第11讲 勾股定理的简单应用 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（苏科版2024）

第11讲 勾股定理的简单应用 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1勾股定理与网格问题 2勾股定理与折叠问题 3勾股定理的简单应用 题型巩 固 一、勾股定理与网格问题 二、勾股定理与折叠问题 三、求旗杆高度(勾股定理的应用) 四、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 五、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 六、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 七、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 八、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 十、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 十一、求最短路径(勾股定理的应用) 十二、勾股定理逆定理的实际应用 分层强 化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点2勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点3勾股定理的简单应用 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 题型巩固 题型一、勾股定理与网格问题 1．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】根据勾股定理进行求解，进行判断即可。 【详解】解：由图可知：， 由勾股定理，得：， ∴长度为的线段是， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在格点上． (1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′； (2)在直线l上找一点P，使PB+PC最小，则最小值为_____； (3)若点Q在格点上，使得△ABQ的三边长分别为4，，，则图中这样的格点共有______个． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）连接BC′交直线l于点P，连接CP，此时PB+PC的长最小，最小值为线段BC′的长； （3）利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，△A'B'C′即为所求； （2）解：如图，点P即为所求，最小值=BC′的长， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴符合三边长分别为4，，的△ABQ有△ABQ1、△ABQ2、△ABQ3、△ABQ4， ∴这样的格点Q共有4个，如图所示， 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题，学会利用数形结合的思想思考问题． 题型二、勾股定理与折叠问题 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质得到 ，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：当P点在E点左边时，如图1所示， 由折叠的性质得， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 解得，， 即； 当P点在E点右边时，如图2所示， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， 即； 综上所述，或10； 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据折叠的性质可得：，，，，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，    (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用． （1）根据折叠的性质，得，；根据，解出，可得的值， （2）根据直角三角形，利用勾股定理，即可求出． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵是沿折痕折叠得到的， ∴，， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，， ∴， ∴， （2）∵， ∴，， 设， ∴， ∴在直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 题型三、求旗杆高度(勾股定理的应用) 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理得应用，设绳索长x尺，由题意并结合勾股定理即可列出方程，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设绳索长x尺， 由题意并结合勾股定理可得：， 故选：A． 7．（2024·江苏无锡·一模）我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺． 【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索，则，根据勾股定理得到，求出的值即可． 【详解】解：设这个秋千的绳索，    则， ， ， ∵，， ， ， ∴这个秋千的绳索有尺． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为17.5米． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳长为米， 是直角三角形， ， ， 解得. 答：旗杆的高度为17.5米． 题型四、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 9．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理分别求出梯子的长度和梯子底端到右墙角的距离，进而得出结果； 【详解】解：根据勾股定理： 梯子的长度为： 梯子底端到右墙角的距离为： ∴小巷的宽度为： 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离长为4米，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 【答案】3 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，米， ∴米， 故答案为：3． 11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变． (1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）． (2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)小男孩需向右移动的距离为米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， 故答案为：； （2）连接， ∵点B在直线上， ∴点A、B、F三点共线， ，米，米，米， 在中，米， （米）， 在中，米， ， 米， ∴小男孩需向右移动的距离为米． 题型五、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 12．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．10米 B．15米 C．16米 D．20米 【答案】B 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图建立数学模型，则，，则， 两棵树的高度差， 间距， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离， 即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解是解题的关键． 13．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，有两棵树，一颗高10米，另一棵高3米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米． 【答案】25 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查正确运用勾股定理，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 14．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【答案】米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 答：为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题关键． 题型六、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 15．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 尺， 故选：B． 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，竹高尺，处被折断竹稍抵达地面，离竹根部有尺，则竹的余高为 尺． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设尺，则尺， ∵， ∴， 解得， ∴尺， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    【答案】0.9米 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 设，则，在中利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， 答：弯折点与地面的距离为0.9米． 题型七、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 18．（2024·江苏苏州·一模）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的运用．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿x尺，则图中． ∴，， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 所以， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∵， ∴． 答：竹竿为10尺． 故选：A 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查主要考查了勾股定理得应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 如图，设水深是尺，得到尺，尺，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设水深是尺， 由题意可知，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴水深是尺， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】设杯子的高度是，则筷子的高度为，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设杯子的高度是，则筷子的高度为，    ∵杯子的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得， ∴筷子． 答：筷子的长度为． 题型八、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 21．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理计算米，根据题意，台阶的高的和为，宽的和为，求和计算即可． 【详解】∵高是3米，斜边长是5米， ∴米， 根据题意，台阶的高的和为，宽的和为， 米， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 22．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是 ． 【答案】17m 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC，根据勾股定理即可求得AC的值，根据题意求地毯长度即求得AC+BC即可． 【详解】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC， 在直角△ABC中，AB=13m，BC=5m，且AB为斜边， 根据勾股定理可得AC==12m， 故地毯长度为AC+BC=12+5=17m， 故答案为：17m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求AC+BC. 题型九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 23．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24．为了积极宣传防疫知识，某社区采用了移动车进行广播．如图，小明家在南街这条笔直公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以400米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由． 【答案】能听到宣传，理由见解析；总共能听到4分钟的宣传． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是根据路程除以速度等于时间得到结论． 【详解】解：小明能听到宣传， 理由：∵A到公路MN的距离为600米＜1000米， ∴小明能听到宣传； 如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响点A，行驶Q点结束对村庄的影响， 则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米， ∴BP＝BQ＝（米）， ∴PQ＝1600米， ∴影响点A的时间为：1600÷400＝4（分钟）， 答：他总共能听到4分钟的宣传． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际构造直角三角形是解题的关键． 题型十、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 25．（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 26．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 题型十一、求最短路径(勾股定理的应用) 27．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．掌握两点之间线段最短和勾股定理的应用是解题关键．将圆柱形玻璃杯侧面展开，连接．结合两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．再根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：将圆柱形玻璃杯侧面展开，如图，连接． ∴． 根据两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离． ∵高为，底面周长为， ∴，， ∴． 故选B． 28．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要 秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【详解】解：如图所示： 作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵蚂蚁爬行的速度为， ∴它至少需要s. 故答案为：. 29．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 【答案】13公里 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了轴对称中最短路径问题在生活中的应用，将此题转化为轴对称问题，作出点关于河岸的对称点，根据两点之间线段最短得出的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可． 【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则， 则最短，故将军应将马赶到河边的地点． 作，且， ，，， 四边形是矩形， ， 在中， ， 答：将军最短需要走13公里． 题型十二、勾股定理逆定理的实际应用 30．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（    ） A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里 【答案】D 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：（平方里）． 故选：D． 31．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 【答案】这块地全部种草的费用是5760元． 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理．连接，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，   ∴， ∴是直角三角形即， ∴， ∴（元）， 答：这块地全部种草的费用是5760元． 分层强化 一、单选题 1．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（   ） A．16米 B．20米 C．24米 D．25米 【答案】C 【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度． 【详解】解：如图所示，AB=25米，BC=7米， 由勾股定理可得，AC==24(米)． 则云梯可以达该建筑物的最大高度是24米． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，要求学生善于利用题目信息构成直角三角形，从而运用勾股定理解题． 2．《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间，这时乙共行， 甲共行， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故选：D． 3．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，当笔斜放时，运用勾股定理可得的最大值，当笔竖立时可得最小值，由此即可求解． 【详解】解：当笔竖立时，； 当笔斜放时，， ∴， 故选：A ． 4．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺，    在中，，即． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用． 5．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC， 由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m， 在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m， 故小鸟至少飞行10m． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 6．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2＝AD2+AE2＝102+x2， 在Rt△BCE中， CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：102+x2＝152+（25﹣x）2， 解得：x＝15km． 所以，E应建在距A点15km处． 故选：C． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 7．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    8．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边、，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，利用翻折变换的性质得出，再利用在中运用勾股定理就可以求出的长． 【详解】解：设， 将一张直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ，． 在中， ， 则， ， 整理得：， 解得：， 即的长为． 故选：A． 二、填空题 9．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 米． 【答案】14 【分析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题． 【详解】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和， 由题意得：∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米， 由勾股定理得BC==8（米）， 则AC+BC=14（米）， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键． 10．如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了 米（的长）（假设绳子是直的）． 【答案】9 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 11．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可． 【详解】解：如图所示：根据题意可知米，米， 根据勾股定理得． 所以树折断前有（米）． 故答案为：． 12．如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离． 故答案为：． 13．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理解题．设木柱长为x尺，则绳索长为，然后根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 14．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．在和中分别利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得， 在中，m，m， 根据勾股定理得， ， ∴， 故答案为：． 15．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是 ． 【答案】45°/45度 【分析】将AC向右平移一个单位得到BM，如图，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM＝45°，再根据平行线的性质得出即可． 【详解】解：将AC向右平移一个单位得到BM，连接DM， ∴BM∥AC， 由勾股定理得：DM＝＝，BM＝＝，BD＝＝， ∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2， ∴△DMB是等腰直角三角形， ∴∠DBM＝45°， ∵AC∥BM， ∴∠APB＝∠DBM＝45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键． 三、解答题 16．如图，起重机吊运物体，，，求吊起的高度． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．根据题意直接利用勾股定理得出的长． 【详解】解：根据题意得： 为直角三角形，且， 所以， 所以， 答：吊起的高度为． 17．如图，现有一块花坛，将其内部设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用． 【答案】480元 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，正确得出是直角三角形是解题关键．先利用勾股定理得出，再利用勾股定理的逆定理得出，根据四边形面积等于两直角三角形面积差即可求出面积，由面积可计算投入． 【详解】解： ， ， ， 是直角三角形，， 种植花卉区域的面积为， 种植花卉所需的费用为（元． 18．如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 19．如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 20．（1）如图①，的斜边比直角边长2cm，另一直角边长为6cm，求的长． （2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上． ①求的长． ②求的长． 【答案】（1）10cm；（2）① 4cm；② 3cm 【分析】（1）利用勾股定理，进行求解即可； （2）①根据翻折得到，利用求出的长即可； ②在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）设，则， 在中：，即：， 解得：； ∴； （2）①∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ∴， ∴； ②∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ∴， 设，则， 在中：，即：， 解得：； 即：． 【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，对应边相等，对应角相等，以及勾股定理，是解题的关键． 21．如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)24米 (2)能 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． （1）先说明，再根据勾股定理求出的长即可； （2）设米，运用勾股定理求得的长，然后与云梯长度的比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． 答：的长为24米． （2）解：设米，则． ∵， ∴能达到． 22．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 23．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 勾股定理的简单应用 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1勾股定理与网格问题 2勾股定理与折叠问题 3勾股定理的简单应用 题型巩 固 一、勾股定理与网格问题 二、勾股定理与折叠问题 三、求旗杆高度(勾股定理的应用) 四、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 五、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 六、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 七、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 八、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 十、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 十一、求最短路径(勾股定理的应用) 十二、勾股定理逆定理的实际应用 分层强 化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点2勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点3勾股定理的简单应用 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 题型巩固 题型一、勾股定理与网格问题 1．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在格点上． (1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′； (2)在直线l上找一点P，使PB+PC最小，则最小值为_____； (3)若点Q在格点上，使得△ABQ的三边长分别为4，，，则图中这样的格点共有______个． 题型二、勾股定理与折叠问题 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，    (1)求的长度； (2)求的长度． 题型三、求旗杆高度(勾股定理的应用) 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏无锡·一模）我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 题型四、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 9．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离长为4米，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变． (1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）． (2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 题型五、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 12．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．10米 B．15米 C．16米 D．20米 13．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，有两棵树，一颗高10米，另一棵高3米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米． 14．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 题型六、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 15．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，竹高尺，处被折断竹稍抵达地面，离竹根部有尺，则竹的余高为 尺． 17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．    题型七、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 18．（2024·江苏苏州·一模）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    题型八、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 21．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 22．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是 ． 题型九、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 23．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 24．为了积极宣传防疫知识，某社区采用了移动车进行广播．如图，小明家在南街这条笔直公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以400米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由． 题型十、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 25．（24-25八年级上·全国·课后作业）某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 题型十一、求最短路径(勾股定理的应用) 27．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要 秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 29．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 题型十二、勾股定理逆定理的实际应用 30．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（    ） A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里 31．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 分层强化 一、单选题 1．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（   ） A．16米 B．20米 C．24米 D．25米 2．《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 6．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 7．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 8．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边、，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 米． 10．如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了 米（的长）（假设绳子是直的）． 11．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是 米． 12．如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 13．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 14．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为 ． 15．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是 ． 三、解答题 16．如图，起重机吊运物体，，，求吊起的高度． 17．如图，现有一块花坛，将其内部设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用． 18．如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 19．如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 20．（1）如图①，的斜边比直角边长2cm，另一直角边长为6cm，求的长． （2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上． ①求的长． ②求的长． 21．如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 22．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 23．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 学科网（北京）股份有限公司 $$