培优05 二次函数的实际应用（9大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“问题建模-方法提炼-思想渗透”为主线，系统构建二次函数实际应用的解题框架，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通用解题步骤|11个基础要点|待定系数法选形、建系技巧、最值两步走|从解析式到图象性质，再到与方程综合，形成知识链| |核心题型模型|8类模型+例题+变式|先建模后计算、利润问题套路、表格数据处理|按“图形问题-运动问题-跨学科模型”梯度编排，覆盖中考高频场景| |解题技巧|9项实用策略|碰撞判断转化、几何条件代数化|融合数形结合与转化思想，强调实际意义对自变量取值的限制|

培优05 二次函数的实际应用 思维导图 知识点睛 一 通用解题步骤 1.二次函数的解析式： 一般式、顶点式，以及待定系数法求解析式——由顶点坐标、对称轴或图象上点的坐标确定系数；已知抛物线上对称的两点可由求对称轴。 2.二次函数一般式的图象与性质： 开口方向由的符号决定，对称轴为直线，顶点坐标公式，以及增减性与最值的对应关系。 3.二次函数的最值： 用配方法将一般式化为顶点式求最值，或由顶点坐标公式直接求；注意最值点可能落在自变量取值范围的端点。 4.二次函数与一元二次方程的关系： 令解一元二次方程求抛物线与轴的交点（落点、落水点、落地位置），并可用判别式判断交点个数。 5.一元二次方程的解法及其应用： 因式分解法、公式法解方程，以及“与图形有关的问题（一元二次方程的应用）”（如面积类方程）。 6.一次函数： 用待定系数法求一次函数解析式，及一次函数的实际应用（如销量与单价的函数关系、单株产量与种植株数、速度与时间）。 7.二次函数与一次函数的综合： 先用一次函数表示中间量（销量、单株产量、速度等），再代入构造二次函数（总利润、总产量、位移等）求最值。 8.二次函数图象的平移： 抛物线“形状保持不变”意味着二次项系数不变，仅顶点位置（常数项）改变，如喷水管升高后水柱抛物线向上平移。 9.几何知识： 矩形、正方形、三角形的面积公式；正方形的性质；全等三角形的判定与性质；用勾股定理解三角形，用于在图形中表示线段长度。 10.函数概念与自变量取值范围： 实际问题中函数的定义域（如篱笆长度限制、售价区间、运动时间范围）及其对函数值的影响。 11.跨学科物理模型： 匀变速运动中速度随时间成一次函数关系、滑行（位移）距离随时间成二次函数关系，以及运动停止条件（速度为零）。 二 核心题型模型 1.面积最值模型（图形问题）： 用未知数表示矩形（或三角形）的长与宽、底与高，由面积公式列出面积关于的二次函数，求面积最大值。典型如矩形菜园围栏问题（一边靠墙、其余三边篱笆和为定值且靠墙边长有限制）、正方形内接正方形的面积、矩形长宽同时增加后的面积增量。 2.动点运动模型（图形运动问题）： 动点沿三角形边匀速运动，用时间表示相关线段长、底边长与高，建立线段长度或图形面积关于的二次函数，求最小值或最大值，并注意“一点到达终点、另一点随之停止”对时间范围的限制。 3.拱桥（抛物线型建筑物）模型： 以水面（地面）所在直线为轴、抛物线的对称轴为轴建立坐标系，设或顶点式 ，由已知点求解析式；再解决“给定高度求水面宽度”“给定宽度求水面下降高度”以及铺设地毯长度、保温墙位置等问题。 4.喷水、投球抛物线轨迹模型： 水柱、篮球、铅球、沙包的运动轨迹为开口向下的抛物线。求出手（喷口）高度即时的 值；求最高点即顶点纵坐标；求落点、落水点即令解一元二次方程取合理根；喷水池直径问题转化为求抛物线与轴两交点横坐标之差。 5.销售利润最值模型： 总利润=（售价−进价）×销量，其中销量随售价（或降价幅度）变化成一次函数关系，代入得总利润关于售价的二次函数，配方求最大利润，并注意售价取值区间对最值的影响。 6.增长率（下降率）模型： 增长后的量=增长前的量×(1+平均增长率)ⁿ，如表示经过两期后的量；也有增长率本身随时间按二次函数模型变化的情形。 7.跨学科运动模型（小球滚动、汽车刹车）： 匀减速运动中速度为一次函数，滑行距离为二次函数；小球停下即时位移取最大值；碰撞判断转化为两物体距离差构成的二次函数，求其最小值判断是否相撞（最小值非负则不相撞）。 8.项目式综合模型： 由实验或试验数据表出发，先观察数据变化规律判定函数类型（一次函数差值恒定、二次函数二阶差恒定），用待定系数法求解析式，再求最值或解方程解决实际问题，如大豆种植密度优化、奖杯抛物线设计、汽车刹车距离与安全判断。 题型分析 题型1：图形问题 【例1】 （25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-1 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 变式1-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加．求y与x之间的关系式． 题型2：图形运动问题 【例2】 （2024·江苏徐州·一模）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 变式2-1 （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______． 变式2-2 （24-25九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 题型3：拱桥问题 【例3】 （25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：；②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 变式3-1 （2025九年级上·福建厦门·专题练习）中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的平面直角坐标系中，抛物线的解析式为且过拱顶（长度单位：），现因举行庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为的地毯，地毯的价格为20元，则购买地毯需___________元． 变式3-2 （25-26九年级上·陕西安康·期末）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 题型4：喷水问题 【例4】 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 变式4-1 （2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 变式4-2 （24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度______米． 题型5：投球问题 【例5】 （25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中y（米）代表篮球飞行的高度，x（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为________米． 变式5-1 （25-26九年级上·吉林长春·期末）一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 变式5-2 （25-26九年级上·山西长治·期末）2025年全国大学生航模总决赛于10月举行，多支大学生代表队参加．投掷比赛时，某代表队的飞机模型在距离地面a米处投掷沙包，掷出的沙包距离地面的高度y（单位：米）与下落时间x（单位：秒）之间满足．当下落时间时，，则当沙包落地时，下落时间x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型6：销售问题 【例6】 （25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 变式5-1 （24-25九年级上·山东威海·期中）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为_________元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 变式5-2 （22-23九年级下·重庆开州·开学考试）在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 题型7：增长率、下降率问题 【例7】 （25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 变式7-1 （25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 变式7-2 （2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 题型8：小球运动问题（跨学科物理） 【例8】 （25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据：任务一：记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． (1)任务二：数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现与的函数关系为一次函数关系，与的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出与的函数关系式和与的函数关系式：（不必写出自变量的取值范围．） (2)任务三：当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； (3)当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，请判断小球与电动小车是否会发生碰撞，若会，请求出在第几秒发生碰撞；若不会，请求出小球与电动小车之间的最小距离． 变式8-1 （2025·山西临汾·一模）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离s（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间x/s 0 1 2 3 4 5 ．．． 运动速度/ 12 11 10 9 8 7 ．．． 滑行距离s/ 0 11.5 22 31.5 40 47.5 ．．． 任务二：观察分析 （1）根据v，s随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，请直接写出的取值范围． 变式8-2 （25-26九年级上·福建南平·期末）在活动课上，老师将小球从4.8米长的斜面顶端由静止开始沿斜面直线滚下，然后在水平木板上沿直线滚动，直至停止（如图所示，不考虑外界因素）． （1）在斜面滚动阶段 信息一：滚动距离平均速度滚动时间t，，其中是开始 时的速度，是t秒时的速度． 信息二：在滚动过程中，速度每秒增加． 信息三：实验数据如下表： 滚动时间t （单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． t秒速度（单位：） 0 15 30 45 60 ．．． 滚动距离S （单位：） 0 7.5 30 67.5 120 ．．． （2）在水平木板滚动阶段 我们用二次函数来近似的表示滚动距离y与滚动时间x的关系．收集到y与x的部分数据如下表： 滚动时间x（单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． 滚动距离y（单位：） 0 115 220 315 400 ．．． （3）解决问题 在斜面滚动阶段 ①求滚动的距离S（单位：）关于滚动时间t （单位：s）的函数关系式； ②小球从顶端滚到底端B处需要多长时间？ 在水平滚动阶段 ③在小球滚动路线的前方，距B点8米处有一个物体C，请判断小球在木板滚动中会撞上它吗？说明你的理由． 题型9：项目综合问题 【例9】 （2024九年级下·山西·学业考试）项目化学习 项目主题：优化大豆种植密度 项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系 研究步骤： （1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； （2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数x（株） 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量y（粒） 51 46 41 36 31 26 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为（）； (2)若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积实验田中大豆植株种植数量的方案． 变式9-1 （2024·陕西榆林·二模）某次项目式学习研究中，智慧小组的研究如下： 【研究课题】为班级年度优秀学生设计奖杯． 素材1 如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，A与B均为最高点，且A、B两点之间的距离为，点A到杯底的竖直高度为；下半部分是一个等腰三角形底座，于点D，图中所有的点都在同一平面内． 素材2 以杯底所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，抛物线部分满足函数关系式：（b、c为常数） 素材3 在距离杯底的竖直高度为的M、N两点处贴上装饰图案（点M在点N的左侧，图案大小忽略不计）． 【任务解决】 (1)求该奖杯抛物线部分的函数表达式； (2)求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度； (3)求M、N两点之间的水平距离． 变式9-2 （25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）【综合与实践】某汽车研发中心对一款新型轿车的制动性能进行紧急刹车测试，数学兴趣小组记录了相关数据． 【知识背景】行驶中的汽车在刹车后由于惯性作用，还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．在匀减速直线运动模型中，刹车距离与刹车时间成二次函数关系． 【探究发现】小组记录了该汽车在某一恒定速度下，紧急刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）的一组数据如下表： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 21 36 发现： ①开始刹车后行驶的距离与时间之间满足二次函数关系； ②刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止； ③该汽车刹车前的行驶速度保持不变． 【问题解决】 (1)求关于的函数解析式； (2)求该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是多少米？ (3)若汽车司机发现正前方处有一障碍物，从发现情况到刹车需要的反应时间（反应时间内汽车仍以的速度匀速行驶）．请问该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 解题技巧 1.先建模后计算：读题后先确定自变量与因变量，依据面积公式、利润公式或物理公式列出函数关系式，再进行计算，避免直接套公式而脱离题意。 2.建系技巧：拱桥、喷水、投球等抛物线问题，优先以抛物线的对称轴为轴、顶点在轴上建系，可设以减小未知量；已知顶点坐标时直接设顶点式。 3.待定系数法选形：已知顶点和一点用顶点式；已知三点用一般式；已知与 x 轴交点用交点式；已知对称的两点先求对称轴再定系数。 4.求最值两步走：先求对称轴（或配方得顶点），再判断顶点横坐标是否在自变量取值范围内——在范围内取顶点值，不在范围内取区间端点值。 5.利润问题固定套路：单件利润=售价−进价；销量用含的一次式表示；总利润=单件利润×销量，展开成一般式后配方求最值；注意降价使单件利润减少而销量增加，涨价反之。 6.求落点、落水点：令解一元二次方程，两个根中按实际意义取正根或落在合理范围内的根；已知高度反求宽度时把高度值代入解方程。 7.表格数据处理：先由数据变化规律判断是一次函数还是二次函数（一次看差值恒定，二次看二阶差恒定），再取两组数据用待定系数法求系数，并用其余数据验证。 8.碰撞、安全类判断：把两物体间的距离差写成关于时间的二次函数，求最小值——最小值不小于0则不会碰撞；或转化为解方程看是否有实数解。 9.数形结合辅助：画草图理解题意，把图形中的几何条件（边长、高度、距离）转化为点的坐标或线段长度，再代入函数关系式计算。 归纳总结 一、重点 1.用待定系数法求二次函数解析式：能根据已知条件正确选择一般式、顶点式并完成代入计算。 2.二次函数最值的求法（配方法、顶点坐标公式）及其在面积、利润、距离等实际问题中的应用。 3.将实际问题抽象为二次函数模型：审题、设元、列式三步建模过程，是全部题型的共同主线。 4.二次函数与一元二次方程的联系：令求交点、由判别式判断根的情况，用于求落点与验证方案。 5.二次函数图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性）在判断最值与取值范围中的应用。 6.自变量取值范围的确定及其对最值的影响（顶点在区间内还是在端点处取最值）。 7.一次函数与二次函数综合题的分析思路：先由一次函数表示中间量，再构造二次函数求最值。 二、难点 1.从文字与图形中提取有效信息，准确确定自变量与函数关系，正确建立二次函数模型。 3.自变量取值范围的确定：实际问题中常受条件限制（篱笆长度、售价区间、运动时间），忽略限制会导致最值错误。 3.动点问题中用时间表示几何量（线段长、底边、高），并处理“一点停止、另一点随之停止”的边界条件与的范围。 4.综合类题目（跨学科物理、项目式学习）的多步转化：速度—时间、位移—时间模型的建立，碰撞判断转化为函数最值问题。 5.图象与实际情况的对应：如拱桥地毯总长等于各段线段之和、水面宽度与高度（值）的对应关系、落水点与交点的对应。 6.含参数及多条件约束问题的分类讨论：如增长率二次模型、售价区间与捐款约束并存的销售问题。 三、易错点 1.求最值时忽略自变量取值范围，直接取顶点横坐标，导致顶点不在范围内却仍按顶点取值。 2.建立坐标系后坐标、单位出错；拱桥问题中把“水面下降”与值的符号对应错误。 3.利润问题忽略“销售单价不低于……且不高于……”的区间限制；涨价、降价方向混淆（降价元使单件利润减少、销量增加）。 4.动点问题忽略停止时间限制，把的范围扩大，导致最值取错。 5.令解方程后根取舍错误：负根、超出实际范围的根未舍去。 6.增长率问题中基数用错（应为上一期量）、把 展开出错、期数（年数）数错。 7.抛物线平移问题中忽视“形状保持不变”意味着不变、只改顶点位置，误改二次项系数。 8.判定函数类型出错：把二次函数误判为一次函数（未检查二阶差恒定），或求完解析式不代入其余数据验证。 9.计算失误：配方、去括号、解一元二次方程（求根公式与判别式）等代数运算出错。 10.几何与函数结合题中线段长与坐标关系用错，如用勾股定理时边长表达式写错、面积公式中底与高对应错误。 四、数学思想 1.建模思想：把面积、利润、运动、增长率等实际问题抽象为二次函数（或一次函数+二次函数）模型。 2.数形结合思想：借助函数图象理解题意，利用图象的最高点、落点、宽度等直观信息解决问题。 3.函数与方程思想：利用二次函数与一元二次方程的关系，通过解方程求交点（落点、落水点）、判断根的情况与方案可行性。 4.转化与化归思想：把几何问题转化为代数问题，把距离、碰撞问题转化为函数最值问题，把实际问题转化为解析式运算。 5.分类讨论思想：根的取舍、自变量取值范围分段、多条件约束下的方案讨论与区间判断。 6.待定系数法与配方法：求解析式、化一般式为顶点式求最值的基本方法思想。 7.类比迁移与从特殊到一般：由一次函数模型迁移到二次函数模型，将跨学科（物理）知识与数学模型融合，从数据中归纳函数关系。 同步测评 1．（24-25九年级上·河南安阳·期中）小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在菱形中，，，在边，，，上分别取点E，F，G，H，使．设的长为x，四边形的面积为y，则下列图象能反映y与x之间关系的是（   ） A．B．C．D． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．  B．  C．  D．   4．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在边长为的正方形中，点、、、分别从点、、、同时出发，均以的速度向点、、、匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形的周长最小值为（   ） A．18 B． C．24 D． 5．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 7．（25-26九年级上·江西南昌·期末）若小球飞行的高度与水平距离、飞行时间的函数关系式分别为，，则v的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·全国·期末）一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．（22-23九年级上·河北邢台·期末）由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·山西大同·阶段检测）小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为________ ． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 15．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 16．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 17．（25-26九年级上·吉林·期末）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． (1)求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求菜园面积的最大值． 18．（2025·湖北·一模）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 19．（2026·福建漳州·模拟预测）【数学文化阅读】 我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦秦九韶公式．它是解决“已知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为，，，记（为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积． (1)【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为，，，请求出该三角形的面积． (2)【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三边长分别为，，（且为整数）． 试用含的代数式表示该三角形的面积，并化简； 若该三角形的面积为整数，求的最小值． (3)【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度米，用篱笆围成的两边长分别为，，且米．设该三角形花圃的面积为，请求出的最大值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形． 20．（25-26九年级上·宁夏固原·期末）在矩形中，，，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题．    (1)设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ (2)是否存在x的值，使得？试说明理由． 21．（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 22．（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 23．（19-20九年级上·江苏淮安·期中）如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 24．（25-26九年级上·天津·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级同学小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？ 25．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 26．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 27．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，一个小球在斜坡顶端由静止开始向下滚动，其速度每秒增加，同时小球在斜坡上滚动的距离（）与时间（）的变化情况如表所示： （） … （） … (1)写出小球的速度（）与滚动时间（）之间的函数关系式为____________，小球滚动的距离（）与时间（）之间的关系式为____________； (2)当小球在斜坡上滚动了时，分别求此时小球的速度和滚动的距离． (3)若斜坡总长为，小球到达坡底后，在水平面上做匀减速运动，速度每秒减少，直到停止，直接写出小球从开始滚动到完全停止的过程中速度有两次达到间隔的时间． 28．（2026·江苏徐州·模拟预测）我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供10辆A型客车； 学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 29．（2024·四川南充·三模）某工厂在A，B两城分别生产同种产品共200件，其中A城生产x件，A城生产产品的总成本y（元）与产品数量x（件）之间满足函数关系式，B城生产产品的成本为每件60元． (1)若A城生产产品的件数为30件，求A，B两城完成这种产品生产任务的总成本． (2)设A，B两城生产这批产品总成本共w元，求w关于x的函数关系式，并求生产这批产品总成本最小的生产方案； (3)在（2）的生产方案下，要把这批产品全部运往C，D两地，从A城运往C，D两地的费用分别为10元/件和20元/件；从B城运往C，D两地的费用分别为a元/件（a为常数，）和30元/件；C地需要150件，D地需要50件，请你帮工厂设计出运费最节省的运输方案． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优05 二次函数的实际应用 思维导图 知识点睛 一 通用解题步骤 1.二次函数的解析式： 一般式、顶点式，以及待定系数法求解析式——由顶点坐标、对称轴或图象上点的坐标确定系数；已知抛物线上对称的两点可由求对称轴。 2.二次函数一般式的图象与性质： 开口方向由的符号决定，对称轴为直线，顶点坐标公式，以及增减性与最值的对应关系。 3.二次函数的最值： 用配方法将一般式化为顶点式求最值，或由顶点坐标公式直接求；注意最值点可能落在自变量取值范围的端点。 4.二次函数与一元二次方程的关系： 令解一元二次方程求抛物线与轴的交点（落点、落水点、落地位置），并可用判别式判断交点个数。 5.一元二次方程的解法及其应用： 因式分解法、公式法解方程，以及“与图形有关的问题（一元二次方程的应用）”（如面积类方程）。 6.一次函数： 用待定系数法求一次函数解析式，及一次函数的实际应用（如销量与单价的函数关系、单株产量与种植株数、速度与时间）。 7.二次函数与一次函数的综合： 先用一次函数表示中间量（销量、单株产量、速度等），再代入构造二次函数（总利润、总产量、位移等）求最值。 8.二次函数图象的平移： 抛物线“形状保持不变”意味着二次项系数不变，仅顶点位置（常数项）改变，如喷水管升高后水柱抛物线向上平移。 9.几何知识： 矩形、正方形、三角形的面积公式；正方形的性质；全等三角形的判定与性质；用勾股定理解三角形，用于在图形中表示线段长度。 10.函数概念与自变量取值范围： 实际问题中函数的定义域（如篱笆长度限制、售价区间、运动时间范围）及其对函数值的影响。 11.跨学科物理模型： 匀变速运动中速度随时间成一次函数关系、滑行（位移）距离随时间成二次函数关系，以及运动停止条件（速度为零）。 二 核心题型模型 1.面积最值模型（图形问题）： 用未知数表示矩形（或三角形）的长与宽、底与高，由面积公式列出面积关于的二次函数，求面积最大值。典型如矩形菜园围栏问题（一边靠墙、其余三边篱笆和为定值且靠墙边长有限制）、正方形内接正方形的面积、矩形长宽同时增加后的面积增量。 2.动点运动模型（图形运动问题）： 动点沿三角形边匀速运动，用时间表示相关线段长、底边长与高，建立线段长度或图形面积关于的二次函数，求最小值或最大值，并注意“一点到达终点、另一点随之停止”对时间范围的限制。 3.拱桥（抛物线型建筑物）模型： 以水面（地面）所在直线为轴、抛物线的对称轴为轴建立坐标系，设或顶点式 ，由已知点求解析式；再解决“给定高度求水面宽度”“给定宽度求水面下降高度”以及铺设地毯长度、保温墙位置等问题。 4.喷水、投球抛物线轨迹模型： 水柱、篮球、铅球、沙包的运动轨迹为开口向下的抛物线。求出手（喷口）高度即时的 值；求最高点即顶点纵坐标；求落点、落水点即令解一元二次方程取合理根；喷水池直径问题转化为求抛物线与轴两交点横坐标之差。 5.销售利润最值模型： 总利润=（售价−进价）×销量，其中销量随售价（或降价幅度）变化成一次函数关系，代入得总利润关于售价的二次函数，配方求最大利润，并注意售价取值区间对最值的影响。 6.增长率（下降率）模型： 增长后的量=增长前的量×(1+平均增长率)ⁿ，如表示经过两期后的量；也有增长率本身随时间按二次函数模型变化的情形。 7.跨学科运动模型（小球滚动、汽车刹车）： 匀减速运动中速度为一次函数，滑行距离为二次函数；小球停下即时位移取最大值；碰撞判断转化为两物体距离差构成的二次函数，求其最小值判断是否相撞（最小值非负则不相撞）。 8.项目式综合模型： 由实验或试验数据表出发，先观察数据变化规律判定函数类型（一次函数差值恒定、二次函数二阶差恒定），用待定系数法求解析式，再求最值或解方程解决实际问题，如大豆种植密度优化、奖杯抛物线设计、汽车刹车距离与安全判断。 题型分析 题型1：图形问题 【例1】 （25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，，解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 变式1-1 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中，， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 变式1-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加．求y与x之间的关系式． 【答案】y与x之间的关系式为． 【分析】根据题意得，变化后的矩形的长为，宽为，然后列式计算即可． 【详解】解：根据题意得，变化后的矩形的长为，宽为， ∴． 题型2：图形运动问题 【例2】 （2024·江苏徐州·一模）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的几何应用、勾股定理，设运动时间为，理解题意，列出与时间的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则，， 根据题意，， ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为， 故选：C． 变式2-1 （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由，得到，利用三角形的面积公式即可得到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解最大值． 【详解】解：， ， 的底边长为，边上的高为，它的面积为， ， ， 当时，有最大值，为． 变式2-2 （24-25九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1)；(2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 题型3：拱桥问题 【例3】 （25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得，解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 变式3-1 （2025九年级上·福建厦门·专题练习）中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的平面直角坐标系中，抛物线的解析式为且过拱顶（长度单位：），现因举行庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为的地毯，地毯的价格为20元，则购买地毯需___________元． 【答案】900 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要能理解图像与实际情况的对应关系． 先根据拱顶求得c的值，得到抛物线的解析式，再根据地毯的总长度即的长度，求得抛物线与x轴的两个交点，结合地毯价格即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为且过拱顶， ∴，即抛物线的解析式为， 令，得，解得， ∴， ∴， 又∵， ∴需要铺设的地毯总长为（米）， ∴需要铺设的地毯总费用为（元）． 故答案为：900． 变式3-2 （25-26九年级上·陕西安康·期末）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】(1)；(2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，，解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 题型4：喷水问题 【例4】 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ，解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 变式4-1 （2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)，；(2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 变式4-2 （24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，某幢建筑物从2米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，水流下落点离墙的距离，则最高点距离地面高度______米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．根据题意可以求得抛物线的解析式，从而得到顶点M的坐标，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的横坐标是1，， 设抛物线的解析式为：, ，解得， ， 答：最高点M距离地面高度为， 故答案为：． 题型5：投球问题 【例5】 （25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中y（米）代表篮球飞行的高度，x（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为________米． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与实际问题．把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：令，则， ∴篮球出手点的高度为2米． 故答案为：2． 变式5-1 （25-26九年级上·吉林长春·期末）一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 【答案】(1)；(2) 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． 【详解】（1）解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ，解得：． ∴函数表达式为； （2）解：当时，即，解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 变式5-2 （25-26九年级上·山西长治·期末）2025年全国大学生航模总决赛于10月举行，多支大学生代表队参加．投掷比赛时，某代表队的飞机模型在距离地面a米处投掷沙包，掷出的沙包距离地面的高度y（单位：米）与下落时间x（单位：秒）之间满足．当下落时间时，，则当沙包落地时，下落时间x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据给定条件代入 求出 a的值，再令，解方程求出 x的值即可． 【详解】解：∵，且当时，， ∴， ∴， ∴函数为， 当沙包落地时， ∴，解得（舍去负值）， ∴下落时间x的值为3． 故选A． 题型6：销售问题 【例6】 （25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 变式5-1 （24-25九年级上·山东威海·期中）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为_________元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 【答案】52 【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键． 设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，根据题意表示出，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元， 根据题意得， 抛物线的对称轴为：． ，， 当时，有最大值． 故答案为：52． 变式5-2 （22-23九年级下·重庆开州·开学考试）在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 【答案】(1)；(2)该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元；(3)当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天的销售利润为W元，根据每天的利润每支电动牙刷的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 由题意得，∴， ∴； （2）解：设每天的销售利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为810， 答：该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； （3）解：由（2）和题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组，可知该不等式组无解， 综上所述，， 答：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元． 题型7：增长率、下降率问题 【例7】 （25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，2025年我国新能源汽车销售量约为万辆，则2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，列出二次函数表达式即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为：． 变式7-1 （25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个，则 故选：A. 变式7-2 （2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴，解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 题型8：小球运动问题（跨学科物理） 【例8】 （25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据：任务一：记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． (1)任务二：数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现与的函数关系为一次函数关系，与的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出与的函数关系式和与的函数关系式：（不必写出自变量的取值范围．） (2)任务三：当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； (3)当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，请判断小球与电动小车是否会发生碰撞，若会，请求出在第几秒发生碰撞；若不会，请求出小球与电动小车之间的最小距离． 【答案】(1)；；(2)；(3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为0时的时间，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球与电动车距离差的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：设，将点代入，得： 解得， ∴； 设，将点，代入得， ，解得， ∴； （2）解：时，解得：， 将代入得：． ∴当小球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离； （3）解：设运动时间为t秒， 小球的滑行距离，电动小车的行驶距离为,且电动小车在A点前方处， 则小球与电动小车的距离 ， 对于二次函数，其中，函数图象开口向上，有最小值， 根据二次函数顶点公式得， 将代入，得， 因为， 所以小球与电动小车不会发生碰撞，最小距离为． 变式8-1 （2025·山西临汾·一模）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离s（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间x/s 0 1 2 3 4 5 ．．． 运动速度/ 12 11 10 9 8 7 ．．． 滑行距离s/ 0 11.5 22 31.5 40 47.5 ．．． 任务二：观察分析 （1）根据v，s随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）此时小球的滑行距离为；（3） 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式即可； （2）根据题意可知，要想求小球停止，其实就是求二次函数的最大值，只要能读懂题意即可解决问题； （3）此题是把求范围转化成求二次函数最值问题，运用到转化思想，即可解决问题； 【详解】解：（1）由题意和表格可设：关于的函数关系式是， 把代入函数式得： ，解得：， ∴关于的函数关系式为； 可设关于的函数关系式为， 把代入函数式得： ，解得：， ∴关于的函数关系式为：； （2）由（1）可知：，由二次函数图象性质可知，当小球停止时即s取的最大值时，变形， ∵， ∴s的最大值是； ∴此时小球的滑行距离是； （3）由题意可知：， 整理得：， 令，由二次函数的最大值可知，y的最大值是32， ∴． 变式8-2 （25-26九年级上·福建南平·期末）在活动课上，老师将小球从4.8米长的斜面顶端由静止开始沿斜面直线滚下，然后在水平木板上沿直线滚动，直至停止（如图所示，不考虑外界因素）． （1）在斜面滚动阶段 信息一：滚动距离平均速度滚动时间t，，其中是开始 时的速度，是t秒时的速度． 信息二：在滚动过程中，速度每秒增加． 信息三：实验数据如下表： 滚动时间t （单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． t秒速度（单位：） 0 15 30 45 60 ．．． 滚动距离S （单位：） 0 7.5 30 67.5 120 ．．． （2）在水平木板滚动阶段 我们用二次函数来近似的表示滚动距离y与滚动时间x的关系．收集到y与x的部分数据如下表： 滚动时间x（单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． 滚动距离y（单位：） 0 115 220 315 400 ．．． （3）解决问题 在斜面滚动阶段 ①求滚动的距离S（单位：）关于滚动时间t （单位：s）的函数关系式； ②小球从顶端滚到底端B处需要多长时间？ 在水平滚动阶段 ③在小球滚动路线的前方，距B点8米处有一个物体C，请判断小球在木板滚动中会撞上它吗？说明你的理由． 【答案】①；②秒；③不会 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： ①根据题意，得到，，利用公式，列出函数关系式即可； ②求出时的自变量的值即可； ③待定系数法求出函数解析式，求出的最大值，进行判断即可． 【详解】解：①由题意，，， ∴； ② 当时，，解得（负值舍去）； 故小球从顶端滚到底端B处需要8秒； ③不会，，理由如下： 设，把代入，得： ，解得， ∴， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴小球在木板滚动中不会撞上物体C． 题型9：项目综合问题 【例9】 （2024九年级下·山西·学业考试）项目化学习 项目主题：优化大豆种植密度 项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系 研究步骤： （1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； （2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数x（株） 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量y（粒） 51 46 41 36 31 26 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为（）； (2)若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积实验田中大豆植株种植数量的方案． 【答案】(1)一次，；(2)当单位试验田种植株数为66株时，可使大豆总产量最大 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用， 根据单株的平均产量变化幅度可以确定为一次函数，利用待定系数法即可求得函数解析式； 设单位面积试验田中大豆总产量为w粒，结合得，根据二次函数的性质即可求得其最大值． 【详解】（1）解：由表格数据，单位面积实验田种植大豆株数每增加10株，单珠的平均产量减少5粒， ∴单株的平均产量是种植株数的一次函数； 设一次函数解析式为， 则，解得， 则一次函数的解析式为； 故答案为：一次，； （2）解：设单位面积试验田中大豆总产量为w粒， 根据题意， 由（1）得，， 所以，w与x的函数关系式为 因为，所以w有最大值． ∵， 当时，w最大． 所以，当单位面积试验田种植株数为66株时，可使大豆总产量最大． 变式9-1 （2024·陕西榆林·二模）某次项目式学习研究中，智慧小组的研究如下： 【研究课题】为班级年度优秀学生设计奖杯． 素材1 如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，A与B均为最高点，且A、B两点之间的距离为，点A到杯底的竖直高度为；下半部分是一个等腰三角形底座，于点D，图中所有的点都在同一平面内． 素材2 以杯底所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，抛物线部分满足函数关系式：（b、c为常数） 素材3 在距离杯底的竖直高度为的M、N两点处贴上装饰图案（点M在点N的左侧，图案大小忽略不计）． 【任务解决】 (1)求该奖杯抛物线部分的函数表达式； (2)求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度； (3)求M、N两点之间的水平距离． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）由题意得出点A坐标，据此求得c值，利用抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，由对称轴求得b值，即可求解； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）令，得，求解即可得出M、N的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， ∵A、B两点之间的距离为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，解得， 抛物线部分的函数表达式为． （2）解：当时，， 抛物线最低点C到杯底的竖直高度为． （3）解：在中，令，得 ，解得，， ，， ， 即M、N两点之间的水平距离为． 变式9-2 （25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）【综合与实践】某汽车研发中心对一款新型轿车的制动性能进行紧急刹车测试，数学兴趣小组记录了相关数据． 【知识背景】行驶中的汽车在刹车后由于惯性作用，还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．在匀减速直线运动模型中，刹车距离与刹车时间成二次函数关系． 【探究发现】小组记录了该汽车在某一恒定速度下，紧急刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）的一组数据如下表： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 21 36 发现： ①开始刹车后行驶的距离与时间之间满足二次函数关系； ②刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止； ③该汽车刹车前的行驶速度保持不变． 【问题解决】 (1)求关于的函数解析式； (2)求该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是多少米？ (3)若汽车司机发现正前方处有一障碍物，从发现情况到刹车需要的反应时间（反应时间内汽车仍以的速度匀速行驶）．请问该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】(1)；(2)48米；(3)见详解 【分析】（1）将点代入即可得函数解析式，再利用增减性求出的取值范围即可； （2）求出这个二次函数的最大值即可； （3）求出从发现情况到汽车完全停止，汽车行驶的距离，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：将点代入函数得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 将二次函数化成顶点式为， ∴当时，随的增大而增大， ∵刹车后行驶的距离随时间的增大而增大，当行驶距离达到最大值时，汽车完全停止， ∴关于的函数解析式为． （2）解：∵对于二次函数，当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为48， ∴该汽车完全停止时，滑行的总距离（即刹车距离）是48米． （3）解：该车在不变道的情况下不会撞到障碍物，理由如下： 从发现情况到汽车完全停止，汽车行驶的距离为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 解题技巧 1.先建模后计算：读题后先确定自变量与因变量，依据面积公式、利润公式或物理公式列出函数关系式，再进行计算，避免直接套公式而脱离题意。 2.建系技巧：拱桥、喷水、投球等抛物线问题，优先以抛物线的对称轴为轴、顶点在轴上建系，可设以减小未知量；已知顶点坐标时直接设顶点式。 3.待定系数法选形：已知顶点和一点用顶点式；已知三点用一般式；已知与 x 轴交点用交点式；已知对称的两点先求对称轴再定系数。 4.求最值两步走：先求对称轴（或配方得顶点），再判断顶点横坐标是否在自变量取值范围内——在范围内取顶点值，不在范围内取区间端点值。 5.利润问题固定套路：单件利润=售价−进价；销量用含的一次式表示；总利润=单件利润×销量，展开成一般式后配方求最值；注意降价使单件利润减少而销量增加，涨价反之。 6.求落点、落水点：令解一元二次方程，两个根中按实际意义取正根或落在合理范围内的根；已知高度反求宽度时把高度值代入解方程。 7.表格数据处理：先由数据变化规律判断是一次函数还是二次函数（一次看差值恒定，二次看二阶差恒定），再取两组数据用待定系数法求系数，并用其余数据验证。 8.碰撞、安全类判断：把两物体间的距离差写成关于时间的二次函数，求最小值——最小值不小于0则不会碰撞；或转化为解方程看是否有实数解。 9.数形结合辅助：画草图理解题意，把图形中的几何条件（边长、高度、距离）转化为点的坐标或线段长度，再代入函数关系式计算。 归纳总结 一、重点 1.用待定系数法求二次函数解析式：能根据已知条件正确选择一般式、顶点式并完成代入计算。 2.二次函数最值的求法（配方法、顶点坐标公式）及其在面积、利润、距离等实际问题中的应用。 3.将实际问题抽象为二次函数模型：审题、设元、列式三步建模过程，是全部题型的共同主线。 4.二次函数与一元二次方程的联系：令求交点、由判别式判断根的情况，用于求落点与验证方案。 5.二次函数图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性）在判断最值与取值范围中的应用。 6.自变量取值范围的确定及其对最值的影响（顶点在区间内还是在端点处取最值）。 7.一次函数与二次函数综合题的分析思路：先由一次函数表示中间量，再构造二次函数求最值。 二、难点 1.从文字与图形中提取有效信息，准确确定自变量与函数关系，正确建立二次函数模型。 3.自变量取值范围的确定：实际问题中常受条件限制（篱笆长度、售价区间、运动时间），忽略限制会导致最值错误。 3.动点问题中用时间表示几何量（线段长、底边、高），并处理“一点停止、另一点随之停止”的边界条件与的范围。 4.综合类题目（跨学科物理、项目式学习）的多步转化：速度—时间、位移—时间模型的建立，碰撞判断转化为函数最值问题。 5.图象与实际情况的对应：如拱桥地毯总长等于各段线段之和、水面宽度与高度（值）的对应关系、落水点与交点的对应。 6.含参数及多条件约束问题的分类讨论：如增长率二次模型、售价区间与捐款约束并存的销售问题。 三、易错点 1.求最值时忽略自变量取值范围，直接取顶点横坐标，导致顶点不在范围内却仍按顶点取值。 2.建立坐标系后坐标、单位出错；拱桥问题中把“水面下降”与值的符号对应错误。 3.利润问题忽略“销售单价不低于……且不高于……”的区间限制；涨价、降价方向混淆（降价元使单件利润减少、销量增加）。 4.动点问题忽略停止时间限制，把的范围扩大，导致最值取错。 5.令解方程后根取舍错误：负根、超出实际范围的根未舍去。 6.增长率问题中基数用错（应为上一期量）、把 展开出错、期数（年数）数错。 7.抛物线平移问题中忽视“形状保持不变”意味着不变、只改顶点位置，误改二次项系数。 8.判定函数类型出错：把二次函数误判为一次函数（未检查二阶差恒定），或求完解析式不代入其余数据验证。 9.计算失误：配方、去括号、解一元二次方程（求根公式与判别式）等代数运算出错。 10.几何与函数结合题中线段长与坐标关系用错，如用勾股定理时边长表达式写错、面积公式中底与高对应错误。 四、数学思想 1.建模思想：把面积、利润、运动、增长率等实际问题抽象为二次函数（或一次函数+二次函数）模型。 2.数形结合思想：借助函数图象理解题意，利用图象的最高点、落点、宽度等直观信息解决问题。 3.函数与方程思想：利用二次函数与一元二次方程的关系，通过解方程求交点（落点、落水点）、判断根的情况与方案可行性。 4.转化与化归思想：把几何问题转化为代数问题，把距离、碰撞问题转化为函数最值问题，把实际问题转化为解析式运算。 5.分类讨论思想：根的取舍、自变量取值范围分段、多条件约束下的方案讨论与区间判断。 6.待定系数法与配方法：求解析式、化一般式为顶点式求最值的基本方法思想。 7.类比迁移与从特殊到一般：由一次函数模型迁移到二次函数模型，将跨学科（物理）知识与数学模型融合，从数据中归纳函数关系。 同步测评 1．（24-25九年级上·河南安阳·期中）小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了三角形的面积，整理出二次函数的顶点式解析式的形式是解题的关键．表示出这边上的高，然后利用三角形的面积公式列式整理，根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：设边长为，则边上的高为， 三角形的面积， ∵， ∴时，三角形的面积有最大值为50， 故选：B． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在菱形中，，，在边，，，上分别取点E，F，G，H，使．设的长为x，四边形的面积为y，则下列图象能反映y与x之间关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形性质、二次函数的实际应用、三角形面积计算；核心方法是割补法求面积，关键是先算菱形总面积，再用总面积减去 4 个全等三角形的面积，易错点是三角形面积公式的应用和二次函数顶点坐标的判断． 首先菱形边长为 2，，总面积。设，则 4 个全等三角形的总面积为．四边形面积，化简为开口向上的二次函数，对称轴，最小值为​，对应选项 A． 【详解】菱形边长，，菱形面积公式为： 设，则，， 的面积为： 4 个这样的三角形总面积为： 该函数开口向上，对称轴为，当时，y 取得最小值： 当或时，． 因此，y 与 x 的关系是开口向上、顶点为的抛物线． 故选： A． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 4．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在边长为的正方形中，点、、、分别从点、、、同时出发，均以的速度向点、、、匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形的周长最小值为（   ） A．18 B． C．24 D． 【答案】B 【详解】解：设点运动的时间为秒，则，， 由勾股定理得， 四边形的周长， 设 ∵， ∴当时，取得最小值，此时， ∴四边形的周长的最小值， 故选：B． 5．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 7．（25-26九年级上·江西南昌·期末）若小球飞行的高度与水平距离、飞行时间的函数关系式分别为，，则v的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，通过两个函数关系式描述同一运动，顶点处的最大高度相等，建立方程求解． 【详解】解：∵ 两个函数关系式描述同一小球的运动， ∴ 最大高度相等， 从得最大高度， 从得最大高度， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．（25-26九年级上·全国·期末）一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设批发价降低x元，根据生产限额180件，求出x的取值范围，再列出利润的函数，然后分情况讨论利润函数，求最大值即可得出答案． 【详解】解：设降低x元，则批发价为元，每件利润为元，销量为， 根据题意可知，即， 设利润为， 可得， ∵该二次函数开口向下，对称轴， ∴在时P随x增大而增大， ∴当时，P最大，元． 综上，当时利润最大，故批发价应降低8元． 故选C 9．（22-23九年级上·河北邢台·期末）由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可． 掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 【详解】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 10．（22-23九年级上·山西大同·阶段检测）小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 【答案】11 【分析】首先由求出D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为________ ． 【答案】 【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ，解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得，整理，得， 或，解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了“二次函数的图象与性质”，理解题意，找到对应点的坐标是解题关键． 根据题意，通过距离关系，得到对应点的坐标，根据点坐标求解析式，解析式与y轴的交点纵坐标即为设计高度的值． 【详解】解：由题意，得，即，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， 令，得， ∴这个装饰物设计高度为5． 故答案为： 5． 15．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴，解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 16．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元，故． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·吉林·期末）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． (1)求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求菜园面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意列不等式求出的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，解得， ， 即； （2）由（1）知，， 当时，有最大值，最大值是． 18．（2025·湖北·一模）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)当时，甲，乙两块材料的面积之和为；(3)存在，丙部分面积的最大值为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数解析式的计算，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，，则，，由此即可求解； （2）由（1）知，，将代入即可求解； （3）根据题意，根据最值的计算，当时，取得最大值，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，， ∵将代入，得，解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，甲，乙两块材料的面积之和为； （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴丙部分面积的最大值为． 19．（2026·福建漳州·模拟预测）【数学文化阅读】 我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦秦九韶公式．它是解决“已知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为，，，记（为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积． (1)【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为，，，请求出该三角形的面积． (2)【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三边长分别为，，（且为整数）． 试用含的代数式表示该三角形的面积，并化简； 若该三角形的面积为整数，求的最小值． (3)【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度米，用篱笆围成的两边长分别为，，且米．设该三角形花圃的面积为，请求出的最大值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形． 【答案】(1)；；(2)；的最小值为；；(3)的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 【分析】（）直接代入公式计算即可； （）①代入公式化简得到面积表达式； ②根据整数要求验证得到最小的； （）先整理得到关于的表达式，再利用二次函数性质得到的最大值，进而求出的最大值，最后判断三角形形状． 【详解】（1）解：已知三角形三边长，，， 根据公式得， ∴； （2）解：三角形三边长为，，，则， ∴，，， ∴； ∵且为整数，要使为整数， ∴当时，，不是整数， 当时，，是整数， ∴的最小值为； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又，则， ∴， ∴当时，的最大值为，此时， 将代入得（平方米）， 此时， ∴该三角形是等腰三角形， 答：的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 20．（25-26九年级上·宁夏固原·期末）在矩形中，，，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题．    (1)设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ (2)是否存在x的值，使得？试说明理由． 【答案】(1)，当时，；(2)存在，时， 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，勾股定理等；能根据二次函数的性质求解是解题的关键． （1）根据图形得，化简后由二次函数的性质即可求解； （2）由勾股定理得，，，，即可求解． 【详解】（1）解：矩形中， ，，， 由题意得，， ，， ， ，， 当时，； 综上，，当时，； （2）解：存在，理由如下： ， ， ， ， ， ，整理得， 解得，（舍去）， 故当时，． 21．（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【答案】(1)；(2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得，解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，，解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 22．（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得，解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 23．（19-20九年级上·江苏淮安·期中）如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 【答案】(1)；(2)球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【详解】（1）解：把点代入关系式得：，解得：， 则y与x的关系式为：； （2）∵当时，， ∴球能越过球网． 24．（25-26九年级上·天津·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级同学小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？ 【答案】(1)不能；(2)的值为；(3)不能 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的关键． （1）易得小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐． 【详解】（1）解：由题意得：小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标为， 设， 经过点， ，解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小玟初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）解：向前走了米后抛物线的解析式为：， 经过点， ， ，解得：（不合题意，舍去），， 答：的值为； （3）解： 不能命中篮筐，理由如下： 由题意得：小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐． 25．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润；(2)当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意得出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即，整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润． （2）解：记利润为元， 则． ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元． 26．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 27．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，一个小球在斜坡顶端由静止开始向下滚动，其速度每秒增加，同时小球在斜坡上滚动的距离（）与时间（）的变化情况如表所示： （） … （） … (1)写出小球的速度（）与滚动时间（）之间的函数关系式为____________，小球滚动的距离（）与时间（）之间的关系式为____________； (2)当小球在斜坡上滚动了时，分别求此时小球的速度和滚动的距离． (3)若斜坡总长为，小球到达坡底后，在水平面上做匀减速运动，速度每秒减少，直到停止，直接写出小球从开始滚动到完全停止的过程中速度有两次达到间隔的时间． 【答案】(1)，；(2)，；(3) 【分析】（）根据题意即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式解答即可； （）分别求出小球在斜坡上和水平面上速度达到时的时间，再相减即可求解； 【详解】（1）解：由题意和表格得，，； （2）解：当时，，， 答：当小球在斜坡上滚动了时，此时小球的速度为，滚动的距离为； （3）解：当小球在斜坡上运动时，把代入，得， 解得， ∵斜坡总长为，把代入，得， 解得， ∴小球到达坡底的时间为，此时小球的速度， ∵小球到达坡底后，在水平面上做匀减速运动，速度每秒减少， ∴水平面上， 把代入 ，得， 解得， ∴小球两次达到间隔的时间为． 28．（2026·江苏徐州·模拟预测）我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供10辆A型客车； 学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】(1)A型客车每辆载客量为人，B型客车每辆载客量为人；(2)本次研学活动学校的最少租车费用是元． 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为人，则B型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 根据题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（人）． ∴A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆， 根据题意得，解得， 设本次研学活动学校的租车总费用为元， 则， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 又∵， ∴时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小， 又∵m取正整数， ∴的可能取值为，，，，， ∵，，， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）， ∴本次研学活动学校的最少租车费用是元． 29．（2024·四川南充·三模）某工厂在A，B两城分别生产同种产品共200件，其中A城生产x件，A城生产产品的总成本y（元）与产品数量x（件）之间满足函数关系式，B城生产产品的成本为每件60元． (1)若A城生产产品的件数为30件，求A，B两城完成这种产品生产任务的总成本． (2)设A，B两城生产这批产品总成本共w元，求w关于x的函数关系式，并求生产这批产品总成本最小的生产方案； (3)在（2）的生产方案下，要把这批产品全部运往C，D两地，从A城运往C，D两地的费用分别为10元/件和20元/件；从B城运往C，D两地的费用分别为a元/件（a为常数，）和30元/件；C地需要150件，D地需要50件，请你帮工厂设计出运费最节省的运输方案． 【答案】(1)11700元；(2)，城生产20件，城生产180件；(3)当时，从A城运往C地件，从B城运往C地130件，运往地50件，运费最小；时，从A城运往D地件，从B城运往C地150件，运往地30件，运费最小 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出函数关系式，是解题的关键． （1）分别求出两城各自的总成本，相加即可； （2）根据总成本等于两城各自的总成本之和，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求出最值即可； （3）设从A城运往C地件，总运费为元，列出一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当A城生产产品的件数为30件时，则：B城生产产品的件数为件， ∵， ∴当时，， ∴A，B两城完成这种产品生产任务的总成本为元； （2）由题意，得：， ∴， ∴当，即：城生产20件，城生产件时，总成本最低； ∴城生产20件，城生产180件； （3）设从A城运往C地件，总运费为元，则从城运往地件，从B城运往C地件，运往地件，由题意，得： ， ∵且， ∴， 当，即时，随的增大而减下， ∴当时，最小为：； 此时从A城运往C地件，从B城运往C地130件，运往地50件，运费最小； 当，即时，随的增大而增大， ∴当时，最小为， 此时从A城运往D地件，从B城运往C地150件，运往地30件，运费最小． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $