方法计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 解得； （2）解：原方程可化为， ， ， ， 解得，． 【提高题型一 平方根在生活中的应用】 【例1】（23-24八年级上·北京海淀·阶段测试）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 【例2】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段测试）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线电阻为时间导线产生的热量，则电流的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由． ，，得到，根据算术平方根的定义解方程即可． 【详解】解：由． ，，得： ，即， 解得， 故选：B． 【点睛】此题考查了根据算术平方根的定义解方程，根据题意得到是解题的关键． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（      ）． A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍 【答案】B 【分析】知道刹车距离s与车速v的关系式后，再将等式进行变形，使得s变为2s，即可得出答案． 【详解】解：由题意知， 刹车距离s与车速v的关系式是：（其中）， 所以， 当刹车距离增加一倍时，即： 即车速增加倍， 故选：B． 【点睛】本题考查算术平方根的应用，借助算术平方根解决实际问题． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）某小区要扩大绿化带的面积，已知原绿化带的形状是一个边长为的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长为________． 【答案】20 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键． 先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案． 【详解】解：原绿化带的面积为， 扩大后绿化带的面积为， 则扩大后绿化带的边长是， 答：扩大后绿化带的边长为． 故答案为：20． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为 (2) 不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）根据长宽比例设未知数，利用长方形面积公式列方程求解，得到长和宽的值； （2）先根据正方形面积求出边长，再将边长和长方形的宽比较大小，判断能否裁出，用到长方形，正方形面积公式和算术平方根的性质． 【详解】（1）解 ：设这块长方形蓝印花布面料的长为，宽为，其中 已知面料面积为，根据长方形面积公式可得： 整理得 化简得 因为， 所以 因此长为，宽为。 这块面料长为，宽为 ； （2）解：设裁出的正方形布料边长为，其中 已知正方形面积为，可得： 因为， 所以 因为长方形面料的宽为，且，， 所以， 即正方形边长大于长方形面料的宽， 因此不能裁出来 答：他不能裁出来符合要求的正方形布料． 1．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，根据算术平方根和绝对值的非负性得到关于的二元一次方程组，求解后，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根是1； 故选B． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题关键．根据平方根和算术平方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、9的平方根是，没有平方根，则此项错误，不符合题意； B、没有算术平方根，则此项错误，不符合题意； C、，4的平方根是，则此项错误，不符合题意； D、的平方根与算术平方根都是，则此项正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段测试）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再根据或为腰长进行分类讨论，结合三角形的基本性质判断结果即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，且， ∴，， 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为或． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段测试）一个正方形的面积为29，则它的边长应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】一个正方形的面积为29，那么它的边长为，可用“夹逼法”估计的近似值，从而解决问题． 【详解】解：∵正方形的面积为29， ∴它的边长为， 而＜＜， 5＜＜6． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 5．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）从表格中探究a与数位的规律，已知，若，用含m的式子表示b，则b是m的多少倍（    ）      …           1 100 10000 … …           1 10 100 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ，， ， ． 6．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）数轴上原点左边有一点，点对应的数为，有如下说法：①表示的数可能是负数；②若，则；③在，，，中，最大的数是；④若，则．其中正确说法的序号是（   ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的点、相反数、绝对值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由点M在原点左边，故m为负数，再根据相反数、绝对值、有理数乘方、平方根逐项判断即可． 【详解】解：∵点M在原点左边， ∴． ①由，则，故表示的数不可能是负数，故①错误； ②有且，则，故②正确； ③由，则，，故最大，故③正确； ④由且，∴，故④错误． 综上，正确的有②③． 故选B． 7．（2024八年级上·广西）已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值和二次根式，根据绝对值的性质和二次根式的性质可得：，，又因为，根据非负数的绝对值等于它本身，可知或，根据、的值求代数式的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或， 当时，，则； 当时，，则． 故选：D． 8．（23-24八年级上·广东汕尾·阶段检测）若一个数的平方根是和，则这个数是（　　） A．1 B． C．4 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知，求得，继而得，即可由求出答案． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， 解得：， ∴， ∴，即这个数为16． 故选：D． 9．（25-26八年级上·天津和平·期中）下列说法正确的有（   ）个． ①与一定有一个表示负数 ②为任意数，均成立 ③若，则与相等； ④两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的性质、绝对值和平方根的概念，以及逻辑判断，熟练掌握这些知识是解题的关键． 逐一分析每个说法的正确性即可． 【详解】解：说法①：∵ 当 时， 和 均为 0，都不是负数，∴ ①错误； 说法②：取 ，则 ，而 ，两者不相等，∴ ②错误； 说法③：取 ，，则 ，但 ，∴ ③错误； 说法④：∵ 两个数的和为正数，则两个数不能同时为负数（否则和为负），∴ 至少有一个正数，∴ ④正确． 综上，只有说法④正确，正确个数为 1． 故选：A． 10．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 11．（25-26八年级上·上海·阶段测试）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 12．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段测试）已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 13．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段测试）已知满足，则代数式的值是______________． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性得，从而得，结合条件即可求解． 此题主要考查了非负数的性质，解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用． 【详解】解：由得， 而， 故， 解得， 故时， 又， ，，， ， 故， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）设，，……都是正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依次类推，表示第n个数（n为正整数），已知，，则______；______． 【答案】 4 6064 【分析】根据已知，分别求得，，……，得出规律，将代入即可求得答案． 【详解】解：∵，，，，……是一列正整数， 当时，， 将代入得， 解得，另一答案为0，舍去； 当时，， 将代入得， 解得，负值已舍； 当时，， 将代入得， 解得，负值已舍； 观察到数列：，，，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，正方形是由四个长都为a，宽都为b（）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为，我们可以通过计算正方形面积的方法求出代数式的值，则这个值为 _____． 【答案】6 【分析】先求出小正方形面积＝大正方形的面积减去4个长方形的面积，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝36， 又∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查乘法公式的变形计算，平方根计算，掌握公式变形的方法用面积法，利用数形结合思想将问题简单化是解题关键． 16．（23-24八年级上·广西柳州·阶段检测）解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 17．（25-26八年级上·河南安阳·阶段测试）图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 理由如下，∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长和宽分别是，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴长方形纸片的长是， ∵， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 【分析】（1）先求出大正方形的面积，再结合正方形的面积公式计算即可得出结果； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，结合长方形的面积公式计算得出长方形纸片的长是，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：大正方形的面积， ∴大正方形纸片的边长为； （2）略． 18．（25-26八年级上·江西南昌·阶段测试）已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合的值求出，再计算． （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得． 【详解】（1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， ， ， ， ． （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 19．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根、算术平方根的概念列式求解得到，再代入计算，最后算出平方根即可． 【详解】解：根据题意，，， 解得， ∴， ∴的平方根是． 20．（25-26八年级上·全国·周测）王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 【答案】 小达的解法不正确．理由如下： 依题意可知，为，两数中的一个． 当时， 解得，则，这个正数为； 当时， 解得，则，这个正数为． 综上所述，这个正数为或． 【分析】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算． 【详解】略 【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 平方根重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 求一个数的算术平方根】 3 【基础题型二 利用算术平方根的非负性解题】 3 【基础题型三 估计算术平方根的取值范围】 4 【基础题型四 与算术平方根有关的规律探索题】 4 【基础题型五 算术平方根的实际应用】 5 【基础题型六 平方根概念理解】 7 【基础题型七 求一个数的平方根】 8 【基础题型八 求代数式的平方根】 9 【基础题型九 已知一个数的平方根，求这个数】 10 【基础题型十 利用平方根解方程】 10 第二部分·练提高题型 【提高题型一 平方根在生活中的应用】 12 第三部分・自我检测 知识点01 算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于,即²=，那么这个正数就叫做的算术平方根. 2. 的算术平方根记为，读作“根号”. 3.性质：（1)正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. (2) 当时，=. (3)算术平方根具有双重非负性：①；②. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．（2026八年级上 江苏无锡）计算：______． 知识点02 算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 2．（25-26八年级上·江苏·阶段测试）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 知识点03 开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数. （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如果的算术平方根是，则下列式子中成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个正数的平方根是和，则的值是______． 【基础题型一 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【例2】（2026八年级上 江苏南京·课后作业）的算术平方根是__________． 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）下列四个数中，负数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上 江苏扬州·课后作业）的相反数是（    ） A．7 B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）化简：______． 4．（2026八年级上 甘肃陇南·单元测试）计算：． 【基础题型二 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，则的值是（     ） A． B． C．9 D． 【例2】（2026八年级上 广东茂名·单元测试）若实数、满足，则______． 1．（24-25八年级上·福建莆田·期中）若，则的算术平方根是（　　） A．4 B． C．2 D． 2．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段测试）若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）若实数a和b满足，则的算术平方根是________． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若，求的平方根． 【基础题型三 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（25-26八年级上·天津河西·阶段测试）估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．22和24之间 【例2】（2026八年级上 重庆巴南·单元测试）若，其中n为正整数，则_______． 1．（2026八年级上 江苏南京·单元测试）估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．（2023八年级上 重庆·单元测试）估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 4．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图1，有一个底面积为，高为的圆柱魔方，现打算把它竖直放进一个如图2底面正方形边长为，高为的长方体盒子里． (1)求这个魔方底面圆的半径； (2)魔方能否放进去，说明理由． 【基础题型四 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段测试）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）已知，，则_________． 1．（25-26八年级上·贵州安顺·阶段测试）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段测试）若，，，则______（用、、来表示）． 4．（25-26八年级上·河南许昌·阶段测试）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【基础题型五 算术平方根的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段测试）一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东珠海·阶段测试）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段测试）如图，方格中小正方形的边长为1，将方格图中涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是_____． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段测试）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【基础题型六 平方根概念理解】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 【例2】（25-26八年级上·四川自贡·阶段测试）命题“负数没有平方根”是___________命题（填“真”或“假”）． 1．（25-26八年级上·四川凉山·阶段测试）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）某正数的两个不相等的平方根分别是和，则为__________． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）回答下列问题： (1)12是144的平方根吗？ (2)169的负的平方根是哪个数？ (3)是0.9的平方根吗？ (4)哪个数的平方根只有一个？ 【基础题型七 求一个数的平方根】 【例1】（25-26八年级上·西藏林芝·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【例2】（2026八年级上 江苏徐州·课后作业）的平方根是_________． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 2．（23-24八年级上·山东滨州·阶段测试）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 3．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知，则的平方根是_______． 4．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【基础题型八 求代数式的平方根】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若，则a+b的值为（    ） A．±5 B．5 C．±4 D．4 【例2】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=_________． 1．（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段测试）已知，则______． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【基础题型九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段测试）已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）已知的平方根是，则的值为_____． 1．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东湛江·阶段测试）若一个正数的两个平方根分别是和，则是______________． 4．（25-26八年级上·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【基础题型十 利用平方根解方程】 【例1】（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 【例2】（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）实数满足，则的值为_____． 1．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段测试）已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 2．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 3．（25-26八年级上·浙江·阶段测试）已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ 4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 【提高题型一 平方根在生活中的应用】 【例1】（23-24八年级上·北京海淀·阶段测试）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【例2】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段测试）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线电阻为时间导线产生的热量，则电流的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（      ）． A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）某小区要扩大绿化带的面积，已知原绿化带的形状是一个边长为的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长为________． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 1．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段测试）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段测试）一个正方形的面积为29，则它的边长应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 5．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）从表格中探究a与数位的规律，已知，若，用含m的式子表示b，则b是m的多少倍（    ）      …           1 100 10000 … …           1 10 100 … A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）数轴上原点左边有一点，点对应的数为，有如下说法：①表示的数可能是负数；②若，则；③在，，，中，最大的数是；④若，则．其中正确说法的序号是（   ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 7．（2024八年级上·广西）已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 8．（23-24八年级上·广东汕尾·阶段检测）若一个数的平方根是和，则这个数是（　　） A．1 B． C．4 D．16 9．（25-26八年级上·天津和平·期中）下列说法正确的有（   ）个． ①与一定有一个表示负数 ②为任意数，均成立 ③若，则与相等； ④两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 11．（25-26八年级上·上海·阶段测试）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 12．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段测试）已知实数和满足，则的值为__________． 13．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段测试）已知满足，则代数式的值是______________． 14．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）设，，……都是正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依次类推，表示第n个数（n为正整数），已知，，则______；______． 15．（24-25八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，正方形是由四个长都为a，宽都为b（）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为，我们可以通过计算正方形面积的方法求出代数式的值，则这个值为 _____． 16．（23-24八年级上·广西柳州·阶段检测）解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 17．（25-26八年级上·河南安阳·阶段测试）图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形． (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为 ； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？请通过计算说明． 18．（25-26八年级上·江西南昌·阶段测试）已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 19．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 20．（25-26八年级上·全国·周测）王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $