专题3.6 函数的应用一（5类必考点）讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数模型的实际应用，系统梳理建模基本步骤，分述一次、二次、幂函数、分段函数及分式型（对勾函数）模型的应用，构建从理论到具体模型再到问题解决的学习支架。 以企业利润、头盔销售等实际问题为载体，通过分层例题设计，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题、用数学语言建立模型的能力。知识梳理与实例结合，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏。

专题3.6 函数的应用一 【知识梳理】 1 【考点1：一次、二次函数模型】 1 【考点2：分式型函数模型】 4 【考点3：幂函数模型】 7 【考点4：分段函数模型】 9 【考点5：函数模型的选择】 12 【知识梳理】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 4．幂函数模型及其应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 5．分段函数模型的应用 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). 6．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【考点1：一次、二次函数模型】 1．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 3．（25-26高二下·上海·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 4．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【考点2：分式型函数模型】 1．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 2．（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为了更好地美化校园，某校计划修建一个如图所示的总面积为120平方米的花园.图中阴影部分是宽度为1米的小路，中间三个矩形区域将种植鲜花.图中区域的形状､大小完全相同.设矩形花园的一条边长为米，鲜花种植的总面积为平方米. (1)用含有的代数式表示，并求出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大，并求出最大面积. 4．（2026高一上·江苏南通·专题练习）某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【考点3：幂函数模型】 1．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 2．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（    ）（参考数据：） A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时 3．（25-26高一上·河北·阶段检测）（多选）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 4．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 【考点4：分段函数模型】 1．（25-26高二下·北京·阶段检测）一款运动测得某运动员百米赛跑后半小时内心率（单位：次/分钟）与停止运动后的时间（单位：分钟）之间的关系满足其中为正整数，表示不超过的最大整数；当时，心率为次/分钟，当心率不低于次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”；该运动员的静息心率（休息时的心率）为次/分钟；则下列结论中正确的序号是_________． ① ②y的最大值为 ③该运动员第分钟时恢复到静息心率 ④该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟 2．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 3．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 4．（2026高三·全国·专题练习）某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间t（min）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知：. (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 【考点5：函数模型的选择】 1．（25-26高一上·广西钦州·阶段检测）某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的一些数据如下表所示： 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，且． (1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少 2．（25-26高一下·云南曲靖·期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 产品产量千件 … 收益万元 … 已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④. (1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式； (2)已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？ 3．（25-26高一上·湖北荆门·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 4．（25-26高一上·福建福州·期末）在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 5．（25-26高二下·上海杨浦·期末）低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q（单位：wh）与速度x（单位：km/h）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q 0 1325 4400 7200 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式； (2)现有一辆同型号纯电动汽车从A地行驶到B地，其中，国道上行驶30km，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v（单位：km/h）满足，且每小时耗电量N（单位：wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 函数的应用一 【知识梳理】 1 【考点1：一次、二次函数模型】 1 【考点2：分式型函数模型】 5 【考点3：幂函数模型】 10 【考点4：分段函数模型】 13 【考点5：函数模型的选择】 19 【知识梳理】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 4．幂函数模型及其应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 5．分段函数模型的应用 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). 6．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【考点1：一次、二次函数模型】 1．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 【答案】当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 【分析】根据给定条件，求出利润与售价的函数关系，再利用二次函数性质求出最大值. 【详解】设每个提价元（，），利润为元． 每天销售总额为元， 进货总额元，显然，即， 因此 ，当且仅当时取等号， 此时销售单价应为14元，最大利润为360元， 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 3．（25-26高二下·上海·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【答案】(1) (2)使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 【考点2：分式型函数模型】 1．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【分析】（1）根据利润表达式列出方程，解之即可； （2）解法一：构造利润函数，根据二次函数的性质求解出最大值；解法二：构造利润函数，采用换元法并结合二次函数的性质求解出最大值. 【详解】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 2．（24-25高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为了更好地美化校园，某校计划修建一个如图所示的总面积为120平方米的花园.图中阴影部分是宽度为1米的小路，中间三个矩形区域将种植鲜花.图中区域的形状､大小完全相同.设矩形花园的一条边长为米，鲜花种植的总面积为平方米. (1)用含有的代数式表示，并求出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大，并求出最大面积. 【答案】(1)，； (2)，最大面积为. 【分析】 （1） 设矩形花园的长为米，结合，进而求得关于的关系式； （2） 由（1）知，，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为米,根据题意可得，所以，，又，所以， 又阴影部分是宽度为1米的小路，可得，所以，； （2）由（1）知，，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 4．（2026高一上·江苏南通·专题练习）某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元 【分析】（1）根据题意补贴为0，再结合收益销售金额成本，列出算式，即可求解； （2）设获政府补贴万元时，收益为万元，求得，结合基本不等式，得到的最大值，及其相应的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意得，当该企业没有政府补贴时，收益销售金额成本， 即：万元； （2）解：设获政府补贴万元时，收益为万元， 则，其中， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以不是申请的政府补贴越多，收益越大，当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元． 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 【考点3：幂函数模型】 1．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 2．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（    ）（参考数据：） A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时 【答案】C 【分析】利用对数性质求解指数方程可得答案. 【详解】由题意得，所以，即， 两边同时取以10为底的对数，得，所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·河北·阶段检测）（多选）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【详解】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 4．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【答案】(1)， (2)最大利润，生产B投入 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 【答案】(1)生产A芯片的毛收入，生产B芯片的毛收入． (2)当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大 (3)千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元． 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）根据给定条件，列出净利润的函数关系，再借助二次函数性质求出最大值. 【详解】（1）设投入资金千万元，则生产A芯片的毛收入， 将代入，得，解得， 所以生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得， 所以当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16千万元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）依题意，投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产A芯片， 公司所获净利润，当且仅当，即时取等号， 所以千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元. 【考点4：分段函数模型】 1．（25-26高二下·北京·阶段检测）一款运动测得某运动员百米赛跑后半小时内心率（单位：次/分钟）与停止运动后的时间（单位：分钟）之间的关系满足其中为正整数，表示不超过的最大整数；当时，心率为次/分钟，当心率不低于次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”；该运动员的静息心率（休息时的心率）为次/分钟；则下列结论中正确的序号是_________． ① ②y的最大值为 ③该运动员第分钟时恢复到静息心率 ④该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于②，对每段函数分别求最大值即可判断；对于③，将代入函数计算函数值即可判断；对于④根据“运动后活跃期”定义求得满足的的值即可判断． 【详解】对于①，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，①正确； 对于②，当且时，， 所以当时，取得最大值， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值， 综上，的最大值为，②正确； 对于③，当时，， 所以该运动员第分钟时没有恢复到静息心率，③错误； 对于④，当且时，， 当时，取得最小值， 所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，，解得， 所以，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟，④正确． 2．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)45万件；2600万元. 【分析】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【详解】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 3．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 【答案】(1) ，， (2) 小时 【分析】（1）根据及待定系数法求解析式中的参数值； （2）应用分类讨论研究时对应的自变量范围，即可得. 【详解】（1）由， 由图象知， 联立得，得，则， 由， 综上，； （2）由（1）知， 当时，，则， 所以，因此第一段满足条件的范围是， 当时，，则， 所以，因此第二段满足条件的范围是， 综上，总有效时长为小时. 4．（2026高三·全国·专题练习）某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 【答案】(1) (2)475台 (3)产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本 【详解】（1）当时，产品能售出x百台；当时，只能售出5百台，故利润函数为 （2）当时，， 当时，（万元）； 当时，为减函数，所以； ∴生产475台时利润最大． （3）由或得． 因为 ∴产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间t（min）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知：. (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 【答案】(1)讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min (2)讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中 (3)老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目 【分析】（1）对分段函数讨论，当，,时，分析函数的单调性，求得最大值即可； （2）求出的值比较即可； （3）当与时，分别令，解得对应的值，求差即可得到结论． 【详解】（1）当时，是增函数， 当时，是减函数，且， 所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min. （2）因为， 所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中． （3）当时，令，得， 当时，令，得， 又， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目. 【考点5：函数模型的选择】 1．（25-26高一上·广西钦州·阶段检测）某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的一些数据如下表所示： 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，且． (1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少 【答案】(1)选择模型 ， (2) 【分析】根据所给数据选择函数模型，代入数据列得关于的方程组，解方程组即可，故可得解析式. 设这辆汽车在该测试路段的总耗油量为单位：，行驶时间为单位：，由题意得，根据二次函数的性质求出最值. 【详解】（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上单调递增． 函数在上单调递减，所以不符合题意 函数中的，即定义域不可能为，也不符合题意 所以选择函数模型 ． 由已知数据得 解得 所以． （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为，行驶时间为． 由题意得 ， 因为，所以当时，有最小值． 所以这辆车在该测试路段上以的速度行驶时总耗油量最少，最少为． 2．（25-26高一下·云南曲靖·期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 产品产量千件 … 收益万元 … 已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④. (1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式； (2)已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？ 【答案】(1)④， (2)应搬迁 【分析】（1）首先根据函数的性质判断符合的函数，再代入表格数据，即可求解函数的解析式； （2）根据（1）的结果，列不等式，即可求解. 【详解】（1）由表中数据可知，收益随着产品产量的递增而递增，且增长速度越来越慢. 而①单调递减，不合题意， ③是单调递减函数，不合题意， 对于②，由题意可知，从而增长率越来越快，不合题意. 故只能选择④的模型，且. 将，代入，可得， 解得，所以， 当时，， 当时，，所以符合题意， 所以可用④来描述，之间的关系，解析式为； （2）令，则， 又，所以此企业需要搬迁. 3．（25-26高一上·湖北荆门·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)选择， (2)当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式. （2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意； 对于，它显然是个减函数，这与矛盾； 故选择. 根据提供的数据，有，解得， 当时，. （2）国道路段长为，所用时间为，所耗电量为: ， 因为，当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 当且仅当即时等号成立. 所以： 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 4．（25-26高一上·福建福州·期末）在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 【答案】(1)选择模型为，理由如下： 依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件： 一是函数的定义域为； 二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大． 因为模型①的定义域不可能为，所以不符合： 因为模型②是单调递减函数，所以不符合； 因为模型③在有意义，且当时，单调递增，符合题意， 故应选择模型为． 函数解析式为. (2)（i）不能，依题意，得，所以该无人机不能完成本次配送任务． （ii）9km 【分析】（1）先根据定义域和单调性要求筛选出函数模型③，把已知点代入模型求出、的值，检验其余点是否在所得函数图象上确定解析式. （2）（i）计算载重9时飞行20km能耗并与300比较判断能否完成任务. （ii）先算出载重25时总能耗表达式，再根据能耗限制列不等式求解的最大值. 【详解】（1）选择函数模型③，理由略， 将点（0，2），（1，7）代入得，解得， 所以． 经检验，点（4，12），（9，17），（16，22）都在函数的图象上， 所以所求的函数解析式为， 且当时，表示空载能耗. （2）由（1）得． （i）略 （ii）依题意，得， 所以，解得， 所以的最大值为9km． 5．（25-26高二下·上海杨浦·期末）低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q（单位：wh）与速度x（单位：km/h）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q 0 1325 4400 7200 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式； (2)现有一辆同型号纯电动汽车从A地行驶到B地，其中，国道上行驶30km，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v（单位：km/h）满足，且每小时耗电量N（单位：wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，理由见解析； (2)高速上的行驶速度为80km/h，在国道上的行驶速度为40km/h；33800wh 【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解． 【详解】（1）解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意， 对于②，，，解得， 则，当时，，又， 所以，故不符合题意， 故选①， 由表中数据，可得，解得， ． （2）解：高速上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， ， 国道上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， ，当时，， 当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时， 该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $